Docentenhandleiding: Als-dan-beweringen

Leer uitspraken in de als-dan-vorm te schrijven, de hypothese en de conclusie te herkennen en te bepalen wanneer een implicatie onwaar is.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logisch redeneren. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De hypothese en de conclusie van een als-dan-bewering herkennen
Alledaagse en wiskundige zinnen herschrijven in de als-dan-vorm en in de notatie p → q
De waarheidswaarde van een implicatie bepalen uit de waarheidswaarden van haar delen
Een tegenvoorbeeld vinden om te laten zien dat een als-dan-bewering onwaar is
Uitleggen waarom voorbeelden alleen een als-dan-bewering niet kunnen bewijzen

Vereisten

• Introductie tot logisch redeneren: uitspraken en hun waarheidswaarden
• Deductief redeneren: met een regel (premisse) tot een conclusie komen
• Getallen vergelijken met <, > en ≥ en basisrekenen

Discussiestarters

1. Je vader zegt: "Als je je kamer opruimt, dan mag je naar buiten." Je hebt niet opgeruimd, maar je mocht toch naar buiten. Heeft hij gelogen?
2. Zoek een regel op school of in een spel. Kun je hem als als-dan-bewering schrijven?
3. Waarom is één tegenvoorbeeld genoeg om een bewering te weerleggen, maar zijn honderd goede voorbeelden niet genoeg om haar te bewijzen?
4. "Alle katten zijn dieren" en "Als iets een kat is, dan is het een dier": is dat dezelfde uitspraak?
5. Weet je een ware uitspraak die onwaar wordt als je het als-deel en het dan-deel verwisselt?

Veelvoorkomende misvattingen

Een implicatie met een onware hypothese is onwaar (of "niet te beslissen")

Herstel: Gebruik het beloftemodel: "Als je minstens 80 punten haalt, krijg je een sticker." Vraag of de docent de belofte breekt als een leerling met 70 punten toch een sticker krijgt. Laat leerlingen daarna de O-rijen in de interactieve waarheidstabel controleren.

"Als $p$ , dan $q$ " betekent ook "als $q$ , dan $p$ "

Herstel: Geef het paar "als een figuur een vierkant is, dan is het een rechthoek" en de verwisselde versie, en laat leerlingen een tegenvoorbeeld voor de verwisselde versie tekenen. Vertel dat dit idee in de volgende les, Omgekeerde en inverse, uitgebreid aan bod komt.

Een paar voorbeelden die kloppen bewijzen een uitspraak

Herstel: Test samen $2^n + 1$ voor $n = 1, 2, 3$ , of $n^2 + n + 1$ voor $n = 2, 3, 4$ . Het patroon breekt bij $n = 3$ en bij $n = 4$ , en dat laat zien waarom wiskundigen een bewijs eisen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Zinsstarters geven: "Als ___, dan ___." en de hypothese in de ene kleur en de conclusie in een andere kleur laten onderstrepen
• Beginnen met alledaagse regels (spellen, school) voordat wiskundige uitspraken aan bod komen
• De stickertabel met vier leerlingen gebruiken, zodat het geval W → O concreet wordt

Voor leerlingen op niveau:

• Zinnen met "elk", "alle" en "wanneer" herschrijven in de als-dan-vorm en in de notatie p → q
• Beslissen of beweringen over getallen waar zijn en bij de onware een tegenvoorbeeld geven
• De waarheidstabel van p → q zonder hulp invullen in de quizmodus

Voor gevorderde leerlingen:

• Het kleinste tegenvoorbeeld vinden bij beweringen als " $n^2 + n + 1$ is altijd een priemgetal"
• De kaartenpuzzel onderzoeken: welke kaarten moet je omdraaien om een als-dan-regel te testen?
• Een ware implicatie schrijven waarvan de verwisselde versie onwaar is, als voorproefje op de omgekeerde

Standaarduitlijning

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Sterke argumenten opbouwen en de redeneringen van anderen kritisch beoordelen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Nauwkeurig werken

Lesbronnen

visualInteractieve waarheidstabel
Leerlingen kiezen de operator →, zien de enige onware rij oplichten en vullen daarna zelf de tabel in de quizmodus in
activityGebroken beloftes
In tweetallen schrijven leerlingen klassenregels als als-dan-beweringen en spelen ze de vier gevallen na om te ontdekken welk geval de regel breekt
worksheetJacht op tegenvoorbeelden
Een lijst met beweringen over getallen; leerlingen geven bij elke bewering aan of ze waar is of geven het kleinste tegenvoorbeeld

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een als-dan-bewering, ook implicatie of conditionele bewering genoemd, verbindt twee uitspraken met de woorden als en dan:

\text{Als } p\text{, dan } q.

Het deel na "als" is de hypothese ( $p$ ), de voorwaarde.
Het deel na "dan" is de conclusie ( $q$ ), wat eruit moet volgen.

