Docentenhandleiding: Eigenschappen van logaritmen

Leer de basiseigenschappen van logaritmen: de logaritme van 1, de logaritme van het grondtal, de twee inverse eigenschappen en de eigenschap van gelijke logaritmen.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$\log_b 1$ en $\log_b b$ berekenen voor elk toegestaan grondtal
De inverse eigenschappen $\log_b(b^x) = x$ en $b^{\log_b x} = x$ gebruiken om uitdrukkingen te vereenvoudigen
Vergelijkingen van de vorm $\log_b M = \log_b N$ oplossen met de eigenschap van gelijke logaritmen
Logaritmen herkennen die niet bestaan en kandidaten schrappen die een argument nul of negatief maken
De productregel, quotiëntregel en machtsregel benoemen en koppelen aan de basiseigenschappen

Vereisten

• Definitie van een logaritme: omzetten tussen $\log_b x = y$ en $b^y = x$
• Rekenregels voor machten, inclusief $b^0 = 1$ en negatieve exponenten
• Lineaire vergelijkingen en eenvoudige kwadratische vergelijkingen oplossen door ontbinden in factoren

Discussiestarters

1. Elke grafiek $y = \log_b x$ gaat door het punt $(1, 0)$ . Welke eigenschap verklaart dat?
2. Waarom moeten de grondtallen gelijk zijn voordat $b^{\log_b x}$ vereenvoudigt tot $x$ ? Probeer $2^{\log_4 16}$ .
3. Twee verschillende positieve getallen hebben bij hetzelfde grondtal nooit dezelfde logaritme. Hoe laat de grafiek dat zien?
4. Kan een logaritme een negatieve waarde hebben? Kan hij een negatief argument hebben? Wat is het verschil?

Veelvoorkomende misvattingen

$\log_b 1 = 1$ omdat 'de logaritme van één één is'

Herstel: Ga terug naar de vraag die de logaritme stelt: welke macht van $b$ geeft $1$ ? Laat leerlingen $2^1$ en $2^0$ proberen en zien dat alleen de exponent $0$ werkt.

Een macht en een logaritme heffen elkaar altijd op, wat de grondtallen ook zijn

Herstel: Vergelijk $3^{\log_3 9} = 9$ met $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ . Laat leerlingen beide grondtallen omcirkelen voordat ze iets wegstrepen.

Elke oplossing van $M = N$ is ook een oplossing van $\log_b M = \log_b N$

Herstel: Los samen $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$ op en test $x = -1$ in de oorspronkelijke vergelijking. Maak de controle van het domein een vaste laatste stap.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin alleen met de grondtallen $10$ en $2$ en leg een tabel met machten ( $2^1$ tot $2^{10}$ ) op tafel
• Oefen elke eigenschap apart voordat je ze mengt
• Lees elke logaritme hardop als een vraag: welke macht van $b$ geeft $x$ ?

Voor leerlingen op niveau:

• Meng alle vijf de eigenschappen in één reeks rekenopgaven
• Los vergelijkingen met lineaire argumenten op met de eigenschap van gelijke logaritmen en controleer de argumenten
• Gebruik de grafiek om uit te leggen waarom $\log_b 1 = 0$ en $\log_b b = 1$ voor elk grondtal gelden

Voor gevorderde leerlingen:

• Los vergelijkingen op die tot een kwadratische vergelijking leiden en schrap de kandidaten buiten het domein
• Bewijs $b^{\log_b x} = x$ en $\log_b(b^x) = x$ vanuit de definitie van de logaritme
• Laat alvast zien hoe de productregel volgt uit $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Standaarduitlijning

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen en gebruiken om problemen met logaritmen en exponenten op te lossen
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
De oplossing van een exponentieel model uitdrukken als logaritme en de logaritme berekenen

Lesbronnen

visualGrafiek van de logaritme met schuifbalk voor het grondtal
Leerlingen veranderen het grondtal $b$ en zien dat elke grafiek $y = \log_b x$ door $(1, 0)$ en $(b, 1)$ gaat
activityEigenschappen sorteren
Kaartjes met uitdrukkingen als $\log_6 1$ , $5^{\log_5 8}$ en $\log_2(2^9)$ worden gesorteerd naar de eigenschap die ze gebruiken en daarna uitgerekend
worksheetBestaat het of niet?
Leerlingen beslissen welke logaritmen bestaan en controleren de kandidaten van vergelijkingen die met de eigenschap van gelijke logaritmen zijn opgelost

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De basiseigenschappen van logaritmen volgen allemaal uit één feit: een logaritme is een exponent. Voor een grondtal

b > 0

met

b \neq 1

geldt:

\log_b x = y \iff b^y = x

De vijf basiseigenschappen

1.Logaritme van 1: $\log_b 1 = 0$ , want $b^0 = 1$
2.Logaritme van het grondtal: $\log_b b = 1$ , want $b^1 = b$
3.Inverse eigenschap (logaritme van een macht van het grondtal): $\log_b(b^x) = x$ voor elk reëel getal $x$
4.Inverse eigenschap (grondtal tot de macht een logaritme): $b^{\log_b x} = x$ voor elke $x > 0$
5.Gelijke logaritmen: als $\log_b M = \log_b N$ (met $M > 0$ , $N > 0$ ), dan is $M = N$

Wat niet mag: het argument van een logaritme moet positief zijn.

