Docentenhandleiding: Grafieken van exponentiële functies

Teken y = a·b^x met een tabel, lees het snijpunt met de y-as en de asymptoot af, en zie hoe verschuivingen, spiegelingen en vermenigvuldigingen de grafiek veranderen.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Exponentiële functies. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$y = a \cdot b^x$ tekenen met een tabel voor $x = -2$ tot en met $3$
Het snijpunt met de y-as, de horizontale asymptoot, het domein en het bereik van een exponentiële grafiek bepalen
Beschrijven hoe $h$ , $k$ en het teken en de grootte van $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$ de grafiek verschuiven en vervormen
Exponentiële vergelijkingen koppelen aan beschreven of geschetste grafieken
$a$ en $b$ van $y = a \cdot b^x$ bepalen uit twee punten van de grafiek

Vereisten

• Inleiding tot exponentiële functies: de vorm $f(x) = a \cdot b^x$ , groei en afname
• Exponentiële groei: groeifactoren en het berekenen van $A_0 \cdot b^t$
• Exponent nul en negatieve exponenten: $b^0 = 1$ en $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
• Punten uitzetten in een assenstelsel en functienotatie

Discussiestarters

1. Waarom bereikt de grafiek van $y = 2^x$ nooit de x-as, hoe ver je ook naar links gaat?
2. Als twee grafieken dezelfde asymptoot en hetzelfde snijpunt met de y-as hebben, zijn ze dan dezelfde grafiek? Zoek een voorbeeld.
3. Hoe zou je alleen aan een tabel kunnen zien of gegevens lineair of exponentieel zijn?
4. Wat verandert er aan de grafiek als je $2^x$ vervangt door $2^{x+1}$ , en waarom is dat hetzelfde als elke y-waarde verdubbelen?

Veelvoorkomende misvattingen

De asymptoot is altijd de x-as

Herstel: Laat leerlingen een tabel maken van $y = 2^x + 3$ voor $x = -5$ tot en met $0$ en zien dat de waarden naar 3 gaan, niet naar 0. Formuleer daarna de regel: de asymptoot schuift mee met $k$ .

De grafiek van $y = 2^{x-3}$ schuift naar links door het minteken

Herstel: Vraag: voor welke $x$ is de exponent 0? Omdat dat $x = 3$ is, ligt het oude punt $(0, 1)$ nu bij $(3, 1)$ , dus verder naar rechts.

Een dalende grafiek moet een grondtal tussen 0 en 1 hebben

Herstel: Vergelijk $y = (0{,}5)^x$ en $y = -2^x$ : beide dalen, maar om verschillende redenen (klein grondtal tegenover negatieve $a$ ). Aan het bereik zie je het verschil.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Eerst alleen met grondtal 2 werken en tabellen geven waarin de $x$ -waarden al ingevuld zijn
• Steeds één transformatie tegelijk gebruiken (eerst alleen $k$ , dan alleen $h$ ) voordat ze gecombineerd worden
• Eerst de asymptoot als stippellijn tekenen en daarna de punten uitzetten

Voor leerlingen op niveau:

• Functies met gecombineerde transformaties tekenen, zoals $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$
• Vergelijkingen koppelen aan beschrijvingen van grafieken in woorden
• Vergelijkingen opstellen uit twee punten, ook met punten die niet op de y-as liggen

Voor gevorderde leerlingen:

• $a$ , $b$ en $k$ bepalen als de asymptoot en twee punten gegeven zijn
• Uitleggen waarom $2^{x+1}$ hetzelfde is als $2 \cdot 2^x$ , zodat een horizontale verschuiving gelijk is aan een verticale vermenigvuldiging
• Het snijpunt van $y = a \cdot b^x + k$ met de x-as bepalen als $-k/a$ een macht van $b$ is

Standaarduitlijning

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Exponentiële functies tekenen met de snijpunten met de assen en het gedrag aan de uiteinden
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Het effect op de grafiek herkennen van het vervangen van f(x) door f(x) + k, k f(x), f(kx) en f(x + k)
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Exponentiële functies opstellen uit een grafiek, een beschrijving of twee paren invoer en uitvoer

