Limieten aflezen uit een grafiek

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
De grafiek van $f$ is een rechte lijn die door een open rondje in $(3, 4)$ loopt. Er is ook een dicht punt in $(3, 1)$ . Wat is $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. a)1
2. b)3
3. c)4
4. d)bestaat niet
Antwoord: 4
Beide kanten van de lijn gaan naar het open rondje op hoogte $4$ , dus $\lim_{x \to 3} f(x) = 4$ . Het dichte punt in $(3, 1)$ geeft alleen $f(3) = 1$ .
2.
De grafiek van $g$ is de parabool $y = x^2$ met een open rondje in $(2, 4)$ en een dicht punt in $(2, 0)$ . Wat is $\lim_{x \to 2} g(x)$ ?
Antwoord: 4
In de buurt van $x = 2$ nadert de parabool van beide kanten $2^2 = 4$ , de hoogte van het open rondje. Dus $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$ .
3.
De grafiek van $f$ is de lijn $y = x + 2$ met een open rondje in $(1, 3)$ en een dicht punt in $(1, 6)$ . Bepaal $\lim_{x \to 1} f(x)$ en vergelijk die met $f(1)$ .
Antwoord: 3
1. Welke hoogte nadert de lijn links van $x = 1$ ? 3
2. Welke hoogte nadert de lijn rechts van $x = 1$ ? 3
3. Wat is $f(1)$ (het dichte punt)? 6
4. Wat is dus $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 3
4.
De grafiek van $f$ is een rechte lijn door een open rondje in $(3, 4)$ , met daarnaast een dicht punt in $(3, 1)$ . Wat is $f(3)$ ?
1. a)4
2. b)1
3. c)3
4. d)bestaat niet
Antwoord: 1
Het open rondje in $(3, 4)$ hoort niet bij de grafiek. Het dichte punt in $(3, 1)$ wel, dus $f(3) = 1$ , ook al is de limiet bij $3$ gelijk aan $4$ .
5.
De grafiek van $g$ is de parabool $y = x^2$ met een open rondje in $(2, 4)$ en een dicht punt in $(2, 0)$ . Wat is $g(2)$ ?
Antwoord: 0
Het dichte punt $(2, 0)$ is het punt van de grafiek bij $x = 2$ , dus $g(2) = 0$ . Het open rondje laat alleen zien waar de parabool naartoe gaat.
6.
De grafiek van $f$ is de lijn $y = 4 - x$ , getekend zonder gaten of extra punten. Bepaal $\lim_{x \to 1} f(x)$ en controleer of die gelijk is aan $f(1)$ .
Antwoord: 3
1. Welke hoogte nadert de lijn links van $x = 1$ ? 3
2. Welke hoogte nadert hij rechts van $x = 1$ ? 3
3. Wat is $f(1)$ ? 3
4. Is de limiet gelijk aan $f(1)$ ? ja
7.
Voor $x < 2$ volgt de grafiek van $f$ de lijn $y = x$ en eindigt in een open rondje in $(2, 2)$ . Voor $x \ge 2$ volgt hij $y = 5 - x$ , beginnend bij een dicht punt in $(2, 3)$ . Wat is $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)5
3. c)3
4. d)bestaat niet
Antwoord: bestaat niet
Vanaf links nadert de grafiek $2$ , vanaf rechts $5 - 2 = 3$ . De kanten komen niet overeen, dus de limiet bestaat niet, ook al is $f(2) = 3$ .
8.
De grafiek van $h$ is de lijn door $(0, -1)$ en $(4, 7)$ , met een open rondje bij $x = 2$ en daar geen dicht punt. Wat is $\lim_{x \to 2} h(x)$ ?
Antwoord: 3
De helling is $\frac{8}{4} = 2$ en de lijn snijdt de $y$ -as in $-1$ , dus $y = 2x - 1$ . Beide kanten naderen $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , dus $\lim_{x \to 2} h(x) = 3$ , ook al is $h(2)$ niet gedefinieerd.
9.
Voor $x < 2$ is de grafiek van $f$ de lijn $y = x$ , die eindigt in een open rondje in $(2, 2)$ . Voor $x \ge 2$ is het de lijn $y = x + 3$ , beginnend bij een dicht punt in $(2, 5)$ . Bestaat $\lim_{x \to 2} f(x)$ , en wat is $f(2)$ ?
Antwoord: 5
1. Welke hoogte nadert de grafiek links van $x = 2$ ? 2
2. Welke hoogte nadert de grafiek rechts van $x = 2$ ? 5
3. Komen de twee kanten overeen, zodat $\lim_{x \to 2} f(x)$ bestaat? nee
4. Wat is $f(2)$ ? 5
10.
Welke uitspraak over $\lim_{x \to a} f(x)$ is altijd waar?
1. a)Als $f(a)$ niet gedefinieerd is, bestaat de limiet in $a$ niet
2. b)Als er bij $x = a$ een dicht punt staat, is de limiet gelijk aan de hoogte daarvan
3. c)De limiet in $a$ hangt alleen af van de waarden van $f$ in de buurt van $a$ , niet in $a$
4. d)De limiet in $a$ is altijd gelijk aan $f(a)$
Antwoord: De limiet in $a$ hangt alleen af van de waarden van $f$ in de buurt van $a$ , niet in $a$
De limiet kijkt alleen naar de waarden van $f$ in de buurt van $a$ . Een gat ( $f(a)$ niet gedefinieerd) houdt een limiet niet tegen, een verplaatst punt maakt de limiet anders dan $f(a)$ , en bij een sprong is er een dicht punt maar geen limiet.
