Docentenhandleiding: Ellipsen in standaardvorm

Leer ellipsen schrijven, tekenen en analyseren met de vergelijking in standaardvorm.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Kegelsneden. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De vergelijking van een ellips in standaardvorm schrijven gegeven de belangrijkste kenmerken
Middelpunt, hoekpunten, nevenhoekpunten en brandpunten identificeren uit een vergelijking in standaardvorm
Bepalen of een ellips horizontaal of verticaal is aan de hand van de vergelijking
Ellipsvergelijkingen van algemene vorm naar standaardvorm converteren door het kwadraat compleet te maken
De relatie toepassen om brandpunten te vinden

Vereisten

• Kwadraat compleet maken
• Afstandsformule
• Tekenen in het coördinatenstelsel
• Introductie tot ellipsen (basisdefinitie)

Discussiestarters

1. Waarom denk je dat planetaire banen ellipsen zijn in plaats van cirkels?
2. Hoe beïnvloedt het veranderen van de waarde van versus de vorm van de ellips?
3. Welke situaties in de echte wereld kunnen vereisen dat je de brandpunten van een ellips vindt?
4. Als een ellips een excentriciteit dicht bij 0 heeft, hoe ziet deze er dan uit? En als deze dicht bij 1 is?

Veelvoorkomende misvattingen

Het grootste getal in de vergelijking hoort altijd bij x

Brandpunten liggen op de korte as

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met ellipsen gecentreerd in de oorsprong
• Gebruik kleurcodering om en in vergelijkingen te identificeren
• Verstrek formulekaarten tijdens het oefenen

Voor leerlingen op niveau:

• Oefen zowel horizontale als verticale ellipsen
• Converteer van algemene vorm naar standaardvorm
• Vind alle belangrijke kenmerken uit vergelijkingen

Voor gevorderde leerlingen:

• Verken excentriciteit en de betekenis ervan
• Leid de standaardvorm af uit de brandpuntdefinitie
• Onderzoek de reflecterende eigenschappen van ellipsen

Standaarduitlijning

HSG-GPE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GPE.A.3)
Leid de vergelijkingen van ellipsen af gegeven de brandpunten, gebruikmakend van het feit dat de som van de afstanden tot de brandpunten constant is
HSG-GPE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GPE.A.1)
Leid de vergelijking van een cirkel af; maak het kwadraat compleet om het middelpunt en de straal te vinden

Lesbronnen

visualInteractieve ellipsverkenner
Pas middelpunt, a en b aan om te zien hoe de ellips verandert
activityEllipscomponenten koppelen
Koppel vergelijkingen aan hun grafieken en belangrijkste kenmerken
worksheetConverteren naar standaardvorm
Oefen met kwadraat compleet maken bij ellipsvergelijkingen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een ellips is de verzameling van alle punten waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (de brandpunten genoemd) constant is.

Vergelijkingen in standaardvorm

Horizontale ellips (breder dan hoog):

Verticale ellips (hoger dan breed):

Belangrijke componenten

Middelpunt:
Halve lange as: (altijd de grootste waarde)
Halve korte as: (altijd de kleinste waarde)
Relatie: waarbij de afstand is van het middelpunt tot elk brandpunt

Uitgewerkte voorbeelden

Vind het middelpunt, de hoekpunten, nevenhoekpunten en brandpunten van de ellips:

Identificeer het middelpunt

Uit en volgt en → Middelpunt:

Vind en

(groter), (kleiner) → ,

Bepaal de oriëntatie

Omdat onder staat, is de lange as horizontaal → Horizontale ellips

Vind de hoekpunten (op de lange as)

→ Hoekpunten: en

Vind de nevenhoekpunten (op de korte as)

→ Nevenhoekpunten: en

Bereken voor de brandpunten

, dus →

Vind de brandpunten (op de lange as)

→ Brandpunten: en

Antwoord: Middelpunt: ; Hoekpunten: , ; Nevenhoekpunten: , ; Brandpunten: ,

Veelgemaakte fouten

Verwarren welke noemer vs geeft

Waarom het fout is: Leerlingen nemen aan dat altijd onder staat, maar per definitie geldt , dus is de grotere noemer.

Correct: Altijd identificeren: = grotere noemer, = kleinere noemer. Bepaal dan de oriëntatie aan de hand van welke variabele heeft.

