Docentenhandleiding: Bewijs via contrapositie

Bewijs een als-dan-bewering door aan te nemen dat de conclusie onwaar is en te laten zien dat de aanname dan ook onwaar is.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Wiskundige bewijzen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Uitleggen waarom een bewering en haar contrapositie logisch equivalent zijn
Bepalen wanneer een bewijs via contrapositie eenvoudiger is dan een direct bewijs
Conclusies met "en", "of" en ongelijkheden correct ontkennen
Volledige bewijzen via contrapositie schrijven over even en oneven getallen en over ongelijkheden
Een bewijs via contrapositie onderscheiden van een bewijs uit het ongerijmde

Vereisten

• Direct bewijs: uitgaan van de aanname en de conclusie afleiden
• Contrapositie: $\neg q \to \neg p$ maken van een als-dan-bewering
• Introductie tot wiskundige bewijzen: aanname, conclusie en QED
• Definities van even ( $2k$ ) en oneven ( $2k + 1$ ) gehele getallen

Discussiestarters

1. "Als het regent, is de straat nat." Wat kun je concluderen als de straat droog is? En als hij nat is?
2. Waarom is de aanname " $n^2$ is even" lastiger te gebruiken dan " $n$ is oneven"?
3. Wat is het tegenovergestelde van "minstens één van de getallen is 5 of meer"?
4. Hoe zou je aan een vriend uitleggen wat het verschil is tussen een bewijs via contrapositie en een bewijs uit het ongerijmde?

Veelvoorkomende misvattingen

De contrapositie en de omgekeerde bewering zijn hetzelfde

Herstel: Gebruik een ware bewering met een onware omgekeerde: "als een getal deelbaar is door 4, is het even". De omgekeerde klopt niet ( $6$ is even maar niet deelbaar door 4), terwijl de contrapositie ("als een getal oneven is, is het niet deelbaar door 4") waar is.

Ontkennen is gewoon "niet" voor elk woord zetten

Herstel: Oefen met " $x$ en $y$ zijn oneven": leerlingen proberen paren zoals $(2, 3)$ en zien dat de bewering al onwaar is als maar één getal even is. Dat leidt tot " $x$ is even of $y$ is even".

Een bewijs via contrapositie moet eindigen met een tegenspraak

Herstel: Zet beide bewijzen van "als $n^2$ even is, dan is $n$ even" naast elkaar en laat zien dat de versie via contrapositie gewoon eindigt bij " $n^2$ is oneven".

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef een sjabloon: Contrapositie: ... / Neem aan: ... / Dan: ... / Dus: ... / Daarmee is de oorspronkelijke bewering waar
• Begin met zinnen uit het dagelijks leven voordat je naar getallen gaat
• Controleer elke stap met concrete getallen zoals $n = 7$ of $n = 10$

Voor leerlingen op niveau:

• De klassieke beweringen over even en oneven zonder sjabloon bewijzen
• Beweringen met en, of en ongelijkheden ontkennen en daarna bewijzen
• Per bewering bepalen of een direct bewijs of contrapositie korter is

Voor gevorderde leerlingen:

• Bewijs: als $n^2$ deelbaar is door 3, dan is $n$ deelbaar door 3 (gevallen $n = 3k + 1$ en $n = 3k + 2$ )
• Gebruik "uit $n^2$ even volgt $n$ even" om het bewijs te volgen dat $\sqrt{2}$ irrationaal is
• Herschrijf een bewijs via contrapositie als bewijs uit het ongerijmde en vergelijk de lengte

Standaarduitlijning

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Houdbare argumenten opbouwen en de redenering van anderen kritisch beoordelen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Nauwkeurig werken, ook bij het precies gebruiken van logische voegwoorden en ontkenningen
HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Elke stap bij het oplossen van een vergelijking uitleggen als gevolg van de gelijkheid in de vorige stap

