Docentenhandleiding: Bewijzen in twee kolommen

Leer bewijzen in twee kolommen te schrijven: links elke bewering, rechts de reden die haar rechtvaardigt, bij vergelijkingen, lijnstukken en hoeken.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Wiskundige bewijzen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Een bewijs in twee kolommen opzetten met gegeven, te bewijzen, genummerde beweringen en redenen
Elke stap bij het oplossen van een vergelijking verantwoorden met een eigenschap van gelijkheid
Eenvoudige bewijzen over lijnstukken en hoeken schrijven met de optelpostulaten en hoekdefinities
Ontbrekende beweringen en redenen invullen in een half afgemaakt bewijs

Vereisten

• Introductie tot wiskundige bewijzen: wat een bewijs is en waarom we het nodig hebben
• Direct bewijs: vanuit de aanname vooruit redeneren
• Lineaire vergelijkingen in één en twee stappen oplossen
• Basiskennis van hoeken: rechte hoek, gestrekte hoek, overstaande hoeken

Discussiestarters

1. Waarom is "ik heb het getal naar de andere kant gebracht" geen goede reden in een bewijs?
2. Wat is makkelijker te controleren: een bewijs in twee kolommen of dezelfde redenering als lopende tekst? Waarom?
3. Kan een bewijs juist zijn als de stappen in een andere volgorde staan dan in het bewijs van je buur?
4. Waarom mag je de te bewijzen bewering niet als reden gebruiken?

Veelvoorkomende misvattingen

De reden beschrijft de berekening ("20 min 5 is 15") in plaats van een eigenschap te noemen

Herstel: Geef leerlingen een vaste lijst met toegestane redenen. Elke reden moet van die lijst komen, zo leren ze elke stap aan zijn eigenschap te koppelen.

Elke ware bewering mag in het bewijs, ook als ze niet volgt uit de rijen erboven

Herstel: Vraag bij elke rij: welke eerdere rijen gebruikt ze? Teken pijlen vanaf die rijen. Een rij zonder inkomende pijl (behalve het gegeven) hoort er niet in.

Een deling ongedaan maken betekent de eigenschap van gelijkheid (delen) gebruiken

Herstel: Laat leerlingen de bewerking die aan beide kanten gebeurt in de kantlijn schrijven, bijvoorbeeld " $\cdot 4$ ". Die bewerking geeft de naam van de eigenschap.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met bewijzen waarin alle beweringen gegeven zijn en alleen de redenen ontbreken
• Een redenenbank met 8 tot 10 redenen aanbieden om uit te kiezen
• Alleen vergelijkingen in één en twee stappen gebruiken voordat hoeken aan bod komen

Voor leerlingen op niveau:

• Volledige algebraïsche bewijzen schrijven met haakjes en onbekenden aan beide kanten
• Uitspraken over lijnstukken en hoeken bewijzen met de optelpostulaten
• De verkeerde reden in een fout bewijs vinden en verbeteren

Voor gevorderde leerlingen:

• De stelling van de overstaande hoeken zonder hulp bewijzen
• Twee verschillende juiste bewijzen schrijven bij hetzelfde gegeven en te bewijzen
• Een bewijs in twee kolommen herschrijven als bewijs in alineavorm en beide vergelijken

Standaarduitlijning

HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Elke stap bij het oplossen van een eenvoudige vergelijking uitleggen als gevolg van de gelijkheid uit de vorige stap
HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Stellingen over lijnen en hoeken bewijzen, onder andere dat overstaande hoeken congruent zijn
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Steekhoudende argumenten opbouwen en de redenering van anderen kritisch beoordelen

Lesbronnen

visualVergelijkingen stap voor stap oplossen
Leerlingen lossen vergelijkingen stap voor stap op en noemen de eigenschap achter elke stap
activityBewijspuzzel met stroken
Beweringen en redenen worden in stroken geknipt; tweetallen leggen het bewijs in de juiste volgorde
worksheetOntbrekende redenen
Half ingevulde bewijzen in twee kolommen waarin leerlingen lege beweringen en redenen aanvullen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een bewijs in twee kolommen is een bewijs in de vorm van een tabel. In de linkerkolom staan de beweringen (wat we bij elke stap weten), in de rechterkolom de redenen (waarom elke bewering klopt). Het bewijs begint bij wat gegeven is en eindigt met de bewering die te bewijzen was.