Lesbronnen

visualExponentiële grafiek met schuifregelaars
De krommen $y = 2^x$ en $y = (0{,}5)^x$ met een tabel, en schuifregelaars voor $a$ , $b$ , $h$ en $k$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$ die de kromme en haar asymptoot verschuiven
activityGrafieken koppelen met kaartjes
Leerlingen koppelen acht vergelijkingen aan acht schetsen met alleen het snijpunt met de y-as, de asymptoot en de richting
worksheetTabel met transformaties
Leerlingen vullen $a$ , $h$ , $k$ , asymptoot, snijpunt met de y-as en bereik in voor tien getransformeerde functies

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Om een exponentiële functie

f(x) = a \cdot b^x

(met

b > 0

b \neq 1

) te tekenen, maak je een tabel, zet je de punten in een assenstelsel en verbind je ze met een vloeiende kromme die naar een horizontale asymptoot toe buigt.

De twee basisvormen (hier met

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Als $b > 1$ , stijgt de grafiek van links naar rechts: links bijna vlak bij de x-as, rechts steeds steiler.
Als $0 < b < 1$ , daalt de grafiek van links naar rechts: links steil, rechts bijna vlak bij de x-as.

**Kenmerken van

y = a \cdot b^x

:**

Snijpunt met de y-as: $(0, a)$ , omdat $b^0 = 1$
Horizontale asymptoot: $y = 0$ (de x-as); de kromme komt er steeds dichter bij, maar raakt hem nooit
Domein: alle reële getallen
Bereik: $y > 0$ als $a > 0$ , en $y < 0$ als $a < 0$

Transformaties:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ verschuift de grafiek $h$ eenheden naar rechts (naar links als $h$ negatief is)
$k$ verschuift de grafiek $k$ eenheden naar boven (naar beneden als $k$ negatief is) en verplaatst de asymptoot naar $y = k$
$a < 0$ spiegelt de grafiek in de x-as (vóór de verschuiving), zodat hij onder zijn asymptoot ligt
een factor $a$ met $\lvert a \rvert > 1$ rekt de grafiek verticaal uit, $0 < \lvert a \rvert < 1$ drukt hem in
Bereik van de getransformeerde grafiek: $y > k$ als $a > 0$ , en $y < k$ als $a < 0$

Uitgewerkte voorbeelden

Teken $y = 3 \cdot 2^x$ voor $x = -2$ tot en met $x = 3$ . Geef het snijpunt met de y-as, de asymptoot, het domein en het bereik.

Bereken de waarden voor negatieve $x$

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ en $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Punten $(-2; 0{,}75)$ en $(-1; 1{,}5)$

Bereken de waarden voor $x = 0$ tot en met $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Punten $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Zet de punten uit en verbind ze

Elke stap naar rechts verdubbelt $y$ ; elke stap naar links halveert $y$ → Een stijgende kromme, links vlak en rechts steil

Lees de kenmerken af

$a = 3$ geeft het snijpunt met de y-as; er wordt niets opgeteld, dus $k = 0$ → Snijpunt met de y-as $(0, 3)$ , asymptoot $y = 0$ , domein alle reële getallen, bereik $y > 0$

Antwoord: De grafiek gaat door $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Hij stijgt van links naar rechts, snijdt de y-as in $(0, 3)$ , nadert links de asymptoot $y = 0$ , heeft als domein alle reële getallen en als bereik $y > 0$ .

Veelgemaakte fouten

De asymptoot op $y = 0$ laten na een verticale verschuiving, bijvoorbeeld bij $y = 2^x + 3$

Waarom het fout is: Als je $k$ optelt, gaat elk punt $k$ omhoog, ook het niveau dat de kromme nadert. De grafiek van $y = 2^x + 3$ komt nooit onder 3.

Correct: Bij $y = a \cdot b^{x-h} + k$ is de asymptoot $y = k$ . Bij $y = 2^x + 3$ is dat $y = 3$ en is het bereik $y > 3$ .

De verkeerde kant op schuiven: denken dat $y = 2^{x-3}$ de grafiek 3 naar links schuift

Waarom het fout is: Bij $x - 3$ heb je een grotere $x$ nodig om dezelfde exponent als eerst te krijgen. Het punt $(0, 1)$ van $y = 2^x$ ligt nu bij $(3, 1)$ .

Correct: $x - h$ schuift $h$ naar rechts, $x + h$ schuift $h$ naar links. $y = 2^{x-3}$ gaat 3 naar rechts, $y = 2^{x+3}$ gaat 3 naar links.

