Bewijs via contrapositie

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke bewering is de contrapositie van "Als $n^2$ even is, dan is $n$ even"?
1. a)Als $n^2$ oneven is, dan is $n$ oneven
2. b)Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ even
3. c)Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven
4. d)Als $n$ even is, dan is $n^2$ even
Antwoord: Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven
De contrapositie van $p \to q$ is $\neg q \to \neg p$ : "als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven". De eerste keuze is de omgekeerde, de tweede de inverse, de laatste heeft er niets mee te maken.
2.
Je wilt "Als $xy$ oneven is, dan zijn $x$ en $y$ allebei oneven" bewijzen via contrapositie. Wat neem je aan het begin aan?
1. a) $x$ en $y$ zijn allebei oneven
2. b) $x$ en $y$ zijn allebei even
3. c) $x$ is even of $y$ is even
4. d) $xy$ is even
Antwoord: $x$ is even of $y$ is even
De conclusie " $x$ en $y$ zijn oneven" is onwaar zodra één getal even is, dus de ontkenning is " $x$ is even of $y$ is even". " $xy$ is even" moet je juist bewijzen, en "allebei even" laat gevallen weg.
3.
Wat is de ontkenning van " $x \geq 5$ of $y \geq 5$ "?
1. a) $x \leq 5$ en $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ of $y < 5$
3. c) $x < 5$ en $y < 5$
4. d) $x > 5$ en $y > 5$
Antwoord: $x < 5$ en $y < 5$
"Niet ( $a$ of $b$ )" betekent "niet $a$ en niet $b$ ", en de ontkenning van $x \geq 5$ is $x < 5$ . Het antwoord is dus " $x < 5$ en $y < 5$ ". Met $\leq$ zou de waarde 5 ten onrechte meedoen.
4.
Bij een bewijs van $p \to q$ via contrapositie neem je eerst $\neg q$ aan. Waar moet je aan het eind uitkomen?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ en $\neg q$ tegelijk
3. c) $q$
4. d)Een willekeurige tegenspraak
Antwoord: $\neg p$
Een bewijs via contrapositie bewijst $\neg q \to \neg p$ , dus vanuit $\neg q$ moet je precies bij $\neg p$ uitkomen. Een willekeurige tegenspraak zoeken, of $p$ en $\neg q$ samen aannemen, is een bewijs uit het ongerijmde.
5.
Bij welke bewering is een bewijs via contrapositie duidelijk beter dan een direct bewijs?
1. a)Als $n$ even is, dan is $n^2$ even
2. b)Als $a$ en $b$ even zijn, dan is $a + b$ even
3. c)Als $5n + 1$ even is, dan is $n$ oneven
4. d)Als $n$ oneven is, dan is $n + 1$ even
Antwoord: Als $5n + 1$ even is, dan is $n$ oneven
Bij de andere drie beweringen is de aanname concreet ( $n = 2k$ , $a = 2m$ en $b = 2j$ , $n = 2k + 1$ ), dus een direct bewijs gaat snel. " $5n + 1$ is even" zegt weinig over $n$ , maar de contrapositie is makkelijk: als $n = 2k$ , dan is $5n + 1 = 10k + 1 = 2(5k) + 1$ oneven.
6.
Kijk in de waarheidstabel naar de rij waarin $p$ waar is en $q$ onwaar. Wat is de waarde van $\neg q \to \neg p$ in die rij? Typ 1 voor waar en 0 voor onwaar.
Antwoord: 0
Met $p$ waar en $q$ onwaar: $\neg q$ is waar en $\neg p$ is onwaar, dus $\neg q \to \neg p$ is onwaar (0). Dat is precies de rij waarin ook $p \to q$ onwaar is: de twee kolommen komen overeen.
7.
Bewijs via contrapositie van "als $n^2$ oneven is, dan is $n$ oneven": neem $n = 2k$ aan, dus $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Hoeveel is $2k^2$ voor $k = 7$ ?
Antwoord: 98
$2k^2 = 2 \cdot 49 = 98$ . Controle: $n = 14$ en $n^2 = 196 = 2 \cdot 98$ , en dat is even, zoals de contrapositie zegt.
8.
In het bewijs dat een oneven $n$ een oneven $n^2$ geeft, schrijven we $n = 2k + 1$ en $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Voor $n = 9$ is $k = 4$ . Hoeveel is $2k^2 + 2k$ ?
Antwoord: 40
$2k^2 + 2k = 32 + 8 = 40$ . Controle: $2 \cdot 40 + 1 = 81 = 9^2$ , een oneven getal.
9.