Gegeven:

3x + 5 = 20

Te bewijzen:

x = 5

Nr.	Bewering	Reden
1	$3x + 5 = 20$	Gegeven
2	$3x = 15$	Eigenschap van gelijkheid (aftrekken)
3	$x = 5$	Eigenschap van gelijkheid (delen)

Elke reden moet het gegeven zijn, een definitie, een eigenschap, een postulaat of een eerder bewezen stelling. De redenen die je het vaakst gebruikt:

Reden	Wat ze toestaat
Eigenschap van gelijkheid (optellen en aftrekken)	Als $a = b$ , dan $a + c = b + c$ en $a - c = b - c$
Eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen en delen)	Als $a = b$ , dan $ac = bc$ en $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ voor $c \neq 0$
Substitutie	Als $a = b$ , mag je $a$ in elke bewering vervangen door $b$
Distributieve eigenschap	$a(b + c) = ab + ac$
Reflexieve eigenschap	$a = a$
Symmetrische eigenschap	Als $a = b$ , dan $b = a$
Transitieve eigenschap	Als $a = b$ en $b = c$ , dan $a = c$

Bij lijnstukken en hoeken gebruik je ook:

Optellen van lijnstukken (postulaat): als $B$ op een lijn tussen $A$ en $C$ ligt, dan is $AB + BC = AC$
Optellen van hoeken (postulaat): als punt $D$ binnen $\angle ABC$ ligt, dan is $m\angle ABD + m\angle DBC = m\angle ABC$
Definities: complementaire hoeken zijn samen $90^\circ$ , supplementaire hoeken zijn samen $180^\circ$
Stelling van de overstaande hoeken: overstaande hoeken zijn even groot

Uitgewerkte voorbeelden

Gegeven: $3x + 5 = 20$ . Te bewijzen: $x = 5$ . Schrijf het bewijs in twee kolommen.

Schrijf het gegeven als bewering 1

Bewering: $3x + 5 = 20$ → Reden: gegeven

Trek aan beide kanten 5 af

$3x + 5 - 5 = 20 - 5$ , dus bewering: $3x = 15$ → Reden: eigenschap van gelijkheid (aftrekken)

Deel beide kanten door 3

$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ , dus bewering: $x = 5$ → Reden: eigenschap van gelijkheid (delen)

Controleer of de laatste bewering de te bewijzen bewering is

Bewering 3 is $x = 5$ , precies wat we moesten bewijzen → Het bewijs is klaar

Antwoord: 1. $3x + 5 = 20$ (gegeven); 2. $3x = 15$ (eigenschap van gelijkheid, aftrekken); 3. $x = 5$ (eigenschap van gelijkheid, delen).

Veelgemaakte fouten

Opschrijven wat je deed in plaats van een reden, bijvoorbeeld "ik heb de 5 naar de andere kant gebracht"

Waarom het fout is: Een reden moet een regel noemen die iedereen accepteert. Een getal "naar de andere kant brengen" is geen regel en verbergt wat er echt gebeurde.

Correct: Noem de eigenschap: van $3x + 5 = 20$ naar $3x = 15$ is de eigenschap van gelijkheid (aftrekken), want aan beide kanten is 5 afgetrokken.

Delen kiezen in plaats van vermenigvuldigen bij $\frac{x}{4} = 3$ naar $x = 12$

Waarom het fout is: De stap maakt een deling ongedaan, maar wat je echt doet is beide kanten met 4 vermenigvuldigen.

Correct: Vraag je af wat je met beide kanten deed. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ is de eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen).

