Docentenhandleiding: Toepassingen van logaritmen

Gebruik logaritmen om echte problemen op te lossen: pH, decibel, de kracht van aardbevingen, verdubbelingstijd, halveringstijd en hoe lang geld nodig heeft om te groeien.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De pH, geluidsniveaus in decibel en vergelijkingen op de schaal van Richter berekenen met de briggse logaritme
Met machten van 10 terugrekenen vanaf een logaritmische schaal
Groei- en vervalvergelijkingen naar de tijd oplossen door van beide kanten een logaritme te nemen
Verdubbelingstijden en halveringstijden bepalen en in de context interpreteren
Afronden zoals gevraagd en beslissen wanneer een situatie hele perioden nodig heeft

Vereisten

• Briggse logaritme (grondtal 10)
• Natuurlijke logaritme (ln)
• Machtsregel voor logaritmen
• Logaritmische vergelijkingen oplossen
• Exponentiële groei en afname, ook rente op rente

Discussiestarters

1. Waarom gebruiken wetenschappers een logaritmische schaal voor geluid in plaats van de intensiteit direct te meten?
2. In het nieuws staat dat een aardbeving "maar één punt sterker" was. Is dat een klein verschil?
3. Je rekenmachine geeft 14,21 jaar. Waarom zou het echte antwoord 15 jaar kunnen zijn?
4. Hoe zou je een antwoord over halveringstijd zonder logaritmen kunnen controleren?
5. Waar groeit een hoeveelheid nog meer elke periode met hetzelfde percentage?

Veelvoorkomende misvattingen

Een logaritmische schaal werkt als een gewone schaal (pH 4 zou "twee keer zo zuur" zijn als pH 8)

Herstel: Maak een tabel: pH 8, 7, 6, 5, 4 met $[H^+] = 10^{-8}, \dots, 10^{-4}$ . Leerlingen zien dat elke stap een factor 10 is, dus pH 4 tegenover pH 8 is $10^4 = 10\,000$ keer.

Van maar één kant van de vergelijking de logaritme nemen, of het grondtal "wegstrepen"

Herstel: Benadruk dat een vergelijking alleen in evenwicht blijft als beide kanten dezelfde bewerking krijgen. Schrijf $\ln(\text{links}) = \ln(\text{rechts})$ expliciet op voordat je de machtsregel gebruikt.

Het kommagetal is altijd het eindantwoord

Herstel: Geef contexten met hele perioden (jaarlijkse rente, dagelijkse doses) en laat leerlingen de jaren net onder en net boven hun kommagetal controleren.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin alleen met machten van 10 (pH van $10^{-3}$ , $10^6$ keer de gehoordrempel), zodat er geen rekenmachine nodig is
• Geef een invulschema: formule, macht vrijmaken, logaritme nemen, afronden
• Gebruik de interactieve grafiek om tijden bij benadering af te lezen voordat je ze berekent

Voor leerlingen op niveau:

• Mix opgaven over pH, decibel, Richter en rente met verschillende afrondingsinstructies
• Vergelijk de regel van 72 met de exacte verdubbelingstijden bij verschillende rentepercentages
• Los opgaven over halveringstijd op waarbij het antwoord geen geheel aantal halveringstijden is

Voor gevorderde leerlingen:

• Leid de formule $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1+r)}$ algemeen af en leg uit waarom elk grondtal werkt
• Vergelijk hoe lang het duurt om hetzelfde doel te halen bij jaarlijkse, maandelijkse en continue rente
• Onderzoek de energie van aardbevingen, die per magnitude met ongeveer $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ wordt vermenigvuldigd

Standaarduitlijning

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Bij exponentiële modellen de oplossing van $ab^{ct} = d$ als logaritme schrijven en met technologie berekenen
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Vergelijkingen met één onbekende opstellen en gebruiken om problemen op te lossen, ook met exponentiële functies
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Een nauwkeurigheid kiezen die past bij de beperkingen van de meting bij het noemen van grootheden
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen en gebruiken om problemen op te lossen

Lesbronnen

visualGrafiek van de verdubbelingstijd
Grafiek van $y = 1000 \cdot 1{,}05^x$ en $y = 2000$ : het snijpunt toont de verdubbelingstijd van $14{,}21$ jaar
visualLogaritmische getallenlijn
Machten van 10 op gelijke afstanden, zoals op de decibelschaal: elke stap is $10$ dB meer
visualDe pH-schaal in machten van 10
Waterstofionenconcentraties van $10^{-14}$ tot $1$ mol/L op gelijke afstanden: elke stap naar rechts is $10$ keer zoveel $[H^+]$ en een pH die 1 lager is
activitypH-lab in de keuken
Leerlingen zoeken de pH van azijn, melk, zeep en citroensap op en berekenen hoeveel keer zo zuur het ene is als het andere
worksheetContextopgaven met logaritmen
Gemengde oefeningen: pH, decibel, aardbevingen, rente op rente en halveringstijd, met afrondingsinstructies

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een contextopgave met logaritmen beschrijft een echte situatie waarin de onbekende een exponent is: een tijd, een kracht of een niveau. Je lost hem in drie stappen op: schrijf de formule op, maak de macht vrij en neem daarna van beide kanten een logaritme.