Lesbronnen

visualWaarheidstabel: twee gelijke kolommen
Leerlingen bouwen de kolommen $p \to q$ en $\neg q \to \neg p$ en zien dat ze gelijk zijn
activityDirect of contrapositie?
8 beweringen sorteren op de methode die het kortste bewijs geeft, en er daarna twee bewijzen
worksheetOntkennen oefenen
Beweringen met en, of, minstens één en ongelijkheden ontkennen voordat je bewijzen schrijft

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een bewijs via contrapositie bewijst een als-dan-bewering

p \to q

door in plaats daarvan de contrapositie

\neg q \to \neg p

te bewijzen. Je neemt aan dat de conclusie onwaar is en laat zien dat de aanname dan onwaar moet zijn.

Waarom dat mag (herhaling van de les Contrapositie): een bewering en haar contrapositie zijn logisch equivalent. Hun kolommen in de waarheidstabel zijn in elke rij gelijk (T staat voor waar en F voor onwaar; de interactieve tabel schrijft W en O):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & \neg q & \neg p & \neg q \to \neg p \\ \hline F & F & T & T & T & T \\ F & T & T & F & T & T \\ T & F & F & T & F & F \\ T & T & T & F & F & T \end{array}

Zodra

\neg q \to \neg p

bewezen is, is

p \to q

dus ook bewezen.

Het plan van het bewijs:

1.Schrijf de contrapositie op: ontken de aanname en de conclusie en verwissel ze.
2.Neem $\neg q$ aan (de conclusie is onwaar).
3.Werk vooruit met definities en algebra, precies zoals bij een direct bewijs.
4.Kom uit bij $\neg p$ (de aanname is onwaar).
5.Concludeer: de contrapositie is waar, dus de oorspronkelijke bewering is waar.

Wanneer je het kiest: als de aanname

p

weinig houvast geeft ("

n^2

is even" zegt niets eenvoudigs over

n

), maar de ontkende conclusie

\neg q

concreet is ("

n

is oneven" betekent

n = 2k + 1

Niet hetzelfde als een bewijs uit het ongerijmde: daar neem je

p

\neg q

samen aan en zoek je *een of andere* tegenspraak. Hier neem je alleen

\neg q

aan en mik je op één vast doel:

\neg p

Uitgewerkte voorbeelden

Bewijs: voor elk geheel getal $n$ geldt: als $n^2$ even is, dan is $n$ even.

Schrijf de contrapositie op

Ontken beide delen en verwissel ze: "als $n$ niet even is, dan is $n^2$ niet even" → Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven

Neem de ontkende conclusie aan

Neem aan dat $n$ oneven is, dus $n = 2k + 1$ voor een geheel getal $k$ → $n = 2k + 1$

Kwadrateer en werk haakjes weg

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ → $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Schrijf het in de vorm 2m + 1

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , en $m = 2k^2 + 2k$ is een geheel getal → $n^2$ is oneven

Concludeer

We hebben " $n$ oneven $\Rightarrow$ $n^2$ oneven" bewezen, de contrapositie van de bewering → Als $n^2$ even is, dan is $n$ even

Antwoord: De contrapositie (als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven) is waar, dus de oorspronkelijke bewering is waar. QED

Veelgemaakte fouten

De omgekeerde bewijzen in plaats van de contrapositie: bij "als $n^2$ even is, dan is $n$ even" aannemen dat $n$ even is en laten zien dat $n^2$ even is

Waarom het fout is: Dan bewijs je $q \to p$ , de omgekeerde bewering, en dat is een andere bewering. Een bewering en haar omgekeerde zijn niet equivalent.

Correct: Ontken beide delen en verwissel ze: neem aan dat $n$ oneven is ( $\neg q$ ) en laat zien dat $n^2$ oneven is ( $\neg p$ ).

" $x$ en $y$ zijn oneven" ontkennen als " $x$ en $y$ zijn even"

Waarom het fout is: De conclusie is al onwaar zodra één van de getallen even is. "Allebei even" dekt maar een deel van de gevallen, dus het bewijs zou onvolledig zijn.

