Syllogismen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Alle rechthoeken zijn parallellogrammen. Alle vierkanten zijn rechthoeken. Dus zijn alle vierkanten parallellogrammen. Wat is de middenterm?
1. a)Vierhoeken
2. b)Rechthoeken
3. c)Parallellogrammen
4. d)Vierkanten
Antwoord: Rechthoeken
Rechthoeken staat in beide premissen en niet in de conclusie, dus rechthoeken is de middenterm $M$ . Vierkanten is de kleine term $S$ en parallellogrammen de grote term $P$ .
2.
Een venndiagram heeft drie overlappende cirkels $S$ , $M$ en $P$ . Hoeveel gebieden heeft het, als je het gebied buiten alle drie de cirkels meetelt?
Antwoord: 8
Voor elke cirkel ligt een gebied binnen of buiten, dus zijn er $2 \times 2 \times 2 = 8$ gebieden: 3 binnen precies één cirkel, 3 binnen precies twee, 1 binnen alle drie en 1 buiten alle cirkels.
3.
Ter herinnering: A = alle $S$ zijn $P$ , E = geen $S$ is $P$ , I = sommige $S$ zijn $P$ , O = sommige $S$ zijn niet $P$ . Welke lijst geeft de codes van deze vier uitspraken in de juiste volgorde? (1) Sommige rechthoeken zijn geen vierkanten. (2) Alle vierkanten zijn rechthoeken. (3) Sommige rechthoeken zijn vierkanten. (4) Geen driehoek is een vierkant.
1. a)O, E, I, A
2. b)I, A, O, E
3. c)O, A, I, E
4. d)E, A, I, O
Antwoord: O, A, I, E
Sommige rechthoeken zijn geen vierkanten is O (sommige, met een ontkenning), alle vierkanten zijn rechthoeken is A, sommige rechthoeken zijn vierkanten is I, en geen driehoek is een vierkant is E. De lijst is dus O, A, I, E.
4.
Alle $14$ leden van de schaakclub zitten ook in de wiskundeclub. De wiskundeclub heeft $25$ leden. Hoeveel leden van de wiskundeclub zitten niet in de schaakclub?
Antwoord: 11
Alle leden van de schaakclub liggen binnen de cirkel van de wiskundeclub, dus $25 - 14 = 11$ leden van de wiskundeclub zitten niet in de schaakclub.
5.
Geen priemgetal groter dan $2$ is even. Alle getallen in de verzameling $T$ zijn priemgetallen groter dan $2$ . Welke conclusie volgt?
1. a)Alle even getallen zitten in $T$
2. b)Er volgt niets
3. c)Sommige getallen in $T$ zijn even
4. d)Geen getal in $T$ is even
Antwoord: Geen getal in $T$ is even
Met $M$ = priemgetallen groter dan $2$ , $P$ = even getallen en $S$ = getallen in $T$ zijn de premissen geen $M$ is $P$ en alle $S$ zijn $M$ . Deze geldige vorm geeft geen $S$ is $P$ : geen getal in $T$ is even.
6.
Alle veelvouden van $6$ zijn veelvouden van $3$ . Alle veelvouden van $12$ zijn veelvouden van $6$ . Dus zijn alle veelvouden van $12$ veelvouden van $3$ . Benoem de middenterm en volg dan het getal $60$ (een veelvoud van $12$ ) door de ketting. Wat is $60 \div 3$ ?
Antwoord: 20
1. Welke letter, $S$ , $M$ of $P$ , staat voor de veelvouden van $6$ ? M
2. Wat is $60 \div 12$ ? 5
3. Wat is $60 \div 6$ ? 10
4. Wat is $60 \div 3$ ? 20
7.
Alle dichters zijn dromers. Sommige dromers zijn ingenieurs. Dus zijn sommige dichters ingenieurs. Hoe beoordeel je deze redenering?