Gebruik van (hyperboolvormule) in plaats van

Waarom het fout is: Hyperbolen gebruiken optellen, ellipsen gebruiken aftrekken. Dit is een cruciaal verschil.

Correct: Voor ellipsen: . Onthoud: brandpunten liggen binnen de ellips, dus .

Vergeten de tekens te veranderen bij het aflezen van het middelpunt uit de vergelijking

Waarom het fout is: De vergelijking bevat , dus betekent , niet .

Correct: met betekent , dus .

Brandpunten plaatsen op de korte as

Waarom het fout is: Leerlingen kunnen vergeten dat brandpunten altijd op de lange as liggen (de langste).

Correct: Brandpunten liggen altijd op de lange as, op afstand van het middelpunt.

Waarom het belangrijk is

Ellipsen komen overal voor in wetenschap en techniek:

Astronomie: Planeten bewegen rond de zon in elliptische banen (Eerste wet van Kepler)
Architectuur: Fluistergalerijen gebruiken elliptische plafonds voor akoestische effecten
Geneeskunde: Lithotripsie-apparaten gebruiken elliptische reflectoren om geluidsgolven op nierstenen te richten
Optica: Elliptische spiegels reflecteren al het licht van het ene brandpunt naar het andere

Het begrijpen van de standaardvorm helpt ons deze systemen wiskundig te analyseren en ontwerpen.

Toepassingen in de echte wereld

Planetaire banen

Alle planeten bewegen rond de zon in elliptische banen, met de zon in één brandpunt.

Voorbeeld:

De aardbaan heeft miljoen km en excentriciteit , waardoor deze bijna cirkelvormig is.

1Probeer het zelf

Een komeet beweegt rond de zon in een ellips met halve lange as AE en AE (afstand van middelpunt tot zon).

Vind de halve korte as .

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik :

Fluistergalerijen

In een elliptische ruimte wordt geluid van het ene brandpunt naar het andere gereflecteerd, waardoor gefluister door de ruimte kan reizen.

Voorbeeld:

Het Capitool in Washington D.C. heeft een elliptische zaal waar dit effect optreedt.

2Probeer het zelf

Een elliptische hal is 30 meter lang en 20 meter breed.

Hoe ver liggen de twee brandpunten (fluisterpunten) uit elkaar?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind waarbij en :

Belangrijke punten

1Een ellips in standaardvorm is (horizontaal) of met en verwisseld (verticaal)
2Het middelpunt ligt bij , en altijd (de grotere noemer bepaalt de oriëntatie)
3Hoekpunten liggen op de lange as op afstand van het middelpunt; nevenhoekpunten op de korte as op afstand
4Brandpunten liggen op de lange as op afstand van het middelpunt, waarbij
5Om van algemene vorm naar standaardvorm te converteren, maak het kwadraat compleet voor beide variabelen

Veelgestelde vragen

Hoe weet ik of een ellips horizontaal of verticaal is?

Kijk welke variabele de grotere noemer heeft. Als (groter) onder staat, is de lange as horizontaal. Als onder staat, is de lange as verticaal.

Wat is het verschil tussen a en c?

is de afstand van het middelpunt tot het hoekpunt (op de lange as). is de afstand van het middelpunt tot het brandpunt. Omdat brandpunten binnen de ellips liggen, geldt .

Wat gebeurt er als a = b?

Als , wordt de ellips een cirkel! De vergelijking wordt , en er zijn geen afzonderlijke brandpunten ().

Woordenlijst

Ellips: De verzameling van alle punten waarbij de som van de afstanden tot twee brandpunten constant is
Halve lange as: De helft van de lengte van de langste diameter, aangeduid met
Halve korte as: De helft van de lengte van de kortste diameter, aangeduid met
Brandpunt (mv. brandpunten): Een van twee vaste punten binnen de ellips;
Hoekpunt: Een eindpunt van de lange as
Nevenhoekpunt: Een eindpunt van de korte as
Excentriciteit: De verhouding die meet hoe uitgerekt de ellips is (0 = cirkel, dicht bij 1 = zeer uitgerekt)

Formulekaart

Standaardvorm (horizontaal)

$a > b$, lange as horizontaal

Standaardvorm (verticaal)

$a > b$, lange as verticaal

Relatie

$c$ = afstand van middelpunt tot brandpunt

Excentriciteit

$0 < e < 1$ voor alle ellipsen

Meer over dit onderwerp