Correct: "Niet ( $a$ en $b$ )" is "niet $a$ of niet $b$ ": $x$ is even of $y$ is even. Bewijs daarna elk geval.

$x \geq 5$ ontkennen als $x \leq 5$

Waarom het fout is: De waarde $x = 5$ voldoet aan zowel $x \geq 5$ als $x \leq 5$ , dus $x \leq 5$ is niet het tegenovergestelde van $x \geq 5$ .

Correct: De ontkenning van $x \geq 5$ is $x < 5$ , en de ontkenning van $x > 5$ is $x \leq 5$ .

$\neg q$ aannemen en dan op zoek gaan naar "een of andere tegenspraak"

Waarom het fout is: Zo meng je twee methoden. Bij een bewijs via contrapositie is er geen tegenspraak: je hebt één duidelijk doel.

Correct: Neem $\neg q$ aan en werk door tot je precies bij $\neg p$ bent. Zoeken naar een willekeurige tegenspraak hoort bij het bewijs uit het ongerijmde.

Waarom het belangrijk is

Bewijzen via contrapositie is een van de handigste gereedschappen in de wiskunde:

Het maakt vage aannames concreet: met " $n^2$ is even" kun je weinig, met " $n$ is oneven, dus $n = 2k + 1$ " kun je veel
Het helpt bij conclusies met "of": de ontkenning van " $x \geq 5$ of $y \geq 5$ " is het handige " $x < 5$ en $y < 5$ "
Het zit in klassieke resultaten: het bewijs dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, gebruikt dat uit $n^2$ even volgt dat $n$ even is, en dat bewijs je via contrapositie
Het is dagelijkse logica: "als de rookmelder werkt, piept hij bij de test" betekent "geen piep, dus de melder is kapot"
Het bereidt je voor op het bewijs uit het ongerijmde, de volgende les in dit onderwerp, omdat je leert beweringen correct te ontkennen

Als je goed kunt ontkennen en van gezichtspunt kunt wisselen, worden veel bewijzen die direct onmogelijk lijken maar een paar regels lang.

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole

Controleurs gebruiken contrapositie om gevallen uit te sluiten zonder elk artikel twee keer te wegen.

Voorbeeld:

Regel: als een pak van 4 dozen minstens 2000 g weegt, dan weegt minstens één doos minstens 500 g. Contrapositie: als elke doos minder dan 500 g weegt, weegt het pak minder dan 2000 g.

1Probeer het zelf

Een machine vult 4 dozen en geen enkele doos kan meer dan 495 g bevatten.

Laat met de contrapositie zien dat het pak geen 2000 g kan halen.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Grootst mogelijke totaal van de 4 dozen:

Software testen

Programmeurs testen code met contrapositie: als de code correct is, geeft een test de juiste uitkomst, dus een foute uitkomst bewijst een bug.

Voorbeeld:

Een functie moet $f(n) = 3n + 2$ berekenen. We hebben bewezen: als $f(n)$ oneven is, dan is $n$ oneven. Contrapositie: een even $n$ moet een even uitkomst geven.

2Probeer het zelf

Een test roept de functie aan met $n = 8$ en het programma geeft 27 terug.

Wat zou de juiste uitkomst zijn, en wat vertelt 27 je?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken de juiste waarde $f(8)$ :

Controlecijfers in codes

Veel codes gebruiken een eenvoudige regel om tikfouten te vinden. De contrapositie vertelt je wanneer een code zeker fout is.

Voorbeeld:

Regel: als een code geldig is, dan is de som van de cijfers deelbaar door 9. Contrapositie: als de cijfersom niet deelbaar is door 9, is de code niet geldig.

3Probeer het zelf

Iemand typt de code 4726 in.

