Docentenhandleiding: Omgekeerde en inverse

Leer hoe je de omgekeerde en de inverse van een als-dan-bewering maakt en waarom een ware bewering een onware omgekeerde kan hebben.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logisch redeneren. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De omgekeerde en de inverse van een als-dan-bewering maken
De waarheidswaarde van een omgekeerde of inverse bepalen en onderbouwen
Met één tegenvoorbeeld laten zien dat een bewering onwaar is
Met een waarheidstabel uitleggen waarom de omgekeerde en de inverse altijd dezelfde waarheidswaarde hebben
Een equivalentie opschrijven als een bewering en haar omgekeerde allebei waar zijn

Vereisten

• Als-dan-beweringen: hypothese, conclusie en de waarheidstabel van $p \to q$
• Deductief redeneren: conclusies trekken uit premissen
• Ontkenning van een eenvoudige bewering (niet $p$ )
• Deelbaarheid, kwadraten van negatieve getallen en eenvoudige eigenschappen van hoeken

Discussiestarters

1. Als alle honden dieren zijn, zijn dan alle dieren honden? Wat is het verschil tussen de twee zinnen?
2. Ken je een reclame die mensen de omgekeerde laat geloven?
3. Waarom is één tegenvoorbeeld genoeg om een bewering te weerleggen, terwijl honderd voorbeelden haar niet kunnen bewijzen?
4. Waarom moet een goede definitie in beide richtingen werken?

Veelvoorkomende misvattingen

De omgekeerde van een ware bewering is altijd waar

Herstel: Begin met beweringen uit het dagelijks leven, zoals als een dier een hond is, dan is het een zoogdier. Leerlingen vinden snel zoogdieren die geen hond zijn, zoals katten. Ga daarna naar wiskunde: als $x = 3$ , dan $x^2 = 9$ .

De inverse betekent hetzelfde als het origineel

Herstel: Laat de waarheidstabel zien: het origineel en de inverse verschillen in rij 2 en 3. Test het voorbeeld met deelbaarheid door 4 met het getal 6.

De omgekeerde en de inverse zijn hetzelfde

Herstel: Werk met kleuren: schrijf $p$ in het blauw en $q$ in het rood. De omgekeerde verandert de volgorde van de kleuren, de inverse houdt de volgorde en zet niet voor allebei.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Zinsstarters gebruiken: Als ___, dan ___. Omgekeerde: Als ___, dan ___.
• Beginnen met beweringen uit het dagelijks leven voordat er getallen bij komen
• Het tegenvoorbeeld geven en laten uitleggen waarom het werkt

Voor leerlingen op niveau:

• De omgekeerde en de inverse van vijf wiskundige beweringen opschrijven en tegenvoorbeelden vinden
• De waarheidstabel van $q \to p$ en $\neg p \to \neg q$ invullen
• Bepalen welke beweringen je als equivalentie kunt schrijven

Voor gevorderde leerlingen:

• De omgekeerde van de stelling van Pythagoras onderzoeken en waarom die een eigen bewijs nodig heeft
• Beweringen zoeken waarbij het origineel onwaar is maar de omgekeerde waar
• Vooruitkijken naar de contrapositie en haar waarheidstabel vergelijken met het origineel

Standaarduitlijning

8.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.6)
Een bewijs van de stelling van Pythagoras en haar omgekeerde uitleggen
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Steekhoudende argumenten opbouwen en de redenering van anderen beoordelen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Nauwkeurig werken

Lesbronnen

visualInteractieve waarheidstabel
Leerlingen vergelijken rij voor rij de kolommen van $p \to q$ , $q \to p$ en $\neg p \to \neg q$
activityJacht op de omgekeerde
Tweetallen ruilen kaartjes met beweringen, schrijven de omgekeerde op en zoeken om het snelst een tegenvoorbeeld
worksheetWaar in beide richtingen?
Wiskundige beweringen sorteren in equivalenties en beweringen met een onware omgekeerde

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Elke als-dan-bewering (implicatie) heeft de vorm

p \to q

: als

p

(de hypothese, ook wel voorwaarde), dan

q

(de conclusie). Daarmee kunnen we twee nieuwe beweringen maken:

De omgekeerde verwisselt de twee delen: $q \to p$ (als $q$ , dan $p$ ).
De inverse ontkent beide delen: $\neg p \to \neg q$ (als niet $p$ , dan niet $q$ ).

Voorbeeld: Origineel: Als een getal deelbaar is door 4, dan is het even.

Omgekeerde: Als een getal even is, dan is het deelbaar door 4. (Onwaar: 6 is even, maar $6 \div 4 = 1{,}5$ .)
Inverse: Als een getal niet deelbaar is door 4, dan is het niet even. (Onwaar: weer 6.)

