Inductief redeneren

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welk van deze voorbeelden is inductief redeneren?
1. a)Als x + 3 = 7, dan is x = 4.
2. b)Alle vierkanten hebben 4 zijden. Deze figuur is een vierkant, dus heeft ze 4 zijden.
3. c)Elk veelvoud van 10 eindigt op 0. 70 is een veelvoud van 10, dus 70 eindigt op 0.
4. d)De bus was deze week elke ochtend te laat, dus morgen is hij waarschijnlijk ook te laat.
Antwoord: De bus was deze week elke ochtend te laat, dus morgen is hij waarschijnlijk ook te laat.
Het busvoorbeeld gebruikt een paar losse waarnemingen (de ochtenden van deze week) om te voorspellen wat er waarschijnlijk gebeurt. De andere drie beginnen bij een algemene regel of een vergelijking en komen tot een conclusie die waar moet zijn: dat is deductief redeneren.
2.
Gebruik het vermoeden "de som van de eerste $n$ oneven getallen is $n^2$ " om $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ te vinden zonder getal voor getal op te tellen.
Antwoord: 36
Het zijn $6$ oneven getallen, dus het vermoeden geeft $6^2 = 36$ . Optellen bevestigt het: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ .
3.
Stippen worden in driehoeken gelegd: figuur 1 heeft $1$ stip, figuur 2 heeft $3$ stippen, figuur 3 heeft $6$ stippen en figuur 4 heeft $10$ stippen. Hoeveel stippen heeft figuur 6 als het patroon doorgaat?
Antwoord: 21
1. Hoeveel stippen komen erbij van figuur 3 naar figuur 4? 4
2. Er komen $2, 3, 4$ stippen bij. Hoeveel stippen heeft figuur 5? 15
3. Hoeveel stippen heeft figuur 6? 21
4.
Welk getal is een tegenvoorbeeld voor het vermoeden "alle priemgetallen zijn oneven"?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
Antwoord: 2
$2$ is priem (de enige delers zijn $1$ en $2$ ) en het is even, dus het weerlegt het vermoeden. $9$ en $15$ zijn oneven maar niet priem, en $7$ is priem en oneven, dus geen van die drie is een tegenvoorbeeld.
5.
Vermoeden: "een getal verdubbelen maakt het altijd groter." Welk getal is gelijk aan zijn eigen dubbele en is dus een tegenvoorbeeld?
Antwoord: 0
$2 \times 0 = 0$ , dus $0$ verdubbelen maakt het niet groter. Eén tegenvoorbeeld is genoeg om te laten zien dat het vermoeden onwaar is. (Negatieve getallen weerleggen het ook: $2 \times (-3) = -6$ , en dat is kleiner.)
6.
Een zonnebloem is $2$ cm hoog na week 1, $5$ cm na week 2, $8$ cm na week 3 en $11$ cm na week 4. Hoe hoog is hij na week 8 (in cm) als het patroon doorgaat?
Antwoord: 23
1. Hoeveel centimeter groeit de zonnebloem per week? 3
2. Hoe hoog is hij na week 5? 14
3. Hoe hoog is hij na week 8? 23
7.
Vermoeden: de som van de eerste $n$ oneven getallen is $n^2$ . Test het met $n = 5$ en voorspel daarmee de som van de eerste $20$ oneven getallen.
Antwoord: 400
1. Wat is $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ ? 25
2. $25$ is het kwadraat van welk getal? 5
3. Wat is volgens het vermoeden de som van de eerste 20 oneven getallen? 400
8.
Tom rekent $1 + 5$ , $9 + 3$ en $15 + 7$ uit, krijgt elke keer een even getal en concludeert: "de som van twee oneven getallen is altijd even." Welk soort redeneren gebruikte Tom?
1. a)Cirkelredenering
2. b)Volledige inductie
3. c)Inductief redeneren
4. d)Deductief redeneren
Antwoord: Inductief redeneren
Tom ging van drie losse gevallen naar een algemene conclusie: dat is inductief redeneren. Zijn vermoeden is toevallig waar, maar drie voorbeelden bewijzen het niet. Volledige inductie is ondanks de naam een deductieve bewijsmethode.
9.
Een driehoek heeft $0$ diagonalen, een vierhoek $2$ , een vijfhoek $5$ , een zeshoek $9$ , een zevenhoek $14$ en een achthoek $20$ . Zet het patroon voort: hoeveel diagonalen heeft een negenhoek?
Antwoord: 27
De verschillen worden steeds $1$ groter: het volgende is $7$ , dus $20 + 7 = 27$ . De formule $\frac{n(n - 3)}{2}$ klopt daarmee: $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ .
10.
Bekijk deze producten: $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Stel een vermoeden op en voorspel $11111 \times 11111$ .
Antwoord: 123454321
1. Wat is het middelste (grootste) cijfer van $1234321$ ? 4
2. Wat zou het middelste cijfer moeten zijn bij vijf enen? 5
3. Schrijf de voorspelde uitkomst van $11111 \times 11111$ op. 123454321
11.