Gebruik de contrapositie om te bepalen of de code geldig kan zijn.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Som van de cijfers:

Belangrijke punten

1Een bewijs via contrapositie bewijst $p \to q$ door $\neg q \to \neg p$ te bewijzen
2Het werkt omdat een bewering en haar contrapositie logisch equivalent zijn (gelijke kolommen in de waarheidstabel)
3Plan: neem aan dat de conclusie onwaar is, werk vooruit en laat zien dat de aanname onwaar is
4Kies het als de ontkende conclusie concreet is, bijvoorbeeld " $n$ is oneven" geeft $n = 2k + 1$
5Ontken zorgvuldig: "en" wordt "of", "of" wordt "en", $\geq$ wordt $<$
6Anders dan bij een bewijs uit het ongerijmde neem je alleen $\neg q$ aan en heb je één doel: $\neg p$

Veelgestelde vragen

Waarom bewijst de contrapositie de oorspronkelijke bewering?

Omdat ze logisch equivalent zijn: in de waarheidstabel zijn

p \to q

\neg q \to \neg p

in precies dezelfde rij onwaar (

p

waar,

q

onwaar) en in alle andere rijen waar. Wie de ene bewijst, heeft ook de andere bewezen.

Hoe weet ik wanneer ik contrapositie moet gebruiken in plaats van een direct bewijs?

Kijk naar de aanname. Als die lastig te gebruiken is (een bewering over

n^2

, een product, een som) terwijl de ontkende conclusie je een formule geeft (

n = 2k

n = 2k + 1

x < 5

y < 5

), is contrapositie meestal korter.

Wat is het verschil met een bewijs uit het ongerijmde?

Bij een bewijs uit het ongerijmde neem je

p

\neg q

aan en zoek je een of andere onmogelijke situatie. Bij een bewijs via contrapositie neem je alleen

\neg q

aan en moet je precies bij

\neg p

uitkomen. Elk bewijs via contrapositie kun je herschrijven als bewijs uit het ongerijmde, maar niet andersom.

Als ik de contrapositie bewijs, is de omgekeerde bewering dan ook waar?

Niet vanzelf. De omgekeerde

q \to p

is een aparte bewering. Zo zijn "als

n^2

even is, dan is

n

even" en de omgekeerde "als

n

even is, dan is

n^2

even" allebei waar, maar elk heeft een eigen bewijs nodig.

Woordenlijst

Contrapositie: De bewering $\neg q \to \neg p$ die je uit $p \to q$ krijgt door beide delen te ontkennen en te verwisselen
Bewijs via contrapositie: Een bewijs van $p \to q$ dat $\neg q$ aanneemt en daaruit $\neg p$ afleidt
Logisch equivalent: Twee beweringen die in elke rij van de waarheidstabel dezelfde waarheidswaarde hebben
Ontkenning (negatie): De bewering "niet $p$ " ( $\neg p$ ), die precies waar is als $p$ onwaar is
Omgekeerde bewering: De bewering $q \to p$ ; die is niet equivalent met $p \to q$
Even / oneven geheel getal: Een geheel getal van de vorm $2k$ (even) of $2k + 1$ (oneven), waarbij $k$ een geheel getal is

Formulekaart

Equivalentie met de contrapositie

p \to q \;\equiv\; \neg q \to \neg p

Wie de rechterkant bewijst, bewijst de linkerkant

"En" ontkennen

\neg(a \land b) \equiv \neg a \lor \neg b

Niet allebei: minstens één is onwaar

"Of" ontkennen

\neg(a \lor b) \equiv \neg a \land \neg b

Geen van beide: allebei onwaar

Even en oneven

n = 2k

(even),

\; n = 2k + 1

(oneven)

De concrete vormen die je krijgt na het ontkennen van "even" of "oneven"

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Bewijs via contrapositie

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole

Software testen

Controlecijfers in codes

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Equivalentie met de contrapositie

"En" ontkennen

"Of" ontkennen

Even en oneven

Meer over dit onderwerp

Introductie tot wiskundige bewijzen

Direct bewijs

Bewijzen in twee kolommen

Bewijzen in alineavorm