Docentenhandleiding: Soorten discontinuïteiten

Leer ophefbare discontinuïteiten (gaten), sprongdiscontinuïteiten en oneindige discontinuïteiten herkennen, in een grafiek en aan een formule.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Limieten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Ophefbare, sprong- en oneindige discontinuïteiten definiëren met eenzijdige limieten en de limiet
De soort discontinuïteit herkennen in een grafiek (gat, opening tussen twee stukken, verticale asymptoot)
De discontinuïteiten van gebroken functies indelen door te ontbinden en weg te delen
De coördinaten van een gat bepalen en $f(a)$ zo definiëren dat het verdwijnt
De grootte van de sprong van een gesplitst voorschrift berekenen

Vereisten

• Continuïteit: de drie voorwaarden voor continuïteit in een punt
• Eenzijdige limieten: linkerlimiet en rechterlimiet
• Oneindige limieten: limieten gelijk aan $\infty$ of $-\infty$ en verticale asymptoten
• Limieten door direct invullen en ontbinden bij de onbepaalde vorm $\frac{0}{0}$
• Kwadratische uitdrukkingen ontbinden in factoren

Discussiestarters

1. Waarom verandert de waarde van $f(a)$ niets aan de soort discontinuïteit?
2. Een vriend zegt dat elk nulpunt van de noemer een verticale asymptoot geeft. Hoe overtuig je hem van het tegendeel?
3. Waar in het dagelijks leven springen prijzen of hoeveelheden plotseling in plaats van geleidelijk te veranderen?
4. Kan een functie bij dezelfde $x$ -waarde een sprong en een gat hebben? Waarom (niet)?

Veelvoorkomende misvattingen

Elk nulpunt van de noemer is een verticale asymptoot

Herstel: Teken $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ en $\frac{1}{x - 2}$ naast elkaar. Laat leerlingen beide ontbinden en het verschil zoeken. Formuleer dan de regel: eerst wegdelen, dan beslissen.

Een dicht bolletje bij $x = a$ betekent dat de functie daar continu is

Herstel: Laat het sprongvoorbeeld $h(1) = 6$ zien: het bolletje is dicht, maar van links nadert de grafiek $3$ . Continuïteit vraagt dat de limiet bestaat en gelijk is aan $f(a)$ , niet alleen een gedefinieerde waarde.

De sprong is het verschil tussen $f(a)$ en één kant

Herstel: Definieer de sprong alleen met de twee eenzijdige limieten en laat hem berekenen voor een functie waarbij $f(a)$ niet bestaat.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Alleen met grafieken beginnen: gaten omcirkelen, openingen tussen stukken markeren, asymptoten gestippeld tekenen
• Waardetabellen dicht bij $x = a$ gebruiken: komen de waarden tot rust, gaan ze uit elkaar of groeien ze onbegrensd?
• Een beslisschema geven: bestaat de limiet? zijn beide kanten gelijk? groeien de waarden onbegrensd?

Voor leerlingen op niveau:

• Discontinuïteiten van gebroken functies indelen door te ontbinden
• Coördinaten van gaten en de grootte van sprongen bepalen
• Een gesplitst voorschrift met een gegeven sprong opstellen

Voor gevorderde leerlingen:

• Een parameter $k$ zoeken die een sprong in een continue aansluiting verandert
• Oscillerende discontinuïteiten onderzoeken, zoals bij $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
• Een gebroken functie maken met een gat in $(1, 2)$ en een asymptoot bij $x = -3$

Standaarduitlijning

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Gebroken functies tekenen, nulpunten en asymptoten bepalen als een geschikte ontbinding beschikbaar is, en het gedrag aan de uiteinden laten zien
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Wortelfuncties, derdemachtswortelfuncties en gesplitste voorschriften tekenen, ook trapfuncties
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Eenvoudige gebroken uitdrukkingen in verschillende vormen herschrijven

Lesbronnen

visualDrie grafieken, drie soorten
Interactieve grafieken van een gat, een sprong en een asymptoot met waardetabellen vlak bij de breuk
activitySorteerkaarten discontinuïteiten
Leerlingen delen 12 grafieken en formules in bij ophefbaar, sprong en oneindig
worksheetGat of asymptoot?
Gebroken functies ontbinden, gaten met coördinaten en verticale asymptoten bepalen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een functie

f

is continu in

x = a

als

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Klopt dat niet, dan heeft

f

een discontinuïteit in

x = a

. Hoe het misgaat, bepaalt de soort:

1. Ophefbare discontinuïteit (gat) De limiet bestaat en is een eindig getal

L

, maar

f(a)

bestaat niet of

f(a) \neq L

. De grafiek heeft één gat in

(a, L)

. Je heft het op door

f(a) = L

te definiëren.

2. Sprongdiscontinuïteit De linkerlimiet en de rechterlimiet zijn eindig maar verschillend:

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

De grafiek springt van de ene hoogte naar een andere. De grootte van de sprong is

\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|

. Geen enkele waarde van

f(a)

kan dat herstellen.

