Toepassingen van logaritmen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een aardbeving met magnitude $6$ wordt vergeleken met een van magnitude $4$ op de schaal van Richter. Hoeveel keer zo groot is de amplitude van de sterkste aardbeving?
1. a)20
2. b)1000
3. c)2
4. d)100
Antwoord: 100
De verhouding is $10^{6 - 4} = 10^2 = 100$ . Een verschil van $2$ betekent twee factoren $10$ , niet "2 keer".
2.
Een oplossing heeft een waterstofionenconcentratie van $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L. Wat is de pH?
1. a) $0{,}00001$
2. b) $10^5$
3. c) $-5$
4. d) $5$
Antwoord: $5$
$\text{pH} = -\log(10^{-5}) = -(-5) = 5$ . Het minteken in de formule maakt de pH positief.
3.
Je belegt 1000 € tegen $5\,\%$ rente die één keer per jaar wordt bijgeschreven. Welke uitdrukking geeft de tijd $t$ in jaren tot het geld verdubbeld is?
1. a) $\frac{\ln 2000}{\ln 1000}$
2. b) $\frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$
3. c) $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
4. d) $2 \cdot \ln 1{,}05$
Antwoord: $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
$1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ geeft $1{,}05^t = 2$ , dus $t \ln 1{,}05 = \ln 2$ en $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$ . De groeifactor is $1{,}05$ , niet het percentage $0{,}05$ .
4.
Geluid A heeft een niveau van $90$ dB en geluid B een niveau van $60$ dB. Hoeveel keer zo intens is geluid A als geluid B?
1. a)300
2. b)1000
3. c)3
4. d)30
Antwoord: 1000
Het verschil is $30$ dB, dus de verhouding is $10^{30/10} = 10^3 = 1000$ .
5.
Een stof verliest elk jaar $8\,\%$ van zijn massa. Welke vergelijking geeft het aantal jaren $t$ tot er nog maar de helft over is?
1. a) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 1{,}08}$
2. b) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}08}$
3. c) $t = 0{,}5 \cdot \ln 0{,}92$
4. d) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Antwoord: $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Elk jaar blijft $92\,\%$ over, dus de groeifactor is $0{,}92$ : $0{,}92^t = 0{,}5$ , $t \ln 0{,}92 = \ln 0{,}5$ en $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92} \approx 8{,}31$ jaar.
6.
Een oplossing heeft $[H^+] = 0{,}001$ mol/L. Wat is de pH? (Het antwoord is een geheel getal.)
Antwoord: 3
$0{,}001 = 10^{-3}$ , dus $\text{pH} = -\log(10^{-3}) = 3$ .
7.
Een geluid heeft intensiteit $I = 10^7 \cdot I_0$ . Wat is het niveau $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ in decibel? (Het antwoord is een geheel getal.)
Antwoord: 70
$L = 10 \log(10^7) = 10 \times 7 = 70$ dB.
8.
Bereken de pH van een oplossing met $[H^+] = 2{,}5 \times 10^{-6}$ mol/L. Rond af op twee decimalen.
Antwoord: 5.60
$\log(2{,}5 \times 10^{-6}) = \log 2{,}5 - 6 \approx 0{,}39794 - 6 = -5{,}60206$ , dus $\text{pH} \approx 5{,}60$ .
9.
Een aardbeving met magnitude $7{,}4$ wordt vergeleken met een van magnitude $5{,}6$ . Hoeveel keer zo groot is de amplitude van de sterkste? Rond af op een geheel getal.
Antwoord: 63
$10^{7{,}4 - 5{,}6} = 10^{1{,}8} \approx 63{,}096$ , afgerond $63$ .
10.
Een stad heeft $25\,000$ inwoners en groeit met $3\,\%$ per jaar. Na hoeveel jaar heeft de stad $40\,000$ inwoners? Rond af op één decimaal.
Antwoord: 15.9
$1{,}03^t = \frac{40\,000}{25\,000} = 1{,}6$ , dus $t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}470004}{0{,}029559} \approx 15{,}90$ , afgerond $15{,}9$ jaar.
11.