De te bewijzen bewering als reden of als bewering 1 gebruiken

Waarom het fout is: De te bewijzen bewering is het doel. Als je haar gebruikt voordat je er bent, draait het bewijs in een cirkel en bewijst het niets.

Correct: Bewering 1 is altijd gegeven informatie. De te bewijzen bewering komt maar één keer voor, als laatste bewering.

Twee stappen in één rij doen met één reden

Waarom het fout is: Van $2(x - 4) = 10$ meteen naar $2x = 18$ gebruikt twee verschillende eigenschappen, dus één reden is niet genoeg.

Correct: Eén stap per rij: eerst $2x - 8 = 10$ (distributieve eigenschap), dan $2x = 18$ (eigenschap van gelijkheid, optellen).

Waarom het belangrijk is

Bewijzen in twee kolommen maken elke stap van een redenering zichtbaar:

Geen verborgen sprongen: elke bewering heeft een eigen reden nodig, dus een gat of een fout zie je meteen
Algebra met begrip: bij het oplossen van een vergelijking weet je precies welke eigenschap elke stap toestaat
Meetkunde: de meeste schoolbewijzen over lijnstukken, hoeken en driehoeken worden in twee kolommen geschreven
Programmeren: code regel voor regel controleren, met een reden voor elke regel, werkt op dezelfde manier
Duidelijke communicatie: een lezer kan je bewijs rij voor rij nakijken

Als je elke stap kunt verantwoorden, kun je op je antwoord vertrouwen, en anderen ook!

Toepassingen in de echte wereld

Code regel voor regel controleren

Programmeurs tonen aan dat een berekening klopt door elke regel te verantwoorden, net als de rijen van een bewijs in twee kolommen.

Voorbeeld:

Een programma lost $4x - 7 = 21$ op. Een reviewer controleert elke regel: 7 optellen (eigenschap van gelijkheid, optellen), dan door 4 delen (eigenschap van gelijkheid, delen).

1Probeer het zelf

Het programma krijgt $4x - 7 = 21$ als gegeven en moet bewijzen dat $x = 7$ .

Welke waarde voor $x$ bereikt het bewijs?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de berekening die beide bewerkingen ongedaan maakt:

Een plankdrager maken

Timmerlieden gebruiken het optellen van hoeken wanneer een schuine steun de rechte hoek tussen muur en plank verdeelt.

Voorbeeld:

De muur en de plank ontmoeten elkaar onder $90^\circ$ . Een steun verdeelt die hoek in twee hoeken die samen $90^\circ$ zijn.

2Probeer het zelf

De steun maakt een hoek van $38^\circ$ met de muur. De twee hoeken aan weerszijden van de steun vormen samen de hoek van $90^\circ$ tussen muur en plank.

Bewijs hoe groot de hoek tussen de steun en de plank is.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de berekening voor de tweede hoek:

Afstanden op een rechte weg

Op een rechte weg volgen de afstanden tussen plaatsen het optellen van lijnstukken, zodat je een ontbrekende afstand kunt bewijzen.

Voorbeeld:

Als plaats $B$ tussen de plaatsen $A$ en $C$ ligt, dan is $AB + BC = AC$ .

3Probeer het zelf

De plaatsen $A$ , $B$ , $C$ liggen in deze volgorde aan een rechte weg. $AB = 35$ km en $AC = 120$ km.

Bewijs hoe ver het van $B$ naar $C$ is.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de berekening voor $BC$ :

Belangrijke punten

1Een bewijs in twee kolommen zet de beweringen links en hun redenen rechts
2Het begint bij het gegeven en eindigt precies met de bewering die te bewijzen was
3Elke reden is het gegeven, een definitie, een eigenschap, een postulaat of een eerdere stelling
4Eigenschappen van gelijkheid: wat je aan de ene kant optelt, aftrekt, vermenigvuldigt of deelt, doe je ook aan de andere kant
5Substitutie, de reflexieve, symmetrische en transitieve eigenschap en de distributieve eigenschap zijn ook geldige redenen
6Bij lijnstukken en hoeken gebruik je het optellen van lijnstukken en hoeken, de definities van complementaire ( $90^\circ$ ) en supplementaire ( $180^\circ$ ) hoeken en de overstaande hoeken

Veelgestelde vragen

Is een bewijs in twee kolommen iets anders dan een vergelijking oplossen?