3. Oneindige discontinuïteit (pool) Minstens één eenzijdige limiet is

\infty

-\infty

. De grafiek heeft een verticale asymptoot

x = a

Aan de formule (gebroken functies): ontbind de teller en de noemer in factoren.

Een factor $(x - a)$ die helemaal wegdeelt, geeft een gat bij $x = a$ .
Een factor $(x - a)$ die in de noemer blijft, geeft een verticale asymptoot bij $x = a$ .

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal de soort discontinuïteit van $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ bij $x = 2$ en hef haar op.

Kijk waar $f$ niet bestaat

De noemer $x - 2$ is $0$ bij $x = 2$ → $f(2)$ bestaat niet

Ontbind de teller

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ → $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Deel de gemeenschappelijke factor weg

$f(x) = x + 1$ voor elke $x \neq 2$ → De factor $(x - 2)$ deelt helemaal weg

Bepaal de limiet

$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ → $= 3$ , een eindige limiet

Indelen en herstellen

De limiet bestaat, $f(2)$ niet: gat in $(2, 3)$ . Definieer $f(2) = 3$ . → Ophefbare discontinuïteit

Antwoord: Ophefbare discontinuïteit (gat) in $(2, 3)$ . Met $f(2) = 3$ wordt $f$ continu.

Veelgemaakte fouten

Bij elk nulpunt van de noemer een verticale asymptoot tekenen

Waarom het fout is: Een nulpunt van de noemer kan ook een gat zijn. In $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ deelt $(x - 2)$ weg, dus bij $x = 2$ is er geen asymptoot.

Correct: Eerst ontbinden en wegdelen. Alleen factoren die in de noemer blijven, geven verticale asymptoten; weggedeelde factoren geven gaten.

Een sprong ophefbaar noemen omdat beide eenzijdige limieten bestaan

Waarom het fout is: Ophefbaar vraagt dat de limiet bestaat, en dat gebeurt alleen als beide kanten gelijk zijn. Bij een sprong zijn het verschillende getallen.

Correct: Gelijke eenzijdige limieten: ophefbaar (of continu). Verschillende eindige eenzijdige limieten: sprong.

$f(a)$ gebruiken als hoogte van het gat

Waarom het fout is: Bij een gat ontbreekt $f(a)$ of is het fout. Het gat ligt op de hoogte van de limiet.

Correct: De $y$ -coördinaat van een gat vind je door $x = a$ in te vullen in de vereenvoudigde functie: het gat van $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ ligt in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ .

Denken dat een weggedeelde factor altijd een gat geeft, ook als hij twee keer in de noemer staat

Waarom het fout is: In $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ deelt maar één factor weg; er blijft $\frac{1}{x - 1}$ over, dat bij $x = 1$ nog steeds onbegrensd groeit.

Correct: Deel zo ver mogelijk weg en controleer dan: staat $(x - a)$ nog in de noemer, dan is het een oneindige discontinuïteit.

Waarom het belangrijk is

De soort discontinuïteit vertelt je hoe ernstig de breuk is en wat je eraan kunt doen:

Gaten zijn onschuldige openingen: de functie gedraagt zich er voorspelbaar omheen, en één opnieuw gedefinieerd punt maakt haar continu. Programma's die vastlopen op $\frac{0}{0}$ worden vaak precies zo gerepareerd.
Sprongen beschrijven plotselinge veranderingen: parkeertarieven, verzendtarieven, belastingschijven en schakelaars die aan of uit gaan.
Oneindige discontinuïteiten waarschuwen dat een grootheid onbegrensd groeit: het beeld van een lens dat naar oneindig verdwijnt, resonantie in een brug of een formule die door bijna nul deelt.

In de analyse bepaalt de soort discontinuïteit of een limiet bestaat, of je een functie over een interval kunt integreren en hoe je de grafiek moet tekenen. Gebroken functies goed schetsen (gaten of asymptoten) is een van de meest getoetste vaardigheden vóór de analyse.

Toepassingen in de echte wereld

Parkeertarieven (sprongen)

Parkeergarages rekenen per begonnen uur: de prijs is binnen elk uur constant en springt bij elk vol uur.

Voorbeeld:

Een garage vraagt 4 € tot en met 1 uur en 7 € voor meer dan 1 tot en met 2 uur. Bij $t = 1$ springt de prijs met 3 €.

1Probeer het zelf

Dezelfde garage vraagt 7 € voor meer dan 1 tot en met 2 uur en 10 € voor meer dan 2 tot en met 3 uur. $C(t)$ is de prijs voor $t$ uur.

Hoe groot is de sprong in de prijs bij $t = 2$ uur (in €)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek de linkerlimiet af van de rechterlimiet:

Lenzen en beelden in het oneindige

Bij een lens met brandpuntsafstand $10$ cm geeft een voorwerp op afstand $u$ een beeld op afstand $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Bereikt het voorwerp het brandpunt, dan verdwijnt het beeld naar oneindig.