Citroensap heeft een waterstofionenconcentratie van $[H^+] = 0{,}01$ mol/L. Bereken de pH.
Antwoord: 2
1. Schrijf $0{,}01$ als macht van 10: $0{,}01 = 10^{n}$ . Wat is $n$ ? -2
2. Hoeveel is $\log(0{,}01)$ ? -2
3. Wat is de pH, $-\log(0{,}01)$ ? 2
12.
Een föhn maakt geluid dat $1\,000\,000$ keer zo intens is als de gehoordrempel. Bereken het niveau in decibel.
Antwoord: 60
1. Schrijf $1\,000\,000 = 10^{n}$ . Wat is $n$ ? 6
2. Hoeveel is $\log(1\,000\,000)$ ? 6
3. Hoeveel is $L = 10 \log(1\,000\,000)$ in dB? 60
13.
Een kop koffie heeft een pH van $5$ . Bereken de waterstofionenconcentratie $[H^+]$ in mol/L, geschreven als kommagetal.
Antwoord: 0.00001
1. Uit $-\log[H^+] = 5$ volgt: hoeveel is $\log[H^+]$ ? -5
2. Dus $[H^+] = 10^{k}$ . Wat is $k$ ? -5
3. Schrijf $10^{-5}$ als kommagetal. 0.00001
14.
Druk verkeer meet $85$ dB en een normaal gesprek $60$ dB. Hoeveel keer zo intens is het verkeerslawaai? Rond af op een geheel getal.
Antwoord: 316
1. Wat is het verschil in decibel? 25
2. De verhouding van de intensiteiten is $10^{x}$ met $x = \frac{25}{10}$ . Wat is $x$ ? 2.5
3. Bereken $10^{2{,}5}$ en rond af op een geheel getal. 316
15.
Geld wordt belegd tegen $6\,\%$ rente die één keer per jaar wordt bijgeschreven. Hoeveel hele jaren duurt het tot het saldo minstens verdubbeld is?
Antwoord: 12
1. Met welke groeifactor wordt het saldo elk jaar vermenigvuldigd? 1.06
2. Bereken $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06}$ , afgerond op twee decimalen. 11.90
3. De rente komt één keer per jaar. Hoeveel hele jaren zijn er nodig? 12
16.
Een monster in het lab bevat $200$ mg van een stof met een halveringstijd van $5$ uur. Na hoeveel uur is er nog maar $20$ mg over? Rond af op één decimaal.
Antwoord: 16.6
1. In $200 \cdot 0{,}5^{t/5} = 20$ : hoeveel is $0{,}5^{t/5} = \frac{20}{200}$ ? 0.1
2. Bereken $\frac{t}{5} = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}$ , afgerond op twee decimalen. 3.32
3. Vermenigvuldig met 5. Wat is $t$ in uren, afgerond op één decimaal? 16.6
17.
Je belegt 3000 € tegen $4\,\%$ continue rente, dus $A = 3000e^{0{,}04t}$ . Na hoeveel jaar is het saldo 4500 €? Rond af op twee decimalen.
Antwoord: 10.14
1. Deel beide kanten door 3000: $e^{0{,}04t} = \frac{4500}{3000}$ . Hoeveel is de rechterkant? 1.5
2. Neem ln: $0{,}04t = \ln 1{,}5$ . Hoeveel is $\ln 1{,}5$ , afgerond op vier decimalen? 0.4055
3. Deel door $0{,}04$ . Wat is $t$ , afgerond op twee decimalen? 10.14
18.
Een auto die $24\,000$ € kostte, verliest elk jaar $15\,\%$ van zijn waarde. Na hoeveel hele jaren is hij voor het eerst minder dan $6000$ € waard?
Antwoord: 9
1. Hoeveel is $\frac{6000}{24\,000}$ ? 0.25
2. Met welke factor wordt de waarde elk jaar vermenigvuldigd? 0.85
3. Los $0{,}85^t = 0{,}25$ op: bereken $t = \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85}$ , afgerond op twee decimalen. 8.53
4. De waarde daalt één keer per jaar. Na hoeveel hele jaren is hij voor het eerst lager dan het doel? 9