Het snijpunt met de y-as aflezen als $a$ (of $a + k$ ) terwijl de grafiek ook horizontaal verschoven is

Waarom het fout is: Het snijpunt met de y-as is alleen bij $y = a \cdot b^x$ gelijk aan $(0, a)$ . Na een horizontale verschuiving is de exponent bij $x = 0$ niet meer 0.

Correct: Vul altijd $x = 0$ in. Bij $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , niet 1 en niet 4.

$-2^x$ behandelen als $(-2)^x$

Waarom het fout is: Machten gaan voor het minteken, dus $-2^x = -(2^x)$ . Het grondtal is 2, niet $-2$ , en $(-2)^x$ is niet eens een exponentiële functie.

Correct: $-2^x$ is de grafiek van $2^x$ gespiegeld in de x-as: bij $x = 2$ geeft hij $-4$ , terwijl $(-2)^2 = 4$ .

Waarom het belangrijk is

Een grafiek laat in één oogopslag zien wat een formule verbergt. Als je een exponentiële grafiek kunt schetsen, kun je:

Exponentiële gegevens herkennen: als een grafiek van volgers, cellen of spaargeld steeds sneller omhoog buigt, laat een tabel zien of er echt elke stap met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd.
De beginwaarde en de bodem aflezen: het snijpunt met de y-as is waar de hoeveelheid begint, en de asymptoot $y = k$ is het niveau dat de hoeveelheid nadert maar nooit passeert, bijvoorbeeld een basis die er altijd is.
Een model snel controleren: een schets laat meteen zien of een formule stijgt of daalt, waar hij de assen snijdt en welke waarden onmogelijk zijn (buiten het bereik).
Een model uit gegevens opstellen: twee punten zoals $(0, 3)$ en $(1, 6)$ zijn genoeg om $a$ en $b$ te vinden en de volgende waarden te voorspellen.

Deze vaardigheden komen later in dit onderwerp terug: exponentiële afname, halveringstijd, continue groei en exponentiële vergelijkingen, en daarna bij logaritmen.

Toepassingen in de echte wereld

Labgegevens aflezen in een grafiek

Biologen zetten aantallen cellen uit tegen de tijd. Als de punten op een exponentiële kromme liggen, zijn twee metingen genoeg om het model op te stellen en latere aantallen te voorspellen.

Voorbeeld:

Een kweek met 100 cellen aan het begin en 200 cellen een uur later volgt $y = 100 \cdot 2^x$ , dus na 4 uur zit de kromme op $100 \cdot 16 = 1600$ cellen.

1Probeer het zelf

Een celkweek heeft 200 cellen bij $x = 0$ uur en 600 cellen bij $x = 1$ uur, en de grafiek is exponentieel: $y = a \cdot b^x$ .

Hoeveel cellen voorspelt het model bij $x = 3$ uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal $a$ en $b$ en bereken dan $a \cdot b^3$ :

Videoweergaven met een basisniveau

Sommige hoeveelheden hebben een deel dat exponentieel groeit bovenop een constant deel. Het constante deel is de verticale verschuiving $k$, en in de grafiek is het de asymptoot.

Voorbeeld:

Een video krijgt elke dag vast 100 weergaven via zoekopdrachten, plus een gedeeld deel dat elke dag verdubbelt: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Terug in de tijd krimpt het gedeelde deel naar 0, dus de grafiek nadert $V = 100$ .

2Probeer het zelf

Het aantal weergaven per dag volgt $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , waarbij $t$ het aantal dagen is sinds de video gedeeld werd.

Hoeveel weergaven krijgt de video op dag $t = 4$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Papier vouwen

Elke vouw verdubbelt de dikte van een vel papier, dus de dikte na $n$ vouwen is een exponentiële functie waarvan de grafiek steeds sneller stijgt.