Twee soorten opgaven komen steeds terug:

1. Logaritmische schalen (de formule bevat al een logaritme):

pH van een oplossing: $\text{pH} = -\log[H^+]$ , waarbij $[H^+]$ de waterstofionenconcentratie in mol/L is
Geluidsniveau in decibel: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , waarbij $I_0$ de gehoordrempel is
Magnitude op de schaal van Richter: twee aardbevingen waarvan de magnitudes $d$ verschillen, hebben amplitudes in de verhouding $10^{d}$

2. Groei en verval in de tijd (de onbekende

t

staat in de exponent):

A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}

Bij continue groei geeft

A = Pe^{rt}

de tijd

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

, en bij een halveringstijd

h

geeft de hoeveelheid

N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h}

de tijd

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}

Hier is

\log

de briggse logaritme (logaritme met grondtal 10) en

\ln

de natuurlijke logaritme (grondtal

e

). De meeste antwoorden zijn kommagetallen, dus bij elke opgave staat hoe je afrondt, en je rondt pas helemaal aan het eind af.

Uitgewerkte voorbeelden

Een frisdrank heeft een waterstofionenconcentratie van $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Bereken de pH, afgerond op twee decimalen.

Schrijf de formule op

$\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ → $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Bereken de briggse logaritme

$\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Pas het minteken toe

$\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$

Rond af op twee decimalen

De derde decimaal is $4$ , dus rond je naar beneden af → $\text{pH} \approx 3{,}49$

Antwoord: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (zuur, want lager dan 7)

Veelgemaakte fouten

Zeggen dat een aardbeving met magnitude 8 "2 keer" of "twee keer" zo sterk is als een met magnitude 6

Waarom het fout is: De schaal van Richter is logaritmisch: elke hele stap vermenigvuldigt de amplitude met 10. Verschillen in magnitude zijn exponenten, geen factoren.

Correct: Verhouding van de amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ keer.

Het minteken in $\text{pH} = -\log[H^+]$ vergeten en een negatieve pH zoals $-3{,}49$ krijgen

Waarom het fout is: Concentraties zoals $0{,}00032$ zijn kleiner dan 1, dus hun logaritme is negatief. Het minteken in de formule maakt de pH positief.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Het rentepercentage gebruiken in plaats van de groeifactor: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Waarom het fout is: Het saldo wordt elk jaar vermenigvuldigd met $1 + r = 1{,}05$ , niet met $0{,}05$ . Bovendien is $\ln 0{,}05$ negatief, wat een negatieve tijd zou geven.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ jaar. Bij afname gebruik je $1 - r$ , bijvoorbeeld $0{,}85$ bij $15\,\%$ verlies.

Te vroeg afronden, bijvoorbeeld $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$ schrijven

Waarom het fout is: Kleine afrondingen in een quotiënt worden groter: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ in plaats van $14{,}21$ , ongeveer 4 maanden ernaast.

Correct: Reken met de volledige nauwkeurigheid van de rekenmachine (of minstens 5 significante cijfers) en rond alleen het eindantwoord af, zoals de opgave vraagt.

Waarom het belangrijk is

Logaritmen maken van enorme getalbereiken kleine, leesbare getallen, en ze zijn het enige gereedschap waarmee je een onbekende uit een exponent haalt:

Scheikunde: citroensap (pH ongeveer 2) heeft $100\,000$ keer zoveel waterstofionen als zuiver water (pH 7).
Gezondheid: een concert van 110 dB is $1000$ keer zo intens als een straat van 80 dB, daarom is gehoorbescherming belangrijk.
Geologie: een aardbeving met magnitude 7 heeft een $100$ keer zo grote amplitude als een met magnitude 5.
Geld: banken, spaarders en adviseurs vragen zich af "na hoeveel jaar is mijn geld verdubbeld?" en beantwoorden dat met $\ln$ .
Geneeskunde: artsen gebruiken de halveringstijd om te bepalen wanneer een medicijn onder een werkzaam niveau is gezakt.

Elk van deze vragen gaat over een exponent, en een logaritme geeft het antwoord.

Toepassingen in de echte wereld

Zure regen

Milieuwetenschappers vergelijken de zuurgraad van regen met de pH. Omdat de pH een logaritme is, betekent een klein pH-verschil een groot verschil in waterstofionen.

Voorbeeld:

Gewone regen heeft een pH van ongeveer $5{,}6$ . Regen met pH $4{,}6$ heeft $10^{1} = 10$ keer zoveel waterstofionen.

1Probeer het zelf

Gewone regen heeft een pH van $5{,}6$ . Een onweersbui brengt zure regen met een pH van $4{,}3$ .

Hoeveel keer zoveel waterstofionen bevat de zure regen? Rond af op een geheel getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $10^{5{,}6 - 4{,}3}$ en rond af op een geheel getal:

Gehoorbescherming bij concerten

Geluidstechnici en audiologen werken in decibel. Oordoppen worden beoordeeld op hoeveel ze de geluidsintensiteit verminderen.

