Bewijzen in twee kolommen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke reden schrijf je in een bewijs in twee kolommen naast bewering 1?
1. a)Reflexieve eigenschap
2. b)Definitie van supplementaire hoeken
3. c)Substitutie
4. d)Gegeven
Antwoord: Gegeven
Een bewijs begint met de informatie die we krijgen, dus bewering 1 heeft als reden "Gegeven".
2.
Gegeven: $3x + 5 = 20$ . Bewering 2 gebruikt de eigenschap van gelijkheid (aan beide kanten 5 aftrekken): $3x = \square$ . Welk getal hoort in het vakje?
Antwoord: 15
$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ geeft $3x = 15$ , met als reden de eigenschap van gelijkheid (aftrekken).
3.
Gegeven: $x + 9 = 14$ . Te bewijzen: $x = 5$ . Maak het bewijs in twee kolommen af.
Antwoord: 5
1. Bewering 1 is $x + 9 = 14$ (gegeven). Welk getal trek je aan beide kanten af? 9
2. Bewering 2 (eigenschap van gelijkheid, aftrekken): $x = ?$ 5
3. Hoeveel beweringen heeft het afgemaakte bewijs? 2
4.
Welke reden rechtvaardigt de bewering $AB = AB$ ?
1. a)Transitieve eigenschap
2. b)Substitutie
3. c)Reflexieve eigenschap
4. d)Symmetrische eigenschap
Antwoord: Reflexieve eigenschap
$a = a$ is de reflexieve eigenschap. De symmetrische maakt van $a = b$ de bewering $b = a$ , de transitieve heeft twee gelijkheden nodig.
5.
Gegeven: $\angle A$ en $\angle B$ zijn complementair, $m\angle A = 34^\circ$ . Hoe groot is $m\angle B$ volgens de definitie van complementaire hoeken en de eigenschap van gelijkheid (aftrekken)? Schrijf alleen het aantal graden.
Antwoord: 56
$m\angle A + m\angle B = 90^\circ$ , dus $34^\circ + m\angle B = 90^\circ$ en $m\angle B = 56^\circ$ .
6.
Gegeven: $\angle 1$ en $\angle 2$ zijn supplementair, $m\angle 1 = 120^\circ$ . Te bewijzen: $m\angle 2 = 60^\circ$ .
Antwoord: 60
1. Volgens de definitie van supplementaire hoeken is $m\angle 1 + m\angle 2$ hoeveel graden? 180
2. Door substitutie is $120 + m\angle 2 = 180$ . Na de eigenschap van gelijkheid (aftrekken) is $m\angle 2 = ?$ 60
7.
Bewering 1: $\frac{x}{4} = 3$ (gegeven). Bewering 2: $x = 12$ . Welke reden rechtvaardigt bewering 2?
1. a)Distributieve eigenschap
2. b)Substitutie
3. c)Eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen)
4. d)Eigenschap van gelijkheid (delen)
Antwoord: Eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen)
Beide kanten zijn met 4 vermenigvuldigd: $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ . Dat is de eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen), ook al maakt ze een deling ongedaan.
8.
Gegeven: $4(x + 3) = 36$ . Te bewijzen: $x = 6$ .
Antwoord: 6
1. Distributieve eigenschap: bewering 2 is $4x + \square = 36$ . Welk getal? 12
2. Eigenschap van gelijkheid (aftrekken): $4x = ?$ 24
3. Eigenschap van gelijkheid (delen): $x = ?$ 6
9.
De punten $A$ , $B$ , $C$ liggen in deze volgorde op een lijn. $AB = 2x + 1$ , $BC = 7$ en $AC = 20$ . Gebruik het optellen van lijnstukken en bewijs de waarde van $x$ . Hoeveel is $x$ ?
Antwoord: 6
$AB + BC = AC$ (optellen van lijnstukken), dus $2x + 1 + 7 = 20$ (substitutie), $2x + 8 = 20$ , $2x = 12$ (aftrekken), $x = 6$ (delen).
10.
$\angle 1$ en $\angle 3$ zijn overstaande hoeken met $m\angle 1 = (4x + 5)^\circ$ en $m\angle 3 = 65^\circ$ . Te bewijzen: $x = 15$ .
Antwoord: 15
1. Stelling van de overstaande hoeken: $4x + 5 = \square$ . Welk getal? 65
2. Eigenschap van gelijkheid (aftrekken): $4x = ?$ 60
3. Eigenschap van gelijkheid (delen): $x = ?$ 15
11.
Bewijs: 1. $5x - 2 = 3x + 8$ (gegeven); 2. $2x - 2 = 8$ (eigenschap van gelijkheid, aftrekken); 3. $2x = 10$ (?); 4. $x = 5$ (eigenschap van gelijkheid, delen). Welke reden hoort bij stap 3?