1. a)Geldig, maar een premisse is onwaar
2. b)Geldig en deugdelijk
3. c)Ongeldig, omdat een syllogisme het woord sommige niet mag gebruiken
4. d)Ongeldig: de dichters en de ingenieurs kunnen verschillende dromers zijn
Antwoord: Ongeldig: de dichters en de ingenieurs kunnen verschillende dromers zijn
De middenterm dromers dekt nooit zijn hele groep: de dichters zijn een deel van de dromers, en de ingenieurs kunnen andere dromers zijn. In het diagram kan de x voor sommige dromers zijn ingenieurs buiten de cirkel van de dichters liggen, dus de redenering is ongeldig (niet-verdeelde middenterm).
8.
Een klas heeft $60$ leerlingen. Geen lid van het zwemteam zit in het voetbalteam. Het zwemteam heeft $16$ leden en het voetbalteam $22$ . Hoeveel leerlingen zitten in geen van beide teams?
Antwoord: 22
Geen zwemmer is voetballer, dus de overlap is leeg en $16 + 22 = 38$ leerlingen zitten in een team. In geen enkel team: $60 - 38 = 22$ .
9.
Een klas heeft $32$ leerlingen. Alle $8$ leden van de schaakclub zitten in de wiskundeclub, die $15$ leden heeft. Geen lid van de wiskundeclub zit in de toneelclub, die $10$ leden heeft. Hoeveel leerlingen zitten in geen van de drie clubs?
Antwoord: 7
1. Hoeveel leden van de schaakclub zitten in de toneelclub? 0
2. Hoeveel leerlingen zitten in minstens één club? 25
3. Hoeveel leerlingen zitten in geen enkele club? 7
10.
Alle veelvouden van $4$ zijn even. Alle veelvouden van $6$ zijn even. Dus zijn alle veelvouden van $6$ veelvouden van $4$ . Laat met een tegenvoorbeeld zien dat de redenering ongeldig is. Wat is het kleinste positieve veelvoud van $6$ dat geen veelvoud van $4$ is?
Antwoord: 6
1. Welke letter, $S$ , $M$ of $P$ , staat voor de even getallen? M
2. Wat is de rest als je $6$ deelt door $4$ ? 2
3. Wat is het kleinste positieve veelvoud van $6$ dat geen veelvoud van $4$ is? 6
11.
Alle veelvouden van $4$ zijn veelvouden van $8$ . $12$ is een veelvoud van $4$ . Dus is $12$ een veelvoud van $8$ . Welke beschrijving klopt?
1. a)Geldig maar niet deugdelijk: de eerste premisse is onwaar
2. b)Ongeldig, omdat de conclusie onwaar is
3. c)Ongeldig: niet-verdeelde middenterm
4. d)Geldig en deugdelijk
Antwoord: Geldig maar niet deugdelijk: de eerste premisse is onwaar
De vorm alle $M$ zijn $P$ , $x$ is een $M$ , dus $x$ is een $P$ is geldig. Maar de eerste premisse is onwaar: $4$ is een veelvoud van $4$ en niet van $8$ . De redenering is dus geldig maar niet deugdelijk, en de conclusie is onwaar ( $12 \div 8 = 1{,}5$ ).
12.
Een orkest heeft $24$ leden. Alle $9$ leerlingen die viool spelen, zitten in het orkest. $4$ van de violisten zingen in het koor, en $7$ andere orkestleden zingen ook in het koor. Hoeveel orkestleden zingen niet in het koor?
Antwoord: 13
Alle violisten zitten in het orkest en sommige violisten zingen in het koor, dus sommige orkestleden zingen in het koor: $4 + 7 = 11$ . De rest zingt niet: $24 - 11 = 13$ .
13.
Test het syllogisme geen $M$ is $P$ , sommige $S$ zijn $M$ , dus sommige $S$ zijn niet $P$ met het diagram met 8 gebieden (gebied 4 = alleen binnen $S$ en $M$ , gebied 6 = alleen binnen $M$ en $P$ , gebied 7 = binnen alle drie). Wat is de code van de conclusie?