In symbolen schrijven we

p \to q

en lezen we "als

p

, dan

q

" of "

p

impliceert

q

Voorbeeld: Als een getal op 0 eindigt, dan is het deelbaar door 10.

Hypothese $p$ : een getal eindigt op 0
Conclusie $q$ : het getal is deelbaar door 10

Zie een implicatie als een belofte. De belofte wordt alleen gebroken als de hypothese uitkomt en de conclusie niet. Dus

p \to q

is in precies één geval onwaar:

p

is waar en

q

is onwaar. In alle andere gevallen is ze waar.

$p$	$q$	$p \to q$
W	W	W
W	O	O
O	W	W
O	O	W

De interactieve waarheidstabel in deze les toont dezelfde vier rijen in omgekeerde volgorde, te beginnen met de rij O, O. Beide volgordes zijn goed.

Een geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar, heet een tegenvoorbeeld. Eén tegenvoorbeeld is genoeg om te laten zien dat een implicatie onwaar is.

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal de hypothese en de conclusie: "Als een driehoek een rechte hoek heeft, dan is het een rechthoekige driehoek."

Zoek het deel na "als"

"een driehoek heeft een rechte hoek" → Hypothese $p$ : een driehoek heeft een rechte hoek

Zoek het deel na "dan"

"het is een rechthoekige driehoek" → Conclusie $q$ : de driehoek is rechthoekig

Schrijf het in symbolen

Eerst komt de voorwaarde, dan het gevolg → $p \to q$

Antwoord: Hypothese: een driehoek heeft een rechte hoek. Conclusie: het is een rechthoekige driehoek. In symbolen: $p \to q$ .

Veelgemaakte fouten

Het eerste deel van de zin voor de hypothese houden, zoals bij "Ik neem een paraplu mee als het regent" → hypothese "ik neem een paraplu mee"

Waarom het fout is: De hypothese is het deel na het woord "als" (of "wanneer", "zodra"), waar het ook in de zin staat.

Correct: Zoek eerst de voorwaarde: "het regent". Schrijf dan: Als het regent, dan neem ik een paraplu mee.

Denken dat $p \to q$ onwaar is zodra de hypothese onwaar is

Waarom het fout is: Een implicatie belooft alleen iets voor het geval dat $p$ gebeurt. Als $p$ niet gebeurt, kan de belofte niet gebroken worden.

Correct: $p \to q$ is alleen onwaar in het geval W → O. Als $p$ onwaar is, is de implicatie waar, wat $q$ ook is.

Een getal dat niet aan de hypothese voldoet als tegenvoorbeeld gebruiken, bijvoorbeeld $x = 0$ tegen "als $x > 3$ , dan $x > 1$ "

Waarom het fout is: Voor $x = 0$ is de conclusie $x > 1$ onwaar, maar de hypothese $x > 3$ is ook onwaar, dus dit geval kan de uitspraak niet weerleggen.

Correct: Een tegenvoorbeeld moet de hypothese waar en de conclusie onwaar maken. Voor "als $x > 3$ , dan $x > 1$ " bestaat zo'n getal niet, dus de uitspraak is waar.

Geloven dat één voorbeeld dat klopt de uitspraak bewijst

Waarom het fout is: "Als $n$ een natuurlijk getal is, dan is $2^n + 1$ een priemgetal" klopt voor $n = 1$ ( $3$ ) en $n = 2$ ( $5$ ), maar $n = 3$ geeft $9$ , en dat is geen priemgetal.

Correct: Voorbeelden kunnen een uitspraak alleen ondersteunen. Om haar te bewijzen heb je een algemeen argument nodig, maar één tegenvoorbeeld is genoeg om haar te weerleggen.

Waarom het belangrijk is

Als-dan-beweringen zijn overal, vaak verstopt in gewone zinnen:

Winkelen: "Als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis."
Regels en spellen: "Als je een 6 gooit, dan mag je nog een keer."
Natuurwetenschappen: "Als water op zeeniveau tot 100 °C wordt verwarmd, dan kookt het."
Programmeren: elke app zit vol opdrachten als "als het wachtwoord klopt, dan open het account".
Wiskunde: bijna elke regel en elke stelling is een implicatie, bijvoorbeeld "als een driehoek een rechte hoek heeft, dan geldt $a^2 + b^2 = c^2$ " (waarbij $c$ de langste zijde is).

In de les Deductief redeneren gebruikte je als-dan-regels als premissen. Nu leer je hoe ze zijn opgebouwd, hoe je ze zelf schrijft en hoe je ze test. Dat is het startpunt voor de omgekeerde, de inverse en de contrapositie, die hierna komen in de lessen Omgekeerde en inverse en Contrapositie.

Toepassingen in de echte wereld

Online winkelen

Winkels gebruiken als-dan-regels voor gratis verzending, kortingen en cadeaus. Om de aanbieding te gebruiken, moet je de hypothese waar maken.

Voorbeeld:

"Als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis." Een bestelling van 52 € maakt de hypothese waar, dus de verzending moet gratis zijn.