\log_b 0

\log_b(-5)

bestaan niet, want

b^y

is positief voor elke exponent

y

Eigenschappen 3 en 4 zeggen dat

y = \log_b x

y = b^x

elkaars inverse functie zijn: de ene maakt de andere ongedaan.

Overzicht: de drie regels om logaritmen te combineren (elk heeft een eigen les)

Regel	Formule	Les
Productregel	$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$	Productregel voor logaritmen
Quotiëntregel	$\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$	Quotiëntregel voor logaritmen
Machtsregel	$\log_b(M^p) = p \log_b M$	Machtsregel voor logaritmen

In deze les oefenen we de vijf basiseigenschappen. De drie regels uit de tabel worden stap voor stap uitgelegd in hun eigen lessen.

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\log_9 1 + \log_9 9$ .

Bereken $\log_9 1$

Welke macht van $9$ geeft $1$ ? $9^0 = 1$ → $\log_9 1 = 0$

Bereken $\log_9 9$

Welke macht van $9$ geeft $9$ ? $9^1 = 9$ → $\log_9 9 = 1$

Tel de uitkomsten op

$0 + 1$

Antwoord: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Veelgemaakte fouten

$\log_b 1 = 1$ of $\log_b 1 = b$ schrijven

Waarom het fout is: De logaritme is de exponent, niet de uitkomst. De vraag is: welke macht van $b$ geeft $1$ ?

Correct: $b^0 = 1$ , dus $\log_b 1 = 0$ voor elk toegestaan grondtal. Bijvoorbeeld $\log_7 1 = 0$ .

Denken dat $\log_b 0 = 0$ of dat de logaritme van een negatief getal negatief is

Waarom het fout is: Een positief grondtal tot welke macht dan ook is altijd positief, dus geen enkele exponent geeft $0$ of een negatief getal.

Correct: $\log_b 0$ en $\log_b(-4)$ bestaan niet. Het argument moet groter zijn dan $0$ , maar de waarde van een logaritme mag wel negatief zijn: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ .

Een macht en een logaritme met verschillende grondtallen tegen elkaar wegstrepen: $2^{\log_3 9} = 9$

Waarom het fout is: $b^{\log_b x} = x$ werkt alleen als het grondtal van de macht en het grondtal van de logaritme hetzelfde getal zijn.

Correct: Hier zijn de grondtallen verschillend: $\log_3 9 = 2$ , dus $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ , niet $9$ .

De eigenschap van gelijke logaritmen gebruiken zonder de argumenten te controleren

Waarom het fout is: Als je de argumenten gelijkstelt, kan er een waarde uitkomen die een argument nul of negatief maakt. Daar bestaat de oorspronkelijke logaritme niet.

Correct: Vul elke kandidaat altijd in alle argumenten in. Houd hem alleen als alle argumenten positief zijn.

Waarom het belangrijk is

De basiseigenschappen zijn het gereedschap dat je elke keer gebruikt als je met logaritmen werkt:

Uitrekenen zonder rekenmachine: $\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6$ in één regel
Vergelijkingen oplossen: de inverse eigenschappen halen een logaritme of een macht weg, zo wordt $\log_3 x = 4$ gewoon $x = 3^4 = 81$
Vergelijken: de eigenschap van gelijke logaritmen maakt van $\log_5(2x + 1) = \log_5 11$ de eenvoudige vergelijking $2x + 1 = 11$
Schalen in de wetenschap: decibel, pH en de schaal van Richter gebruiken allemaal $\log$ . Een geluid op de gehoordrempel heeft $10 \log 1 = 0$ decibel
Fouten voorkomen: als je weet dat $\log_b 0$ en logaritmen van negatieve getallen niet bestaan, weet je welke oplossingen je moet schrappen

De productregel, de quotiëntregel en de machtsregel (en de formule voor verandering van grondtal) zijn allemaal op deze vijf eigenschappen gebouwd.

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

Het niveau van een geluid is $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ decibel, waarbij $I_0$ het zachtste geluid is dat een mens kan horen. Met de basiseigenschappen reken je dit snel uit.

Voorbeeld:

Op de gehoordrempel is $I = I_0$ , dus $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ decibel.

1Probeer het zelf

Een rockconcert heeft een intensiteit $I = 10^{11} \cdot I_0$ , dus $\frac{I}{I_0} = 10^{11}$ .

