Oneindige limieten

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Bereken $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $1$
4. d) $\infty$
Antwoord: $\infty$
Voor $x = \pm 0{,}1$ krijgen we $\frac{1}{0{,}01} = 100$ , voor $x = \pm 0{,}01$ krijgen we $10000$ . De waarden groeien aan beide kanten onbegrensd, dus $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ .
2.
De functie $f(x) = \frac{7}{x-6}$ heeft een verticale asymptoot $x = a$ . Wat is $a$ ?
Antwoord: 6
$x - 6 = 0$ geeft $x = 6$ , en de teller is $7 \neq 0$ . De functie explodeert dus vlak bij $x = 6$ , en $a = 6$ .
3.
Bereken $\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5}$ .
Antwoord: $\infty$
1. Wat is $x - 5$ voor $x = 5{,}01$ ? 0.01
2. Wat is $\frac{1}{x-5}$ voor $x = 5{,}01$ ? 100
3. Wat is de rechterlimiet? $\infty$
4.
Waar ligt de verticale asymptoot van $f(x) = \frac{3}{x+5}$ ?
1. a) $x = 5$
2. b) $y = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -5$
Antwoord: $x = -5$
De noemer $x + 5$ is $0$ bij $x = -5$ , en de teller $3$ is nooit $0$ . Dus $x = -5$ is de verticale asymptoot. ( $y = 0$ is een horizontale asymptoot.)
5.
Bereken voor $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ de waarde $f(2{,}01)$ .
Antwoord: 10000
$(0{,}01)^2 = 0{,}0001$ en $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ . Vlak bij $x = 2$ is de functie al enorm groot, een teken van de oneindige limiet daar.
6.
Bereken $\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}$ .
Antwoord: $\infty$
1. Wat is $x^2$ voor $x = 0{,}1$ (en ook voor $x = -0{,}1$ )? 0.01
2. Wat is $\frac{3}{x^2}$ voor $x = 0{,}1$ en $x = -0{,}1$ ? 300
3. Wat is de limiet? $\infty$
7.
Bepaal de verticale asymptoot van $g(x) = \frac{x+4}{x-1}$ .
Antwoord: $x = 1$
1. Voor welke $x$ is de noemer $0$ ? 1
2. Wat is de teller bij die $x$ ? 5
3. Welke lijn is de verticale asymptoot? $x = 1$
8.
Bereken $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d) $2$
Antwoord: $-\infty$
Voor $x < 4$ is de noemer $x - 4$ een klein negatief getal (bijvoorbeeld $3{,}99 - 4 = -0{,}01$ ), en de teller $2$ is positief. Positief gedeeld door klein negatief geeft $\frac{2}{-0{,}01} = -200$ en nog lager, dus de limiet is $-\infty$ .
9.
Bereken voor $f(x) = \frac{1}{x-2}$ de waarde $f(1{,}999)$ .
Antwoord: -1000
$\frac{1}{-0{,}001} = -1000$ . Net links van $x = 2$ zijn de waarden groot en negatief, wat past bij $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$ .
10.
Bereken $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{x-1}$ .
Antwoord: $-\infty$
1. Waar gaat de teller $x + 3$ naartoe als $x \to 1$ ? 4
2. Wat is de noemer $x - 1$ voor $x = 0{,}99$ ? -0.01
3. Wat is $\frac{x+3}{x-1}$ voor $x = 0{,}99$ ? -399
4. Wat is de linkerlimiet? $-\infty$
11.
Wat klopt er over $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1}$ ?
1. a) $\infty$
2. b) $-\infty$
3. c)Hij bestaat niet
4. d) $1$
Antwoord: Hij bestaat niet
Links van $1$ : $\frac{1}{0{,}9 - 1} = -10$ , de waarden gaan naar $-\infty$ . Rechts van $1$ : $\frac{1}{1{,}1 - 1} = 10$ , de waarden gaan naar $\infty$ . De twee kanten zijn het oneens, dus de limiet bestaat niet en is niet te schrijven als $\infty$ of $-\infty$ .
12.
Bepaal de eenzijdige limieten en de tweezijdige limiet van $f(x) = \frac{x}{x-1}$ in $x = 1$ .
Antwoord: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty,\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$
1. Wat is $f(0{,}9)$ ? -9
2. Wat is $f(1{,}1)$ ? 11
3. Wat is $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? $-\infty$
4. Wat is $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? $\infty$
5. Wat is $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? bestaat niet
13.
Hoeveel verticale asymptoten heeft $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4x+3}$ ?
Antwoord: 2
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ , dus de noemer is $0$ bij $x = 1$ en $x = 3$ . De teller is daar $2$ en $4$ , allebei niet $0$ . Er zijn dus $2$ verticale asymptoten: $x = 1$ en $x = 3$ .
14.
Bereken $\lim_{x \to -2} \frac{x-3}{(x+2)^2}$ .
Antwoord: $-\infty$
1. Waar gaat de teller $x - 3$ naartoe als $x \to -2$ ? -5
2. Wat is $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ voor $x = -1{,}9$ ? -490
3. Wat is $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ voor $x = -2{,}1$ ? -510
4. Wat is de limiet? $-\infty$
15.
Welke functie heeft een verticale asymptoot bij $x = 3$ ?
1. a) $\frac{1}{x+3}$
2. b) $\frac{x-3}{x^2-9}$
3. c) $\frac{x+3}{x-3}$
4. d) $\frac{x^2-9}{x-3}$
Antwoord: $\frac{x+3}{x-3}$
$\frac{x+3}{x-3}$ : noemer $0$ bij $x = 3$ , teller $6 \neq 0$ , dus daar explodeert de functie. $\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}$ heeft een gat bij $x = 3$ (de asymptoot is $x = -3$ ), $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$ heeft bij $x = 3$ alleen een gat, en $\frac{1}{x+3}$ heeft de asymptoot bij $x = -3$ .
16.
De functie $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ heeft precies één verticale asymptoot $x = a$ . Wat is $a$ ?
Antwoord: -3
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}$ . Bij $x = 1$ zijn beide $0$ : na vereenvoudigen geldt $\frac{x+1}{x+3} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , een gat. Bij $x = -3$ is de teller $9 - 1 = 8 \neq 0$ , dus $a = -3$ .
17.
Onderzoek $f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$ bij de nulpunten van de noemer.
Antwoord: $x = 3$
1. Wat is het kleinste nulpunt van de noemer? 2
2. Wat is het grootste nulpunt van de noemer? 3
3. Bij het kleinste nulpunt is de teller ook $0$ . Deel de gemeenschappelijke factor weg: wat is $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? -4
4. Bij welke $x$ ligt de verticale asymptoot? 3
5. Wat is $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ? $\infty$
18.
Bereken $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+1}{4-x^2}$ .
Antwoord: $-\infty$
1. Waar gaat de teller $x^2 + 1$ naartoe als $x \to 2$ ? 5
2. Wat is de noemer $4 - x^2$ bij $x = 2$ ? 0
3. Wat is $4 - x^2$ voor $x = 2{,}01$ ? -0.0401
4. Wat is de rechterlimiet? $-\infty$