Eenzijdige limieten

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat betekent $x \to 3^-$ ?
1. a) $x$ nadert $3$ via waarden kleiner dan $3$
2. b) $x$ nadert $3$ via waarden groter dan $3$
3. c) $x$ is precies $3$
4. d) $x$ neemt de waarde $-3$ aan
Antwoord: $x$ nadert $3$ via waarden kleiner dan $3$
$x \to 3^-$ betekent dat $x$ van links naar $3$ gaat: $2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... Die waarden zijn kleiner dan $3$ , en $x$ is nooit gelijk aan $3$ .
2.
Neem $f(x) = x + 1$ voor $x < 1$ en $f(x) = x + 3$ voor $x \ge 1$ . Bepaal $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
Antwoord: 2
Voor $x < 1$ is de functie $x + 1$ , en dat nadert $1 + 1 = 2$ . Dus $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ .
3.
Neem $f(x) = x + 1$ voor $x < 1$ en $f(x) = x + 3$ voor $x \ge 1$ . Bepaal $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
Antwoord: 4
Voor $x > 1$ is de functie $x + 3$ , en dat nadert $1 + 3 = 4$ . Dus $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ .
4.
Bepaal $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$ .
Antwoord: 1
Voor positieve $x$ is $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ . Rechts van $0$ is de functie constant $1$ , dus de rechterlimiet is $1$ .
5.
Neem $f(x) = x + 1$ voor $x < 1$ en $f(x) = x + 3$ voor $x \ge 1$ . Wat is $\lim_{x \to 1} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)bestaat niet
4. d)6
Antwoord: bestaat niet
De linkerlimiet is $2$ en de rechterlimiet is $4$ . Omdat $2 \neq 4$ , bestaat de limiet niet. De functiewaarde $f(1) = 4$ verandert daar niets aan.
6.
Neem $f(x) = 2x$ voor $x < 2$ en $f(x) = x + 6$ voor $x \ge 2$ . Hoe groot is de sprong bij $x = 2$ (rechterlimiet min linkerlimiet)?
Antwoord: 4
1. Bepaal $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ 4
2. Bepaal $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 8
3. Rechterlimiet min linkerlimiet: 4
7.
Stel dat $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 5$ en $f(4) = 1$ . Welke uitspraak is waar?
1. a) $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$
2. b) $\lim_{x \to 4} f(x)$ bestaat niet
3. c) $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
4. d) $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$
Antwoord: $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
Beide eenzijdige limieten zijn $5$ , dus $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$ . Het punt $f(4) = 1$ ligt naast de kromme en verandert de limiet niet.
8.
Neem $g(x) = x^2 + 1$ voor $x < 3$ en $g(x) = 2x + 5$ voor $x \ge 3$ . Bepaal $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ .
Antwoord: 10
Voor $x < 3$ is $g(x) = x^2 + 1 \to 3^2 + 1 = 10$ . (Van rechts $2x + 5 \to 11$ , dus de limiet in $3$ bestaat niet.)
9.
Neem $h(x) = x^2 - 1$ voor $x < 3$ , $h(3) = 0$ en $h(x) = 2x + 2$ voor $x > 3$ . Bepaal $\lim_{x \to 3} h(x)$ .
Antwoord: 8
1. Bepaal $\lim_{x \to 3^-} h(x)$ 8
2. Bepaal $\lim_{x \to 3^+} h(x)$ 8
3. Beide kanten komen overeen. Wat is $\lim_{x \to 3} h(x)$ ? 8
10.
Bestaat $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ ?
Antwoord: De limiet bestaat niet: van links $-1$ , van rechts $1$ .
1. Bepaal $\lim_{x \to 5^+} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ 1
2. Bepaal $\lim_{x \to 5^-} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ -1
3. Bestaat de tweezijdige limiet? nee
11.
Bij welke functie zijn de linkerlimiet en de rechterlimiet bij $x = 0$ gelijk?
1. a) $f(x) = \frac{|x|}{x}$
2. b) $f(x) = \frac{x}{|x|} + 1$
3. c) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
4. d) $f(x) = \frac{2|x|}{x}$
Antwoord: $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
$\frac{x^2}{|x|} = |x|$ , en dat nadert van beide kanten $0$ . De andere springen: $\frac{|x|}{x}$ geeft $-1$ en $1$ , $\frac{x}{|x|} + 1$ geeft $0$ en $2$ , $\frac{2|x|}{x}$ geeft $-2$ en $2$ .
12.
Neem $p(x) = 4 - x$ voor $x \le 2$ en $p(x) = x^2 + 1$ voor $x > 2$ . Hoe groot is de sprong bij $x = 2$ (rechterlimiet min linkerlimiet)?
Antwoord: 3
1. Bepaal $\lim_{x \to 2^-} p(x)$ 2
2. Bepaal $\lim_{x \to 2^+} p(x)$ 5
3. Wat is $p(2)$ ? 2
4. Rechterlimiet min linkerlimiet: 3
13.
Neem $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ voor $x < 1$ en $f(x) = 3x - 1$ voor $x \ge 1$ . Bepaal $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Antwoord: 2
1. Voor $x < 1$ : $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + \square$ . Wat komt er in het hokje? 1
2. Bepaal $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 2
3. Bepaal $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 2
4. Wat is $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 2
14.
Neem $f(x) = kx + 1$ voor $x < 2$ en $f(x) = x^2 + 3$ voor $x \ge 2$ . Bepaal $k$ zodat $\lim_{x \to 2} f(x)$ bestaat.
Antwoord: 3
1. Bepaal $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 7
2. De linkerlimiet is $2k + 1$ . Uit $2k + 1 = 7$ : wat is $2k$ ? 6
3. Wat is $k$ ? 3
15.
Bestaat $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ ?
Antwoord: De limiet bestaat niet: van links $-6$ , van rechts $6$ .
1. Bepaal $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ 6
2. Bepaal $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ -6
3. Bestaat de tweezijdige limiet? nee
16.
Neem $f(x) = cx$ voor $x < 2$ en $f(x) = x^2 + c$ voor $x \ge 2$ . Voor welke waarde van $c$ bestaat $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)8
3. c)-4
4. d)4
Antwoord: 4
Linkerlimiet: $2c$ . Rechterlimiet: $2^2 + c = 4 + c$ . Uit $2c = 4 + c$ volgt $c = 4$ . Controle: links $8$ , rechts $8$ .
17.
Bepaal $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$ .
Antwoord: -8
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ . Voor $x < 4$ is $\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) \to -8$ .
18.
Neem $f(x) = x^2$ voor $x < 1$ , $f(x) = 2x - 1$ voor $1 \le x < 3$ en $f(x) = 10 - x$ voor $x \ge 3$ . Bepaal $\lim_{x \to 1} f(x)$ en daarna de sprong bij $x = 3$ (rechterlimiet min linkerlimiet).
Antwoord: 2
1. Bepaal $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 1
2. Bepaal $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 1
3. Beide kanten komen overeen. Wat is $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 1
4. Bepaal $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 5
5. Bepaal $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ 7
6. Rechterlimiet min linkerlimiet bij $x = 3$ : 2