De waarheidstabel laat zien dat de omgekeerde en de inverse niet altijd overeenkomen met het origineel, maar wel altijd met elkaar:

\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \to q & q \to p & \neg p \to \neg q \\ \hline \text{W} & \text{W} & \text{W} & \text{W} & \text{W} \\ \text{W} & \text{O} & \text{O} & \text{W} & \text{W} \\ \text{O} & \text{W} & \text{W} & \text{O} & \text{O} \\ \text{O} & \text{O} & \text{W} & \text{W} & \text{W} \end{array}

(W = waar, O = onwaar.) De rijen mogen in elke volgorde staan: de interactieve tabel hieronder begint met de rij waarin

p

q

allebei onwaar zijn, en elke rij houdt dezelfde waarden.

Om te laten zien dat een bewering onwaar is, is één tegenvoorbeeld genoeg. Als een bewering en haar omgekeerde allebei waar zijn, combineren we ze tot een equivalentie:

p \leftrightarrow q

, uitgesproken als

p

dan en slechts dan als

q

Uitgewerkte voorbeelden

Origineel: Als een figuur een vierkant is, dan heeft ze vier zijden. Schrijf de omgekeerde op en bepaal of die waar is.

Hypothese en conclusie bepalen

$p$ : een figuur is een vierkant. $q$ : ze heeft vier zijden. → Origineel: $p \to q$ (waar)

De twee delen verwisselen

$q \to p$ : Als een figuur vier zijden heeft, dan is ze een vierkant. → Dit is de omgekeerde

Een tegenvoorbeeld zoeken

Een rechthoek van 5 cm bij 3 cm heeft vier zijden, maar is geen vierkant. → De omgekeerde is onwaar

Antwoord: Omgekeerde: Als een figuur vier zijden heeft, dan is ze een vierkant. Die is onwaar, want een rechthoek van 5 cm bij 3 cm is een tegenvoorbeeld.

Veelgemaakte fouten

Aannemen dat de omgekeerde waar is omdat het origineel waar is

Waarom het fout is: Door hypothese en conclusie te verwisselen ontstaat een nieuwe bewering met een eigen waarheidswaarde. Als $x = 3$ , dan $x^2 = 9$ is waar, maar als $x^2 = 9$ , dan $x = 3$ is onwaar.

Correct: Test de omgekeerde altijd apart en zoek een tegenvoorbeeld, hier $x = -3$ .

De omgekeerde en de inverse door elkaar halen

Waarom het fout is: Ze worden allebei uit dezelfde twee delen gemaakt, dus ze lijken op elkaar. De omgekeerde verandert de volgorde, de inverse voegt twee ontkenningen toe.

Correct: Omgekeerde = verwisselen: $q \to p$ . Inverse = beide ontkennen: $\neg p \to \neg q$ .

Maar één deel ontkennen bij het maken van de inverse

Waarom het fout is: $\neg p \to q$ schrijven (als geen vierkant, dan vier zijden) is niet de inverse. Dat is een heel andere bewering.

Correct: Zet niet voor de hypothese en voor de conclusie: als geen vierkant, dan niet vier zijden.

Eén voorbeeld dat klopt gebruiken als bewijs dat de omgekeerde waar is

Waarom het fout is: Bij als $x^2 = 9$ , dan $x = 3$ klopt het voorbeeld $x = 3$ , maar $x = -3$ niet. Voorbeelden die kloppen bewijzen nooit een algemene bewering.

Correct: Eén tegenvoorbeeld bewijst dat een bewering onwaar is. Om te bewijzen dat ze waar is, heb je een redenering nodig die elk geval dekt.

Waarom het belangrijk is

Een bewering verwarren met haar omgekeerde is een van de meest voorkomende denkfouten:

Wiskunde: als een stelling waar is, is haar omgekeerde niet vanzelf waar. De stelling van Pythagoras en haar omgekeerde worden apart bewezen.
Definities: een goede definitie is een equivalentie. Ze moet in beide richtingen werken.
Reclame: als je het premium-abonnement neemt, krijg je snellere service. Dat betekent niet dat iedereen met snelle service het premium-abonnement heeft.
Programmeren: als x deelbaar is door 6, dan is x even. Een programma mag niet de omgekeerde richting aannemen: 8 is even, maar niet deelbaar door 6.
Dagelijks leven: als het regent, is de straat nat. Een natte straat bewijst niet dat het geregend heeft, misschien is er een veegwagen langsgekomen.

Een onware omgekeerde ontmaskeren met één tegenvoorbeeld is een vaardigheid die je bij elk bewijs gebruikt.

Toepassingen in de echte wereld

Acties in de webwinkel

Winkels formuleren regels als als-dan-beweringen. Klanten lezen ze vaak andersom, en dat is precies de omgekeerde.

Voorbeeld:

Regel: Als je bestelling boven 50 € ligt, dan is de verzending gratis. Omgekeerde: Als de verzending gratis is, dan lag je bestelling boven 50 €. Ook een ledencode kan gratis verzending geven, dus de omgekeerde kan onwaar zijn.

