Exponentiële vergelijkingen oplossen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Los $2^x = 16$ op.
1. a) $4$
2. b) $8$
3. c) $14$
4. d) $2$
Antwoord: $4$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ , dus $2^x = 2^4$ en $x = 4$ . Het antwoord $8$ komt van $16$ delen door $2$ , en dat is fout.
2.
Los $3^x = 81$ op.
Antwoord: 4
$81 = 3^4$ , dus $3^x = 3^4$ en $x = 4$ . Controle: $3^4 = 81$ ✓
3.
Los $5^{x-1} = 125$ op.
Antwoord: 4
1. Schrijf 125 als macht van 5: $125 = 5^{\square}$ . Wat is de exponent? 3
2. Stel de exponenten gelijk: $x - 1 = 3$ . Wat is $x$ ? 4
4.
Welke vergelijking is $4^x = 64$ , aan beide kanten geschreven met grondtal $2$ ?
1. a) $2^{2x} = 2^6$
2. b) $2^{x+2} = 2^6$
3. c) $2^{2x} = 2^8$
4. d) $2^x = 2^6$
Antwoord: $2^{2x} = 2^6$
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ en $64 = 2^6$ , dus de vergelijking is $2^{2x} = 2^6$ (dat geeft $x = 3$ , en inderdaad $4^3 = 64$ ).
5.
Los $5^x = \frac{1}{25}$ op.
Antwoord: -2
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ , dus $5^x = 5^{-2}$ en $x = -2$ .
6.
Los $3 \cdot 2^x = 96$ op.
Antwoord: 5
1. Deel beide kanten door 3: $2^x = \square$ 32
2. Schrijf 32 als macht van 2. Wat is $x$ ? 5
7.
Los $8^x = 4$ op. Schrijf het antwoord als breuk, zoals 3/4.
Antwoord: 2/3
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ en $4 = 2^2$ , dus $3x = 2$ en $x = \frac{2}{3}$ . Controle: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ ✓
8.
Los $9^x = \frac{1}{27}$ op.
1. a) $-3$
2. b) $-\frac{3}{2}$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $-\frac{2}{3}$
Antwoord: $-\frac{3}{2}$
$9^x = 3^{2x}$ en $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , dus $2x = -3$ en $x = -\frac{3}{2}$ . De keuze $\frac{3}{2}$ vergeet het minteken.
9.
Los $2^{3x} = \frac{1}{16}$ op. Schrijf het antwoord als breuk, zoals -5/2.
Antwoord: -4/3
1. Schrijf $\frac{1}{16}$ als macht van 2: $\frac{1}{16} = 2^{\square}$ . Wat is de exponent? -4
2. Stel de exponenten gelijk: $3x = -4$ . Wat is $x$ ? Schrijf het als breuk. -4/3
10.
Los $8^x = 32$ op. Schrijf het antwoord als breuk, zoals 7/2.
Antwoord: 5/3
1. $8 = 2^{\square}$ . Wat is de exponent? 3
2. $32 = 2^{\square}$ . Wat is de exponent? 5
3. Nu is $2^{3x} = 2^5$ , dus $3x = 5$ . Wat is $x$ ? Schrijf het als breuk. 5/3
11.
Los $25^x = 125$ op. Schrijf het antwoord als breuk, zoals 5/4.
Antwoord: 3/2
$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$ en $125 = 5^3$ , dus $2x = 3$ en $x = \frac{3}{2}$ . Controle: $25^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$ ✓
12.
Los $5 \cdot 3^{x+1} = 405$ op.
Antwoord: 3
1. Deel beide kanten door 5: $3^{x+1} = \square$ 81
2. $81 = 3^{\square}$ . Wat is de exponent? 4
3. $x + 1 = 4$ . Wat is $x$ ? 3
13.
De oplossing van $2^x = 20$ is geen geheel getal. Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligt ze?
1. a)4 en 5
2. b)3 en 4
3. c)10 en 11
4. d)5 en 6
Antwoord: 4 en 5
$2^4 = 16$ en $2^5 = 32$ . Omdat $16 < 20 < 32$ , ligt de oplossing tussen $4$ en $5$ (ongeveer $4{,}32$ ). De keuze 10 en 11 komt van 20 ten onrechte door 2 te delen.
14.
Los $4^{x+1} = 8^x$ op.
Antwoord: 2
1. $4 = 2^{\square}$ . Wat is de exponent? 2
2. $8 = 2^{\square}$ . Wat is de exponent? 3
3. Nu is $2^{2(x+1)} = 2^{3x}$ , dus $2x + 2 = 3x$ . Wat is $x$ ? 2
15.
De vergelijking $2^{x^2 - x} = 64$ heeft twee oplossingen. Wat is de grootste?
Antwoord: 3
1. $64 = 2^{\square}$ . Wat is de exponent? 6
2. Dus $x^2 - x - 6 = 0$ , ontbonden $(x - 3)(x + 2) = 0$ . Wat is de kleinste oplossing? -2
3. Wat is de grootste oplossing? 3
16.
Los $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$ op.
Antwoord: -3
$2^{-x} = 2^3$ , dus $-x = 3$ en $x = -3$ . Controle: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ ✓
17.
Welke vergelijking heeft geen oplossing?
1. a) $3^x = 1$
2. b) $2^x = \frac{1}{8}$
3. c) $4^x = 2$
4. d) $5^x = -25$
Antwoord: $5^x = -25$
$5^x$ is positief voor elke $x$ , dus het kan nooit gelijk zijn aan $-25$ . De andere hebben wel een oplossing: $2^x = \frac{1}{8}$ geeft $x = -3$ , $3^x = 1$ geeft $x = 0$ en $4^x = 2$ geeft $x = \frac{1}{2}$ .
18.
De oplossing van $3^x = 50$ is geen geheel getal. Wat is het kleinste gehele getal $n$ met $3^n > 50$ ?
Antwoord: 4
1. Wat is $3^3$ ? 27
2. Wat is $3^4$ ? 81
3. Omdat $27 < 50 < 81$ : wat is het kleinste gehele getal $n$ met $3^n > 50$ ? 4