Lena beweert: "een getal kwadrateren maakt het altijd groter." Test haar bewering met $\frac{1}{2}$ : wat is $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Schrijf je antwoord als breuk.
Antwoord: 1/4
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , en $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ . Dus $\frac{1}{2}$ is een tegenvoorbeeld: een getal tussen $0$ en $1$ kwadrateren maakt het kleiner.
12.
De uitdrukking $n^2 + n + 41$ geeft een priemgetal voor elke $n$ van $0$ tot $39$ . Voor $n = 40$ geeft ze $1681$ . Welke bewering is juist?
1. a)Het vermoeden is bewezen omdat het klopte voor n = 0 tot en met 39
2. b)Eén tegenvoorbeeld is niet genoeg om het vermoeden te verwerpen
3. c)1681 is priem, dus het vermoeden blijft staan
4. d)1681 = 41 × 41, dus n = 40 is een tegenvoorbeeld
Antwoord: 1681 = 41 × 41, dus n = 40 is een tegenvoorbeeld
$40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41$ , en dat is geen priemgetal. Dus $n = 40$ is een tegenvoorbeeld, en één tegenvoorbeeld is genoeg om te laten zien dat "altijd priem" onwaar is, hoeveel gevallen er ook eerder klopten.
13.
Op een feest geeft iedereen iedereen precies één keer een hand. Met $2$ personen is er $1$ handdruk, met $3$ personen zijn er $3$ en met $4$ personen $6$ . Hoeveel handdrukken zijn er met $10$ personen?
Antwoord: 45
1. De verschillen zijn $2$ en $3$ . Hoeveel handdrukken zijn er met $5$ personen? 10
2. Hoeveel handdrukken zijn er met $6$ personen? 15
3. Het vermoeden $\frac{n(n - 1)}{2}$ past bij al deze gevallen. Gebruik het voor $n = 10$ . 45
14.
Test het vermoeden " $n^2 + n + 41$ is altijd priem" stap voor stap en vind de waarde die het weerlegt bij $n = 40$ .
Antwoord: 1681
1. Wat is $n^2 + n + 41$ voor $n = 1$ ? 43
2. Wat is $n^2 + n + 41$ voor $n = 5$ ? 71
3. Wat is $n^2 + n + 41$ voor $n = 40$ ? 1681
4. Wat is $1681 \div 41$ ? 41
15.
Uit de gevallen $0, 2, 5, 9$ (veelhoeken met $3$ tot $6$ zijden) hebben we het vermoeden opgesteld dat een veelhoek met $n$ zijden $\frac{n(n - 3)}{2}$ diagonalen heeft. Gebruik het: hoeveel diagonalen heeft een veelhoek met $12$ zijden?
Antwoord: 54
$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$ . Dit vermoeden is ook deductief bewezen: vanuit elk van de $n$ hoekpunten vertrekken $n - 3$ diagonalen, en elke diagonaal wordt twee keer geteld.
16.
Sam ziet: $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , allemaal priem. Hij vermoedt: "als $p$ priem is, dan is $2^p - 1$ priem." Welke waarde van $p$ is een tegenvoorbeeld?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
Antwoord: p = 11
$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ , en dat is geen priemgetal, dus $p = 11$ weerlegt het vermoeden. De andere geven priemgetallen: $2^{13} - 1 = 8191$ , $2^{17} - 1 = 131071$ , $2^{19} - 1 = 524287$ . Vier gevallen die klopten waren niet genoeg.
17.
Zet punten op een cirkel en verbind elk paar punten met een lijnstuk. Tel de gebieden binnen de cirkel: $1$ punt geeft $1$ gebied, $2$ punten geven $2$ , $3$ punten $4$ , $4$ punten $8$ , $5$ punten $16$ . Een zorgvuldige tekening met $6$ punten, zo geplaatst dat er nooit drie lijnstukken door één punt gaan, laat $31$ gebieden zien. Test het verdubbelingsvermoeden: hoeveel gebieden zit de voorspelling ernaast?
Antwoord: 1
1. Met welk getal wordt elk aantal vermenigvuldigd om het volgende te krijgen? 2
2. Wat voorspelt het verdubbelingsvermoeden voor $6$ punten? 32
3. De tekening laat $31$ gebieden zien. Hoeveel gebieden zit de voorspelling ernaast? 1
18.
Vermoeden: "de som van drie opeenvolgende gehele getallen is altijd $3$ keer het middelste getal." Test het inductief en gebruik daarna de deductieve versie om $49 + 50 + 51$ te vinden.
Antwoord: 150
1. Wat is $4 + 5 + 6$ ? 15
2. Wat is $15 \div 3$ ? (Vergelijk met het middelste getal.) 5
3. Test nog een geval: wat is $20 + 21 + 22$ ? 63
4. Deductief: $(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ . Gebruik dit om $49 + 50 + 51$ te vinden. 150