De stappen zijn hetzelfde. Het verschil is dat je in een bewijs bij elke stap de reden schrijft, dus je laat niet alleen het antwoord zien maar ook waarom elke stap is toegestaan.

Hoe weet ik welke reden ik moet schrijven?

Vergelijk de nieuwe bewering met de vorige en vraag je af wat er veranderd is. Is er aan beide kanten iets opgeteld? Zijn haakjes uitgewerkt? Is een waarde ingevuld in plaats van een andere? De verandering vertelt je de reden.

Wat is het verschil tussen substitutie en de transitieve eigenschap?

De transitieve eigenschap werkt met drie gelijke dingen: als

a = b

b = c

, dan

a = c

. Substitutie is algemener: je vervangt een grootheid in elke bewering door een gelijke grootheid, bijvoorbeeld

65^\circ

in plaats van

m\angle 1

. Veel docenten accepteren allebei als allebei passen.

Kan een bewijs meerdere juiste versies hebben?

Ja. Soms kun je de stappen in een andere volgorde zetten of een andere eigenschap gebruiken. Een bewijs is juist zolang elke bewering uit eerdere volgt en elke reden geldig is.

Woordenlijst

Bewijs in twee kolommen: Een bewijs in de vorm van een tabel, met beweringen links en redenen rechts
Bewering: Eén stap van het bewijs: een feit dat we op dat moment weten, zoals $3x = 15$
Reden: De regel die een bewering rechtvaardigt: gegeven, definitie, eigenschap, postulaat of stelling
Gegeven / te bewijzen: Het gegeven is de informatie waarmee je begint; te bewijzen is de bewering die je aan het eind moet bereiken
Eigenschap van gelijkheid: Een regel die zegt dat een vergelijking waar blijft als je aan beide kanten dezelfde bewerking doet
Postulaat: Een bewering die zonder bewijs wordt aangenomen, zoals het optellen van lijnstukken

Formulekaart

Eigenschap van gelijkheid (optellen)

a = b \Rightarrow a + c = b + c

Aan beide kanten hetzelfde getal optellen

Eigenschap van gelijkheid (aftrekken)

a = b \Rightarrow a - c = b - c

Aan beide kanten hetzelfde getal aftrekken

Eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen)

a = b \Rightarrow ac = bc

Beide kanten met hetzelfde getal vermenigvuldigen

Eigenschap van gelijkheid (delen)

a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\ c \neq 0

Beide kanten door hetzelfde getal delen dat niet nul is

Distributieve eigenschap

a(b + c) = ab + ac

Haakjes uitwerken

Reflexief, symmetrisch, transitief

a = a;\ a = b \Rightarrow b = a;\ a = b,\ b = c \Rightarrow a = c

Basiseigenschappen van gelijkheid

Optellen van lijnstukken

AB + BC = AC

Als B op een lijn tussen A en C ligt

Complementaire en supplementaire hoeken

m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ \text{ of } 180^\circ

Definities van complementaire en supplementaire hoeken

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Bewijzen in twee kolommen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Code regel voor regel controleren

Een plankdrager maken

Afstanden op een rechte weg

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Eigenschap van gelijkheid (optellen)

Eigenschap van gelijkheid (aftrekken)

Eigenschap van gelijkheid (vermenigvuldigen)

Eigenschap van gelijkheid (delen)

Distributieve eigenschap

Reflexief, symmetrisch, transitief

Optellen van lijnstukken

Complementaire en supplementaire hoeken

Meer over dit onderwerp

Introductie tot wiskundige bewijzen

Direct bewijs

Bewijzen in alineavorm

Meetkundige bewijzen