De contrapositie van "als $x + y \geq 10$ , dan $x \geq 5$ of $y \geq 5$ " zegt: als $x < 5$ en $y < 5$ , dan $x + y < 10$ . Wat is voor gehele getallen $x$ en $y$ met $x < 5$ en $y < 5$ de grootst mogelijke waarde van $x + y$ ?
Antwoord: 8
De grootste waarden zijn $x = 4$ en $y = 4$ , dus $x + y = 8$ , en dat is kleiner dan 10, zoals de contrapositie voorspelt.
10.
Om "als $n^2 - 6n + 5$ even is, dan is $n$ oneven" via contrapositie te bewijzen, neem je $n = 2k$ aan. Dan is $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Hoeveel is $2k^2 - 6k + 2$ voor $k = 3$ ?
Antwoord: 2
$2k^2 - 6k + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$ . Controle: $n = 6$ geeft $36 - 36 + 5 = 5 = 2 \cdot 2 + 1$ , een oneven getal.
11.
Controleer de contrapositie van "als $n^2$ even is, dan is $n$ even" met het oneven getal $n = 11$ .
Antwoord: $121 = 2 \cdot 60 + 1$
1. Hoeveel is $n^2$ ? 121
2. Schrijf $121 = 2m + 1$ . Hoeveel is $m$ ? 60
3. Wat is de rest als je $121$ door 2 deelt? 1
12.
Bewijs "als $3n + 2$ oneven is, dan is $n$ oneven" via contrapositie en controleer het met $k = 4$ .
Antwoord: 13
1. Neem aan dat $n$ even is: $n = 2k$ . Hoeveel is $n$ voor $k = 4$ ? 8
2. Hoeveel is $3n + 2$ ? 26
3. Algemeen is $3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ . Hoeveel is $3k + 1$ voor $k = 4$ ? 13
13.
Contrapositie van "als $xy$ oneven is, dan zijn $x$ en $y$ oneven", geval " $x$ is even". Volg het bewijs met $x = 6$ en $y = 7$ .
Antwoord: 21
1. Schrijf $x = 2k$ . Hoeveel is $k$ ? 3
2. Hoeveel is $xy$ ? 42
3. Het bewijs schrijft $xy = 2(ky)$ . Hoeveel is $ky$ ? 21
14.
Vergelijk de kolommen $p \to q$ en $\neg q \to \neg p$ in de waarheidstabel met 4 rijen.
Antwoord: 0
1. In hoeveel van de 4 rijen is $p \to q$ waar? 3
2. In hoeveel rijen is $\neg q \to \neg p$ waar? 3
3. In hoeveel rijen hebben de twee kolommen verschillende waarden? 0
15.
Bewijs via contrapositie: voor reële getallen $x$ , $y$ , $z$ geldt: als $x + y + z \geq 30$ , dan is $x \geq 10$ of $y \geq 10$ of $z \geq 10$ .
Antwoord: $x + y + z < 30$
1. De ontkende conclusie is " $x < 10$ en $y < 10$ en $z < 10$ ". Hoeveel ongelijkheden neem je aan? 3
2. Tel de ongelijkheden op: $x + y + z$ is kleiner dan welk getal? 30
3. Kan $x + y + z \geq 30$ dan gelden? Typ 1 voor ja en 0 voor nee. 0
16.
Bewering: als $n^2 - 6n + 5$ even is, dan is $n$ oneven. Controleer de contrapositie met $n = 2k$ en $k = 5$ .
Antwoord: 22
1. Hoeveel is $n$ ? 10
2. Hoeveel is $n^2 - 6n + 5$ ? 45
3. Schrijf de uitkomst als $2m + 1$ . Hoeveel is $m$ ? 22
17.
Bewijs via contrapositie: als 7 getallen een som $S$ groter dan 63 hebben, dan is minstens één ervan groter dan 9.
Antwoord: $S \leq 63$
1. Ontkende conclusie: elk getal is hoogstens welke waarde? 9
2. Wat is de grootst mogelijke som van 7 zulke getallen? 63
3. Kan de som dan groter zijn dan 63? Typ 1 voor ja en 0 voor nee. 0
18.
Bewijs "als $n^2$ niet deelbaar is door 3, dan is $n$ niet deelbaar door 3" via contrapositie en controleer het met $k = 7$ .
Antwoord: 147
1. Neem aan dat $n$ deelbaar is door 3: $n = 3k$ . Hoeveel is $n$ voor $k = 7$ ? 21
2. Hoeveel is $n^2$ ? 441
3. Algemeen is $n^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ . Hoeveel is $3k^2$ voor $k = 7$ ? 147