Voorbeeld:

Als je de intensiteit door $10$ deelt, daalt het niveau $10$ dB, deel je door $100$ , dan daalt het $20$ dB.

2Probeer het zelf

Een rockconcert haalt $110$ dB. Oordoppen verminderen de geluidsintensiteit die je oor bereikt tot $\frac{1}{1000}$ van de waarde.

Welk geluidsniveau in decibel bereikt je oor? (Het antwoord is een geheel getal, afronden is niet nodig.)

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het nieuwe niveau als $10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right)$ en bereken het:

Een spaardoel plannen

Financieel adviseurs gebruiken logaritmen om te berekenen hoeveel jaar een belegging nodig heeft om een doel te halen.

Voorbeeld:

Bij $4\,\%$ per jaar wordt het geld elk jaar met $1{,}04$ vermenigvuldigd, dus het aantal jaren is $t = \frac{\ln(\text{doel}/\text{start})}{\ln 1{,}04}$ .

3Probeer het zelf

Je belegt 5000 € tegen $4\,\%$ rente die één keer per jaar wordt bijgeschreven. Je doel is 8000 €.

Hoeveel hele jaren moet je wachten tot het saldo het doel voor het eerst bereikt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los $5000 \cdot 1{,}04^t = 8000$ op en rond daarna naar boven af op hele jaren:

Belangrijke punten

1In een contextopgave met logaritmen is de onbekende een exponent: een tijd, een kracht of een niveau
2pH: $\text{pH} = -\log[H^+]$ ; terug: $[H^+] = 10^{-\text{pH}}$
3Decibel: $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ ; elke $10$ dB meer betekent $10$ keer zo veel intensiteit
4Richter: magnitudes die $d$ verschillen, betekenen amplitudes in de verhouding $10^{d}$
5Tijd bij groei of verval: maak de macht vrij, neem van beide kanten $\ln$ , dan $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}$ ; verdubbelingstijd $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$
6Rond pas aan het eind af, precies zoals de opgave vraagt, en controleer of de situatie hele jaren nodig heeft

Veelgestelde vragen

Gebruik ik log of ln om de tijd te berekenen?

Allebei werkt, zolang je boven en onder dezelfde gebruikt:

\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

. De formules voor pH en decibel zijn gedefinieerd met de briggse logaritme

\log

(grondtal 10), dus daar gebruik je

\log

Waarom is het antwoord 15 jaar als de rekenmachine 14,21 geeft?

De vergelijking behandelt de tijd als continu, maar een bank schrijft de rente maar één keer per jaar bij. Na 14 jaar zit het saldo nog onder het doel, dus heb je de 15e rentebetaling nodig. Vraag je altijd af of de situatie delen van een jaar toelaat.

Kan een pH negatief zijn of groter dan 14?

Wiskundig wel:

[H^+] = 2

mol/L geeft

\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30

. In de dagelijkse scheikunde liggen bijna alle oplossingen echter tussen 0 en 14.

Is er een snelle schatting voor de verdubbelingstijd?

De "regel van 72" zegt dat de verdubbelingstijd ongeveer

72 \div (\text{rente in }\%)

is. Bij

5\,\%

72 \div 5 = 14{,}4

jaar, dicht bij de exacte

14{,}21

. Gebruik logaritmen als de opgave een exact antwoord vraagt.

Woordenlijst

pH: Een maat voor de zuurgraad: $\text{pH} = -\log[H^+]$ . Onder 7 is zuur, 7 is neutraal, boven 7 is basisch.
Decibel (dB): Eenheid van geluidsniveau: $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , waarbij $I_0$ de gehoordrempel is.
Schaal van Richter: Een logaritmische schaal voor aardbevingen: één hele stap betekent een $10$ keer zo grote amplitude van de bodembeweging.
Verdubbelingstijd: De tijd die een groeiende hoeveelheid nodig heeft om te verdubbelen: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ bij groei van $r$ per periode.
Halveringstijd: De tijd waarin een afnemende hoeveelheid tot de helft van haar waarde daalt.
Groeifactor: Het getal waarmee een hoeveelheid elke periode wordt vermenigvuldigd: $1 + r$ bij groei, $1 - r$ bij afname.

Formulekaart

pH

\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

Zuurgraad uit de waterstofionenconcentratie

Geluidsniveau

L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Decibel uit de verhouding van intensiteiten

Vergelijking op de schaal van Richter

\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Verhouding van de amplitudes van twee aardbevingen

Tijd tot een doel

t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

Uit $A = P(1 + r)^t$; gebruik $1 - r$ bij verval

Continue groei

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

Uit $A = Pe^{rt}$

Halveringstijd

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

Uit $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ met halveringstijd $h$

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Toepassingen van logaritmen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Zure regen

Gehoorbescherming bij concerten

Een spaardoel plannen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

pH

Geluidsniveau

Vergelijking op de schaal van Richter

Tijd tot een doel

Continue groei

Halveringstijd

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)