Voorbeeld:

Een vel van 0,1 mm dik heeft na $n$ vouwen een dikte van $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Na 7 vouwen is dat $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Probeer het zelf

Een vel papier is 0,1 mm dik, en de dikte na $n$ vouwen is $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

Na hoeveel vouwen is de stapel voor het eerst dikker dan 1 mm?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Maak een tabel van $0{,}1 \cdot 2^n$ en zoek de eerste waarde boven 1:

Belangrijke punten

1Om $y = a \cdot b^x$ te tekenen maak je een tabel (bijvoorbeeld $x = -2$ tot en met $3$ ), zet je de punten uit en verbind je ze met een vloeiende kromme
2Als $b > 1$ stijgt de grafiek van links naar rechts; als $0 < b < 1$ daalt hij; $y = b^x$ en $y = (1/b)^x$ zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as
3Voor $y = a \cdot b^x$ : snijpunt met de y-as $(0, a)$ , asymptoot $y = 0$ , domein alle reële getallen, bereik $y > 0$ als $a > 0$
4In $y = a \cdot b^{x-h} + k$ schuift $h$ naar rechts, schuift $k$ naar boven en legt de asymptoot op $y = k$ , en zet $a < 0$ de grafiek onder de asymptoot
5Na een verschuiving vind je het snijpunt met de y-as door $x = 0$ in te vullen; het bereik is $y > k$ of $y < k$
6Twee punten geven de vergelijking: $a$ is de waarde bij $x = 0$ , en het quotiënt van de y-waarden geeft een macht van $b$

Veelgestelde vragen

Raakt een exponentiële grafiek ooit zijn asymptoot?

Nee. Bij

y = a \cdot b^x + k

is de term

a \cdot b^x

nooit 0, dus

y

is nooit gelijk aan

k

. De kromme komt zo dichtbij als je wilt, daarom is het bereik

y > k

y < k

en hoort

k

er nooit bij.

Hoeveel punten heb ik nodig voor een schets?

Vier of vijf zijn genoeg: het snijpunt met de y-as, één of twee punten aan elke kant en de asymptoot. Een tabel van

x = -2

tot en met

x = 3

laat zowel de vlakke als de steile kant zien.

Waarom lijken $y = 2^x$ en $y = (0{,}5)^x$ elkaars spiegelbeeld?

Omdat

(0{,}5)^x = 2^{-x}

. De waarde van

(0{,}5)^x

bij

x = 3

is gelijk aan de waarde van

2^x

bij

x = -3

, dus elk punt

(x, y)

van de ene grafiek heeft een partner

(-x, y)

op de andere.

Verandert een horizontale verschuiving de asymptoot?

Nee. Naar links of rechts schuiven laat de kromme langs de asymptoot glijden, die op

y = k

blijft. Alleen de verticale verschuiving

k

verplaatst de asymptoot. Het snijpunt met de y-as verandert wel door een horizontale verschuiving.

Woordenlijst

Tabel: Een lijst van gekozen $x$ -waarden met de bijbehorende $y$ -waarden, gebruikt om punten van een grafiek uit te zetten
Horizontale asymptoot: Een horizontale lijn $y = k$ die de grafiek steeds dichter nadert, maar nooit bereikt
Snijpunt met de y-as: Het punt waar de grafiek de y-as snijdt; je vindt het door $x = 0$ in te vullen
Domein: Alle $x$ -waarden waarvoor de functie gedefinieerd is; bij elke exponentiële functie zijn dat alle reële getallen
Bereik: Alle $y$ -waarden die de functie aanneemt; bij $y = a \cdot b^x + k$ is dat $y > k$ (als $a > 0$ ) of $y < k$ (als $a < 0$ )
Transformatie: Een verschuiving, spiegeling of vermenigvuldiging die een grafiek verplaatst of vervormt, beschreven door $h$ , $k$ en $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Formulekaart

Exponentiële functie

y = a \cdot b^x

Snijpunt met de y-as $(0, a)$, asymptoot $y = 0$, stijgend als $b > 1$, dalend als $0 < b < 1$

Getransformeerde vorm

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ naar rechts, $k$ naar boven; asymptoot $y = k$; bereik $y > k$ als $a > 0$, $y < k$ als $a < 0$

Spiegelbeeld

(1/b)^x = b^{-x}

De grafieken van $b^x$ en $(1/b)^x$ zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as

Grondtal uit twee punten

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Deel de y-waarden van twee punten van $y = a \cdot b^x$ om een macht van $b$ te krijgen

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Grafieken van exponentiële functies

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Labgegevens aflezen in een grafiek

Videoweergaven met een basisniveau

Papier vouwen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Exponentiële functie

Getransformeerde vorm

Spiegelbeeld

Grondtal uit twee punten

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Exponentiële afname

Het natuurlijke grondtal e