11.
In de buurt van $x = -2$ nadert de grafiek van $f$ van beide kanten een open rondje in $(-2, 3)$ , en er staat een dicht punt in $(-2, -1)$ . Bereken $\lim_{x \to -2} f(x) + f(-2)$ .
Antwoord: 2
$\lim_{x \to -2} f(x) = 3$ (de hoogte die de kromme nadert) en $f(-2) = -1$ (het dichte punt), dus de som is $3 + (-1) = 2$ .
12.
De grafiek van $g$ : voor $x \le -1$ is het $y = x + 3$ , eindigend in een dicht punt in $(-1, 2)$ ; voor $-1 < x < 2$ is het $y = (x - 1)^2$ , beginnend bij een open rondje in $(-1, 4)$ ; voor $x > 2$ is het $y = 3 - x$ . Bij $x = 2$ staat een open rondje in $(2, 1)$ en geen dicht punt. Lees de limieten af uit de grafiek.
Antwoord: 1
1. Wat is $\lim_{x \to 0} g(x)$ ? 1
2. Wat is $\lim_{x \to 2} g(x)$ ? 1
3. Is $g(2)$ gedefinieerd? nee
4. Welke hoogte nadert de grafiek rechts van $x = -1$ ? 4
13.
De grafiek van $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ lijkt op de lijn $y = x - 1$ met een gat. Gebruik de grafiek om $\lim_{x \to -1} f(x)$ te bepalen.
Antwoord: -2
1. Bij welke $x$ zit het gat (waar $f$ niet gedefinieerd is)? -1
2. Welke hoogte heeft de lijn $y = x - 1$ bij die $x$ ? -2
3. Staat er een dicht punt bij $x = -1$ ? nee
4. Wat is dus $\lim_{x \to -1} f(x)$ ? -2
14.
De grafiek van $f$ heeft drie bijzondere plekken. Bij $x = 1$ eindigt het linkerdeel op hoogte $2$ en begint het rechterdeel op hoogte $-1$ . Bij $x = 3$ nadert de kromme van beide kanten een open rondje in $(3, 4)$ , zonder dicht punt. Bij $x = 5$ nadert de kromme van beide kanten $(5, 0)$ , maar het dichte punt ligt in $(5, 3)$ . Voor welke $a$ bestaat $\lim_{x \to a} f(x)$ niet?
1. a) $a = 0$
2. b) $a = 5$
3. c) $a = 3$
4. d) $a = 1$
Antwoord: $a = 1$
Bij $x = 1$ naderen de kanten $2$ en $-1$ : een sprong, dus geen limiet. Bij $x = 3$ is de limiet $4$ (een gat) en bij $x = 5$ is hij $0$ (het punt op hoogte $3$ doet er niet toe). Bij $x = 0$ gebeurt niets bijzonders.
15.
De grafiek van $f$ volgt $y = 3x + k$ voor $x < 2$ en $y = x^2$ voor $x > 2$ , met open rondjes aan beide uiteinden bij $x = 2$ . Voor welke waarde van $k$ bestaat $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
Antwoord: -2
De linkerkant nadert $3 \cdot 2 + k = 6 + k$ en de rechterkant $2^2 = 4$ . De limiet bestaat als $6 + k = 4$ , dus $k = -2$ .
16.
De grafiek van $q$ : voor $x < 2$ is het $y = x^2$ , eindigend in een open rondje in $(2, 4)$ ; er staat een dicht punt in $(2, 1)$ ; voor $2 < x < 5$ is het $y = 6 - x$ , tussen open rondjes in $(2, 4)$ en $(5, 1)$ ; voor $x \ge 5$ is het $y = x - 2$ , beginnend bij een dicht punt in $(5, 3)$ . Bepaal $\lim_{x \to 2} q(x)$ en $q(2)$ , en beslis of $\lim_{x \to 5} q(x)$ bestaat.
Antwoord: 4
1. Wat is $\lim_{x \to 2} q(x)$ ? 4
2. Wat is $q(2)$ ? 1
3. Welke hoogte nadert de grafiek links van $x = 5$ ? 1
4. Welke hoogte nadert de grafiek rechts van $x = 5$ ? 3
5. Bestaat $\lim_{x \to 5} q(x)$ ? nee
17.
Voor $x < 3$ is de grafiek van $f$ de lijn $y = ax$ , voor $x > 3$ is het $y = 12 - x$ , en er staat een dicht punt in $(3, 0)$ . Bepaal de waarde van $a$ waarvoor $\lim_{x \to 3} f(x)$ bestaat.
Antwoord: 3
1. Welke hoogte nadert de grafiek rechts van $x = 3$ ? 9
2. De linkerkant nadert $3a$ . Welke $a$ maakt $3a$ gelijk aan die hoogte? 3
3. Wat is met deze $a$ de limiet $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 9
4. Wat is $f(3)$ ? 0
18.
De grafiek van $f$ : voor $x \le 0$ is het $y = -x$ , eindigend in een dicht punt in $(0, 0)$ ; voor $0 < x < 4$ is het $y = x + 2$ , tussen open rondjes in $(0, 2)$ en $(4, 6)$ ; er staat een dicht punt in $(4, 1)$ ; voor $x > 4$ is het $y = 10 - x$ , beginnend bij een open rondje in $(4, 6)$ . Bereken $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ .
Antwoord: 10
1. Wat is $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? 6
2. Wat is $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? 4
3. Wat is $f(0)$ ? 0
4. Bestaat $\lim_{x \to 0} f(x)$ ? (Die hoort niet bij de som.) nee
5. Wat is de som $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ ? 10