1Probeer het zelf

Een winkel heeft de regel: Als een bestelling boven 50 € ligt, dan is de verzending gratis. Lena koopt 3 boeken van 12 € per stuk en gebruikt een ledencode die ook gratis verzending geeft.

Laat Lena's bestelling zien dat de omgekeerde van de regel onwaar is?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de uitdrukking voor Lena's totaal:

Regels in computerprogramma's controleren

Programmeurs schrijven voorwaarden zoals als n deelbaar is door 6, dan is n even. Zo'n voorwaarde omdraaien is een klassieke fout.

Voorbeeld:

Een programma accepteert alleen getallen die deelbaar zijn door 6 en markeert ze als even. Een programmeur draait de controle om en accepteert elk even getal als deelbaar door 6. Het getal 8 glipt er per ongeluk door.

2Probeer het zelf

De regel is: Als een getal deelbaar is door 6, dan is het even. Een programmeur gebruikt de omgekeerde: Als een getal even is, dan is het deelbaar door 6. Test die met het getal 8.

Weerlegt 8 de omgekeerde?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de deling die 8 test met 6:

Goede definities

Woordenboeken en wiskundeboeken schrijven definities die in beide richtingen werken. Een definitie is een equivalentie, een dan-en-slechts-dan-als-bewering.

Voorbeeld:

Een driehoek is rechthoekig dan en slechts dan als hij een hoek van $90^\circ$ heeft. Elke rechthoekige driehoek heeft een hoek van $90^\circ$ , en elke driehoek met een hoek van $90^\circ$ is rechthoekig.

3Probeer het zelf

Twee hoeken van een driehoek meten $35^\circ$ en $55^\circ$ . De hoeken van een driehoek zijn samen $180^\circ$ .

Is het een rechthoekige driehoek?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de uitdrukking voor de derde hoek:

Belangrijke punten

1Een als-dan-bewering heeft de vorm $p \to q$ : als $p$ , dan $q$
2De omgekeerde verwisselt de delen: $q \to p$
3De inverse ontkent beide delen: $\neg p \to \neg q$
4Een ware bewering kan een onware omgekeerde en een onware inverse hebben, bijvoorbeeld als $x = 3$ , dan $x^2 = 9$
5De omgekeerde en de inverse hebben altijd dezelfde waarheidswaarde, en één tegenvoorbeeld is genoeg om een bewering te weerleggen
6Als een bewering en haar omgekeerde allebei waar zijn, vormen ze een equivalentie $p \leftrightarrow q$ (dan en slechts dan als)

Veelgestelde vragen

Als het origineel waar is, kan de omgekeerde dan ook waar zijn?

Soms. Als een hoek

90^\circ

meet, dan is het een rechte hoek, en ook de omgekeerde is waar. Maar je moet haar altijd apart controleren, ze volgt nooit vanzelf.

Waarom hebben de omgekeerde en de inverse altijd dezelfde waarheidswaarde?

Kijk naar de waarheidstabel: de kolommen van

q \to p

\neg p \to \neg q

zijn in alle vier de rijen gelijk. In de volgende les zie je waarom: elk van de twee is de contrapositie van de andere.

Wat betekent dan en slechts dan als?

Het betekent dat beide richtingen waar zijn:

p \to q

q \to p

. We schrijven

p \leftrightarrow q

. Bijvoorbeeld:

x + 4 = 10

dan en slechts dan als

x = 6

Hoeveel tegenvoorbeelden heb ik nodig?

Maar één. Eén geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar, laat zien dat de hele bewering onwaar is.

Woordenlijst

Als-dan-bewering (implicatie): Een bewering van de vorm als $p$ , dan $q$ , geschreven als $p \to q$
Omgekeerde: De bewering die je krijgt door hypothese en conclusie te verwisselen: $q \to p$
Inverse: De bewering die je krijgt door hypothese en conclusie allebei te ontkennen: $\neg p \to \neg q$
Ontkenning (negatie): Het tegenovergestelde van een bewering, geschreven als $\neg p$ en uitgesproken als niet $p$
Tegenvoorbeeld: Eén geval waarin de hypothese waar is maar de conclusie onwaar
Equivalentie: Een bewering die in beide richtingen waar is, geschreven als $p \leftrightarrow q$ en uitgesproken als $p$ dan en slechts dan als $q$

Formulekaart

Origineel (implicatie)

p \to q

Als $p$, dan $q$

Omgekeerde

q \to p

Hypothese en conclusie verwisselen

Inverse

\neg p \to \neg q

Beide delen ontkennen, volgorde behouden

Equivalentie

p \leftrightarrow q

Waar als $p \to q$ en $q \to p$ allebei waar zijn

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Omgekeerde en inverse

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Acties in de webwinkel

Regels in computerprogramma's controleren

Goede definities

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Origineel (implicatie)

Omgekeerde

Inverse

Equivalentie

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Contrapositie