Voorbeeld:

Bij $u = 15$ cm ligt het beeld op $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Bij $u = 10{,}1$ cm ligt het al op $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

2Probeer het zelf

De beeldafstand is $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$ (in cm).

Bij welke voorwerpsafstand $u$ (in cm) heeft $v$ een oneindige discontinuïteit?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Zoek waar de noemer nul is en de teller niet:

Een deling door nul in software oplossen

Programma's berekenen vaak een gemiddelde verandering $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. Bij $t = a$ geeft de formule $\frac{0}{0}$ en loopt het programma vast, hoewel de waarden in de buurt mooi glad zijn: een ophefbare discontinuïteit.

Voorbeeld:

Voor $f(t) = t^2$ en $a = 3$ vereenvoudigt $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ tot $t + 3$ , dus de programmeur slaat voor $t = 3$ de waarde $6$ op.

3Probeer het zelf

Een programma berekent $R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ en loopt vast bij $t = 4$ .

Welke waarde moet $R(4)$ krijgen zodat $R$ continu is?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vereenvoudig en vul dan $t = 4$ in:

Belangrijke punten

1Een discontinuïteit bij $x = a$ betekent dat $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ niet geldt
2Ophefbaar (gat): de limiet $L$ bestaat, maar $f(a)$ ontbreekt of is anders; herstel met $f(a) = L$
3Sprong: eindige eenzijdige limieten die verschillen; sprong $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
4Oneindig: een eenzijdige limiet is $\pm\infty$ ; de grafiek heeft de verticale asymptoot $x = a$
5Bij gebroken functies eerst ontbinden: weggedeelde factoren geven gaten, factoren die in de noemer blijven geven asymptoten
6De $y$ -coördinaat van een gat komt uit de vereenvoudigde functie, nooit uit $f(a)$

Veelgestelde vragen

Waarom heet een gat ophefbaar?

Omdat één punt genoeg is om het te herstellen. De limiet

L

bestaat al, dus door

f(a) = L

te definiëren (of opnieuw te definiëren) klopt

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

, en de functie is continu in

a

Kun je een sprongdiscontinuïteit ooit opheffen?

Nee. Van links gaat de functie naar de ene hoogte, van rechts naar een andere. Welke waarde je

f(a)

ook geeft, die past hooguit bij één kant, en de limiet bestaat nog steeds niet.

Verandert de functiewaarde bij $x = a$ de soort?

Nee. De soort hangt alleen af van de limieten in de buurt van

a

. Een sprong blijft een sprong, of

f(a)

nu de linkerwaarde, de rechterwaarde of niet gedefinieerd is, en een gat blijft ophefbaar, of

f(a)

nu ontbreekt of fout is.

Zijn er nog andere soorten discontinuïteit?

Ja, maar die komen minder vaak voor. Zo schommelt

\sin\left(\frac{1}{x}\right)

steeds sneller in de buurt van

x = 0

en heeft daar helemaal geen eenzijdige limieten (oscillerende discontinuïteit). Sprongen, oneindige en oscillerende discontinuïteiten zijn allemaal niet-ophefbaar; veel boeken noemen alleen de oneindige en oscillerende essentieel.

Woordenlijst

Discontinuïteit: Een punt $x = a$ waar $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ niet geldt
Ophefbare discontinuïteit (gat): De limiet bestaat en is eindig, maar $f(a)$ bestaat niet of is anders; te herstellen door één punt opnieuw te definiëren
Sprongdiscontinuïteit: De linkerlimiet en de rechterlimiet zijn eindig maar niet gelijk
Grootte van de sprong: De afstand tussen de twee eenzijdige limieten: $\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
Oneindige discontinuïteit (pool): Minstens één eenzijdige limiet is $\infty$ of $-\infty$ ; de grafiek heeft een verticale asymptoot
Verticale asymptoot: Een verticale lijn $x = a$ die de grafiek nadert terwijl de functiewaarden onbegrensd groeien

Formulekaart

Ophefbaar (gat)

\lim_{x \to a} f(x) = L

bestaat,

f(a) \neq L

of bestaat niet

Herstel met $f(a) = L$

Sprong

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

, beide eindig

Sprong $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Oneindig

\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Verticale asymptoot $x = a$

Test voor gebroken functies

\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Een weggedeelde factor geeft een gat in $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ als $q(a) \neq 0$; een factor die in de noemer blijft, geeft een asymptoot

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Soorten discontinuïteiten

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Parkeertarieven (sprongen)

Lenzen en beelden in het oneindige

Een deling door nul in software oplossen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Ophefbaar (gat)

Sprong

Oneindig

Test voor gebroken functies

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Limietnotatie

Limieten aflezen uit een grafiek

Limieten bepalen met een tabel