Eigenschappen van logaritmen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is $\log_6 1$ ?
1. a)bestaat niet
2. b)0
3. c)6
4. d)1
Antwoord: 0
$6^0 = 1$ , dus $\log_6 1 = 0$ . De logaritme van $1$ is $0$ voor elk toegestaan grondtal.
2.
Bereken $\log_8 8$ .
Antwoord: 1
$8^1 = 8$ , dus $\log_8 8 = 1$ . De logaritme van het grondtal is altijd $1$ .
3.
Bereken $\log_5 1 + \log_5 5 + \log_5 25$ .
Antwoord: 3
1. Wat is $\log_5 1$ ? 0
2. Wat is $\log_5 5$ ? 1
3. Schrijf $25$ als macht van $5$ . Wat is $\log_5 25$ ? 2
4. Tel de drie waarden op. 3
4.
Vereenvoudig $\log_3(3^7)$ .
Antwoord: 7
Het grondtal van de logaritme en het grondtal van de macht zijn allebei $3$ , dus ze heffen elkaar op en de exponent blijft over: $\log_3(3^7) = 7$ .
5.
Vereenvoudig $5^{\log_5 9}$ .
1. a)9
2. b)45
3. c)5
4. d) $\log_5 9$
Antwoord: 9
$\log_5 9$ is de exponent die van $5$ een $9$ maakt. $5$ tot die macht geeft $9$ .
6.
Bereken $\log 10000$ (briggse logaritme, grondtal 10).
Antwoord: 4
1. Schrijf $10000$ als macht van $10$ : $10000 = 10^{?}$ 4
2. Gebruik $\log(10^x) = x$ : wat is $\log 10000$ ? 4
7.
Bereken $\log_2 32$ .
Antwoord: 5
$32 = 2^5$ , dus $\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5$ .
8.
Welke van deze logaritmen bestaat niet?
1. a) $\log_5 5$
2. b) $\log_3(-9)$
3. c) $\log_4 \frac{1}{4}$
4. d) $\log_2 1$
Antwoord: $\log_3(-9)$
Het argument $-9$ is negatief en geen enkele macht van $3$ is negatief, dus $\log_3(-9)$ bestaat niet. De andere zijn $0$ , $-1$ en $1$ .
9.
Voor welke $x$ bestaat $\log_3(x - 4)$ ? Vind het kleinste gehele getal $x$ dat is toegestaan.
Antwoord: 5
1. Het argument $x - 4$ moet groter zijn dan welk getal? 0
2. Los op: $x - 4 > 0$ . $x$ moet groter zijn dan welk getal? 4
3. Wat is het kleinste gehele getal $x$ dat is toegestaan? 5
10.
Bereken $\log_5 \frac{1}{25}$ .
Antwoord: -2
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , dus $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5(5^{-2}) = -2$ . Het argument is positief, de waarde is negatief.
11.
Vereenvoudig $2^{\log_2 5} \cdot 3^{\log_3 4}$ .
Antwoord: 20
1. Wat is $2^{\log_2 5}$ ? 5
2. Wat is $3^{\log_3 4}$ ? 4
3. Vermenigvuldig de twee uitkomsten. 20
12.
Als $\log_4 M = \log_4 20$ , wat is $M$ ?
1. a)4
2. b)5
3. c)20
4. d)80
Antwoord: 20
Bij hetzelfde grondtal betekenen gelijke logaritmen gelijke argumenten, dus $M = 20$ .
13.
Los op: $\log_3(x + 4) = \log_3 10$ .
Antwoord: 6
1. Stel de argumenten gelijk: $x + 4 = ?$ 10
2. Los op naar $x$ . 6
3. Controle: wat is het argument $x + 4$ voor deze $x$ ? 10
14.
Bereken $\log_3 \frac{1}{9} + 6^{\log_6 11}$ .
Antwoord: 9
1. Schrijf $\frac{1}{9}$ als macht van $3$ : $\frac{1}{9} = 3^{?}$ . Wat is dus $\log_3 \frac{1}{9}$ ? -2
2. Wat is $6^{\log_6 11}$ ? 11
3. Tel de twee waarden op. 9
15.
Welke uitspraak is waar voor elk toegestaan grondtal $b$ ?
1. a) $\log_b 0 = 0$
2. b) $\log_b(b^x) = x$ voor elke reële $x$
3. c) $\log_b 1 = 1$
4. d) $b^{\log_b x} = x$ voor elke reële $x$
Antwoord: $\log_b(b^x) = x$ voor elke reële $x$
$\log_b(b^x) = x$ geldt voor elke reële $x$ , omdat $b^x$ altijd positief is. $\log_b 1 = 0$ , niet $1$ ; $b^{\log_b x} = x$ heeft $x > 0$ nodig; en $\log_b 0$ bestaat niet.
16.
Bereken $\log_2(8^4)$ . Schrijf eerst $8$ als macht van $2$ .
Antwoord: 12
$8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$ , dus $\log_2(8^4) = \log_2(2^{12}) = 12$ .
17.
Los op: $\log_5(x^2 - 6) = \log_5 x$ .
Antwoord: 3
1. Gelijkstellen van de argumenten geeft $x^2 - x - 6 = 0$ . Wat is de positieve oplossing? 3
2. Wat is de negatieve oplossing? -2
3. Hoeveel van de twee kandidaten maken beide argumenten positief? 1
4. Wat is de oplossing van de vergelijking? 3
18.
Bereken $\log_4 8$ door $8$ als macht van $4$ te schrijven.
Antwoord: 3/2
1. Schrijf $2$ als macht van $4$ : $2 = 4^{?}$ (als breuk, bijvoorbeeld 1/3) 1/2
2. Nu is $8 = 2^3 = 4^{?}$ (als breuk) 3/2
3. Gebruik $\log_b(b^x) = x$ : wat is $\log_4 8$ ? 3/2