Wat is het geluidsniveau van het concert in decibel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $L = 10 \log(10^{11})$ :

Zuurgraad en pH

Scheikundigen meten de zuurgraad met $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen in mol per liter is. De inverse eigenschap maakt van een pH weer een concentratie.

Voorbeeld:

Zuiver water heeft $[H^+] = 10^{-7}$ , dus $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$ .

2Probeer het zelf

Citroensap heeft een pH van $2$ , dus $-\log[H^+] = 2$ en $\log[H^+] = -2$ .

Wat is de concentratie waterstofionen $[H^+]$ van citroensap?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $10^{\log x} = x$ en bereken $[H^+] = 10^{-2}$ :

Rondes in een knock-outtoernooi

In een knock-outtoernooi valt in elke ronde de helft van de deelnemers af. Met $2^n$ deelnemers zijn er $\log_2(2^n) = n$ rondes tot er één winnaar over is.

Voorbeeld:

Met $16 = 2^4$ teams zijn er $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ rondes.

3Probeer het zelf

Een schaaktoernooi op school begint met $128$ spelers. Elke partij heeft een winnaar en de verliezer valt af.

Hoeveel rondes zijn er nodig om de kampioen te vinden?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\log_2 128$ :

Belangrijke punten

1 $\log_b 1 = 0$ want $b^0 = 1$ , en $\log_b b = 1$ want $b^1 = b$
2Inverse eigenschap: $\log_b(b^x) = x$ voor elk reëel getal $x$
3Inverse eigenschap: $b^{\log_b x} = x$ voor elke $x > 0$ , maar alleen als beide grondtallen gelijk zijn
4Gelijke logaritmen: als $\log_b M = \log_b N$ , dan $M = N$ ; controleer altijd of de argumenten positief zijn
5 $\log_b 0$ en de logaritme van een negatief getal bestaan niet, maar de waarde van een logaritme mag negatief zijn
6De productregel, quotiëntregel en machtsregel bouwen op deze eigenschappen en hebben hun eigen lessen

Veelgestelde vragen

Waarom is $\log_b 1$ altijd $0$ ?

Elk toegestaan grondtal tot de macht

0

geeft

1

2^0 = 1

10^0 = 1

e^0 = 1

. De logaritme vraagt naar die exponent, dus het antwoord is altijd

0

Kan de waarde van een logaritme negatief zijn?

Ja. Alleen het argument moet positief zijn. Bijvoorbeeld

\log_{10} 0{,}01 = -2

want

10^{-2} = 0{,}01

. Het argument

0{,}01

is positief, de waarde

-2

is negatief.

Waarom heeft $b^{\log_b x} = x$ de voorwaarde $x > 0$ nodig, terwijl $\log_b(b^x) = x$ voor elke $x$ geldt?

\log_b(b^x)

is het argument

b^x

altijd positief, dus elke reële

x

mag. In

b^{\log_b x}

moet eerst

\log_b x

bestaan, en daarvoor is

x > 0

nodig.

Waar vind ik de productregel, de quotiëntregel en de machtsregel?

Elke regel heeft een eigen les: Productregel voor logaritmen, Quotiëntregel voor logaritmen en Machtsregel voor logaritmen. Ze gebruiken de eigenschappen uit deze les, dus het helpt om deze eerst goed te beheersen.

Woordenlijst

Logaritme: De exponent $y$ met $b^y = x$ , geschreven als $\log_b x = y$
Grondtal: Het getal $b$ in $\log_b x$ ; er moet gelden $b > 0$ en $b \neq 1$
Argument: Het getal $x$ in $\log_b x$ ; het moet positief zijn
Inverse eigenschappen: $\log_b(b^x) = x$ en $b^{\log_b x} = x$ : de logaritme en de exponentiële functie met hetzelfde grondtal heffen elkaar op
Gelijke logaritmen: Als $\log_b M = \log_b N$ , dan $M = N$ : twee verschillende positieve argumenten hebben nooit dezelfde logaritme
Inverse functie: Een functie die een andere functie ongedaan maakt; $y = \log_b x$ is de inverse functie van $y = b^x$

Formulekaart

Logaritme van 1

\log_b 1 = 0

Want $b^0 = 1$

Logaritme van het grondtal

\log_b b = 1

Want $b^1 = b$

Inverse eigenschap 1

\log_b(b^x) = x

Voor elk reëel getal $x$

Inverse eigenschap 2

b^{\log_b x} = x

Voor elke $x > 0$, hetzelfde grondtal op beide niveaus

Gelijke logaritmen

\log_b M = \log_b N \Rightarrow M = N

Controleer $M > 0$ en $N > 0$

Domein

\log_b x

bestaat alleen voor

x > 0

$\log_b 0$ en logaritmen van negatieve getallen bestaan niet

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Eigenschappen van logaritmen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

Zuurgraad en pH

Rondes in een knock-outtoernooi

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Logaritme van 1

Logaritme van het grondtal

Inverse eigenschap 1

Inverse eigenschap 2

Gelijke logaritmen

Domein

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)