1. a)Eigenschap van gelijkheid (delen)
2. b)Eigenschap van gelijkheid (optellen)
3. c)Eigenschap van gelijkheid (aftrekken)
4. d)Transitieve eigenschap
Antwoord: Eigenschap van gelijkheid (optellen)
Van $2x - 2 = 8$ naar $2x = 10$ is aan beide kanten 2 opgeteld: eigenschap van gelijkheid (optellen).
12.
Gegeven: $\frac{x}{2} - 3 = 4$ . Bewijs de waarde van $x$ met de eigenschap van gelijkheid (optellen) en daarna (vermenigvuldigen). Hoeveel is $x$ ?
Antwoord: 14
Optellen: $\frac{x}{2} = 7$ . Vermenigvuldigen (met 2): $x = 14$ . Controle: $\frac{14}{2} - 3 = 4$ .
13.
Gegeven: $7x - 4 = 3x + 16$ . Te bewijzen: $x = 5$ .
Antwoord: 5
1. Eigenschap van gelijkheid ( $3x$ aftrekken): bewering 2 is $\square x - 4 = 16$ . Welk getal? 4
2. Eigenschap van gelijkheid (optellen): $4x = ?$ 20
3. Eigenschap van gelijkheid (delen): $x = ?$ 5
14.
Zoek de fout. 1. $\frac{x}{3} + 2 = 6$ (gegeven); 2. $\frac{x}{3} = 4$ (eigenschap van gelijkheid, aftrekken); 3. $x = 12$ (eigenschap van gelijkheid, delen). Welk deel van het bewijs is fout?
1. a)Reden 2
2. b)Bewering 2
3. c)Reden 3
4. d)Bewering 3
Antwoord: Reden 3
Alle beweringen kloppen: $\frac{x}{3} = 4$ en $x = 12$ . Maar stap 3 vermenigvuldigt beide kanten met 3 ( $\frac{x}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$ ), dus reden 3 moet de eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen) zijn.
15.
$\angle 1$ en $\angle 3$ zijn overstaande hoeken met $m\angle 1 = (5x - 10)^\circ$ en $m\angle 3 = (3x + 20)^\circ$ . Bewijs de waarde van $x$ en bereken dan $m\angle 1$ . Schrijf alleen het aantal graden.
Antwoord: 65
Overstaande hoeken: $5x - 10 = 3x + 20$ . Aftrekken: $2x - 10 = 20$ . Optellen: $2x = 30$ . Delen: $x = 15$ . Substitutie: $m\angle 1 = 5 \cdot 15 - 10 = 65^\circ$ (en $m\angle 3 = 3 \cdot 15 + 20 = 65^\circ$ ).
16.
$\angle 1$ en $\angle 2$ zijn nevenhoeken, $m\angle 1 = (3x + 10)^\circ$ en $m\angle 2 = (2x + 20)^\circ$ . Te bewijzen: $m\angle 1 = 100^\circ$ .
Antwoord: 100
1. Nevenhoeken zijn supplementair: $(3x + 10) + (2x + 20) = ?$ 180
2. Vereenvoudigd: $5x + 30 = 180$ . Eigenschap van gelijkheid (aftrekken): $5x = ?$ 150
3. Eigenschap van gelijkheid (delen): $x = ?$ 30
4. Substitutie: $m\angle 1 = 3 \cdot 30 + 10 = ?$ 100
17.
De punten $A$ , $B$ , $C$ liggen in deze volgorde op een lijn. $AB = x + 4$ , $BC = 2x + 5$ en $AC = 30$ . Te bewijzen: $AB = 11$ .
Antwoord: 11
1. Optellen van lijnstukken en substitutie: $(x + 4) + (2x + 5) = 30$ . Vereenvoudigd: $3x + \square = 30$ . Welk getal? 9
2. Eigenschap van gelijkheid (aftrekken): $3x = ?$ 21
3. Eigenschap van gelijkheid (delen): $x = ?$ 7
4. Substitutie: $AB = x + 4 = ?$ 11
18.
Punt $C$ ligt binnen de rechte hoek $\angle ABD$ . $m\angle ABC = (2x)^\circ$ en $m\angle CBD = (3x + 15)^\circ$ . Te bewijzen: $m\angle CBD = 60^\circ$ .
Antwoord: 60
1. Optellen van hoeken en definitie van een rechte hoek: $2x + (3x + 15) = ?$ 90
2. Vereenvoudigd: $5x + 15 = 90$ . Eigenschap van gelijkheid (aftrekken): $5x = ?$ 75
3. Eigenschap van gelijkheid (delen): $x = ?$ 15
4. Substitutie: $m\angle CBD = 3 \cdot 15 + 15 = ?$ 60