Antwoord: O
1. Hoeveel van de 8 gebieden arceert geen $M$ is $P$ ? 2
2. De overlap van $S$ en $M$ bestaat uit de gebieden 4 en 7. Hoeveel daarvan zijn nog niet gearceerd? 1
3. In welk gebied moet de x voor sommige $S$ zijn $M$ ? Geef het nummer. 4
4. Gebied 4 ligt binnen $S$ en buiten $P$ . Welke code (A, E, I of O) heeft de conclusie sommige $S$ zijn niet $P$ ? O
14.
In het venndiagram met drie cirkels voor $S$ , $M$ en $P$ arceer je de premissen alle $S$ zijn $M$ en geen $M$ is $P$ . Hoeveel van de 8 gebieden zijn in totaal gearceerd?
Antwoord: 4
Alle $S$ zijn $M$ arceert de gebieden 1 en 5 (binnen $S$ , buiten $M$ ). Geen $M$ is $P$ arceert de gebieden 6 en 7 (binnen $M$ en $P$ ). Geen enkel gebied staat in beide lijsten, dus $2 + 2 = 4$ gebieden zijn gearceerd. Omdat de gebieden 5 en 7 gearceerd zijn, laat het diagram ook geen $S$ is $P$ zien.
15.
De uitspraken $p \to q$ en $q \to r$ zijn waar, en $r$ is onwaar. Welke uitspraak moet waar zijn?
1. a) $q$
2. b) $p$
3. c) $\neg p$
4. d) $r \to p$
Antwoord: $\neg p$
Het hypothetisch syllogisme geeft $p \to r$ . De contrapositie daarvan is $\neg r \to \neg p$ . Omdat $r$ onwaar is, is $\neg r$ waar, dus $\neg p$ is waar. $q$ kan niet waar zijn (dan zou $r$ waar zijn), en $r \to p$ volgt niet.
16.
Premissen: als $n$ deelbaar is door $20$ , dan is $n$ deelbaar door $10$ . Als $n$ deelbaar is door $10$ , dan is het laatste cijfer van $n$ een $0$ . Als het laatste cijfer van $n$ een $0$ is, dan is $n$ deelbaar door $5$ . Het hypothetisch syllogisme geeft: als $n$ deelbaar is door $20$ , dan is $n$ deelbaar door $5$ . Controleer dat met $n = 140$ en laat daarna zien dat de omgekeerde niet volgt. Wat is het kleinste positieve getal dat deelbaar is door $5$ , maar niet door $20$ ?
Antwoord: 5
1. Wat is $140 \div 20$ ? 7
2. Wat is het laatste cijfer van $140$ ? 0
3. Wat is $140 \div 5$ ? 28
4. Wat is het kleinste positieve getal dat deelbaar is door $5$ , maar niet door $20$ ? 5
17.
Een sportclub heeft $70$ leden, en $45$ van hen zwemmen. Alle $20$ tennissers zijn zwemmers. $12$ tennissers lopen ook hard, $8$ zwemmers die geen tennis spelen lopen hard, en $15$ leden die niet zwemmen lopen hard. Hoeveel leden zwemmen niet en lopen ook niet hard?
Antwoord: 10
1. Hoeveel zwemmers spelen geen tennis? 25
2. Hoeveel leden lopen in totaal hard? 35
3. Hoeveel leden zwemmen niet en lopen niet hard? 10
18.
Laat zien dat sommige $S$ zijn $M$ , sommige $M$ zijn $P$ , dus sommige $S$ zijn $P$ ongeldig is. Gebruik $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ en $P = \{3, 4\}$ . Hoeveel elementen hebben $S$ en $P$ gemeen?
Antwoord: 0
1. Hoeveel elementen hebben $S$ en $M$ gemeen? 1
2. Hoeveel elementen hebben $M$ en $P$ gemeen? 1
3. Hoeveel elementen hebben $S$ en $P$ gemeen? 0