1Probeer het zelf

Een winkel belooft: als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis. In je winkelmandje zitten een T-shirt van 18 € en een pet van 15 €.

Hoeveel euro moet je nog uitgeven zodat de hypothese waar wordt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek je totaal af van 40:

Beweringen in de wiskunde testen

Wiskundigen testen een implicatie door een tegenvoorbeeld te zoeken. Vinden ze er een, dan is de bewering onwaar.

Voorbeeld:

"Als een getal een priemgetal is, dan is het oneven" is onwaar, want 2 is een priemgetal en even.

2Probeer het zelf

Een klasgenoot beweert: als een natuurlijk getal een veelvoud van 3 is, dan is het oneven.

Wat is het kleinste positieve tegenvoorbeeld?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De veelvouden van 3 zijn 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Schrijf het tweede:

Slimme huizen en programmeren

Een thermostaat werkt met een implicatie: als de kamer kouder is dan een ingestelde waarde, dan gaat de verwarming aan.

Voorbeeld:

"Als de temperatuur onder 18 °C is, dan gaat de verwarming aan." Bij 17 °C is de hypothese waar, dus de verwarming moet aangaan. Bij 20 °C wordt er niets beloofd.

3Probeer het zelf

De regel is: als de temperatuur onder 18 °C is, dan gaat de verwarming aan. Om 7:00 uur is het in de kamer 22 °C en het koelt elk uur 3 °C af.

Hoe warm is het na 2 uur, en staat de verwarming aan?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin bij 22 en trek twee keer 3 af:

Belangrijke punten

1Een als-dan-bewering heeft de vorm "als $p$ , dan $q$ ", geschreven als $p \to q$
2De hypothese $p$ is de voorwaarde na "als"; de conclusie $q$ is het gevolg na "dan"
3Veel zinnen verbergen een implicatie: "elke A is B" betekent "als iets een A is, dan is het een B"
4 $p \to q$ is alleen onwaar als $p$ waar is en $q$ onwaar (W → O); in de andere drie gevallen is ze waar
5Een tegenvoorbeeld maakt de hypothese waar en de conclusie onwaar, en één is genoeg om een uitspraak te weerleggen
6Voorbeelden die kloppen ondersteunen een uitspraak, maar ze bewijzen haar niet

Veelgestelde vragen

Waarom is "als $p$ , dan $q$ " waar als $p$ onwaar is?

Omdat de uitspraak alleen iets belooft voor het geval dat

p

gebeurt. Als je zegt "als het regent, neem ik een paraplu mee" en het regent niet, dan heb je je woord niet gebroken, wat je ook doet.

Moet het woord "dan" er altijd staan?

Nee. "Als het regent, blijf ik thuis", "Ik blijf thuis wanneer het regent" en "Regen betekent dat ik thuisblijf" zijn allemaal dezelfde implicatie. Met "als" en "dan" geschreven zie je de hypothese en de conclusie alleen makkelijker.

Hoeveel tegenvoorbeelden heb ik nodig om te laten zien dat een uitspraak onwaar is?

Maar één. Een implicatie beweert dat de conclusie volgt elke keer dat de hypothese waar is, dus één geval met W → O is genoeg om haar te weerleggen.

Wat gebeurt er als ik de hypothese en de conclusie verwissel?

Dan krijg je een nieuwe uitspraak die een andere waarheidswaarde kan hebben. "Als een figuur een vierkant is, dan is het een rechthoek" is waar, maar "als een figuur een rechthoek is, dan is het een vierkant" is onwaar. Het verwisselen en ontkennen van de delen is het onderwerp van de volgende lessen, Omgekeerde en inverse en Contrapositie.

Woordenlijst

Als-dan-bewering: Een uitspraak van de vorm "als $p$ , dan $q$ ", ook conditionele bewering genoemd
Hypothese: De voorwaarde van een implicatie, het deel na "als" ( $p$ )
Conclusie: Het gevolg van een implicatie, het deel na "dan" ( $q$ )
Implicatie: Een andere naam voor een als-dan-bewering; $p \to q$ lees je als " $p$ impliceert $q$ "
Tegenvoorbeeld: Een geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar; het laat zien dat een implicatie onwaar is
Waarheidswaarde: Of een uitspraak waar (W) of onwaar (O) is

Formulekaart

Implicatie

p \to q

Lees "als $p$, dan $q$": $p$ is de hypothese, $q$ de conclusie

Enige onware geval

W \to O = O

Een implicatie is alleen onwaar als de hypothese waar is en de conclusie onwaar

Tegenvoorbeeld

p \text{ waar en } q \text{ onwaar}

Eén zo'n geval is genoeg om $p \to q$ te weerleggen

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Als-dan-beweringen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Online winkelen

Beweringen in de wiskunde testen

Slimme huizen en programmeren

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Implicatie

Enige onware geval

Tegenvoorbeeld

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Omgekeerde en inverse

Contrapositie