Natuurlijke logaritme (ln)

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is de waarde van $\ln 1$ ?
1. a) $0$
2. b) $e$
3. c) $-1$
4. d) $1$
Antwoord: $0$
$\ln 1 = 0$ want $e^0 = 1$ . Elk getal (behalve 0) tot de macht 0 is 1.
2.
Bereken $\ln(e^7)$ zonder rekenmachine.
Antwoord: 7
$\ln(e^7)$ vraagt welke macht van $e$ de waarde $e^7$ geeft. Het antwoord is de exponent: $\ln(e^7) = 7$ .
3.
Bereken $\ln(e^{-3}) + \ln(e^{8})$ zonder rekenmachine.
Antwoord: 5
1. Hoeveel is $\ln(e^{-3})$ ? -3
2. Hoeveel is $\ln(e^{8})$ ? 8
3. Tel de twee uitkomsten op. Wat is de som? 5
4.
Welke uitdrukking betekent hetzelfde als $\ln x$ ?
1. a) $\log_2 x$
2. b) $\log_e x$
3. c) $\log_{10} x$
4. d) $e^x$
Antwoord: $\log_e x$
$\ln x$ is de logaritme met grondtal $e$ , dus $\ln x = \log_e x$ . $\log_{10} x$ is de briggse logaritme en $e^x$ is de inverse functie van $\ln x$ .
5.
Vereenvoudig $e^{\ln 12}$ .
Antwoord: 12
$\ln 12$ is de macht van $e$ die $12$ geeft. Als je $e$ precies tot die macht verheft, krijg je weer $12$ : $e^{\ln 12} = 12$ .
6.
Bereken $4\ln e - 3\ln 1$ .
Antwoord: 4
1. Hoeveel is $\ln e$ ? 1
2. Hoeveel is $\ln 1$ ? 0
3. Hoeveel is $4 \cdot 1 - 3 \cdot 0$ ? 4
7.
Los $\ln x = 2$ op. Geef $x$ afgerond op 2 decimalen.
Antwoord: 7.39
1. Schrijf in exponentiële vorm: $x = e^{\square}$ . Welk getal hoort in het vakje? 2
2. Bereken $e^2$ , afgerond op 2 decimalen. 7.39
8.
Welke van deze uitdrukkingen heeft geen reële waarde?
1. a) $\ln(-4)$
2. b) $\ln(e^{-2})$
3. c) $\ln 1$
4. d) $\ln 0{,}5$
Antwoord: $\ln(-4)$
$\ln(-4)$ heeft geen reële waarde, omdat $e^y$ altijd positief is. De andere bestaan wel: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ , $\ln 1 = 0$ en $\ln(e^{-2}) = -2$ . Een negatieve UITKOMST mag, alleen het argument moet positief zijn.
9.
Bepaal $\ln 50$ met de rekenmachine. Rond af op 3 decimalen.
Antwoord: 3.912
$\ln 50 = 3{,}91202...$ , dus $\ln 50 \approx 3{,}912$ . Controle: $e^{3{,}912} \approx 50{,}0$ .
10.
Los $e^x = 15$ op. Rond af op 3 decimalen.
Antwoord: 2.708
1. Neem $\ln$ van beide kanten: $x = \ln \square$ . Welk getal hoort in het vakje? 15
2. Bereken $\ln 15$ , afgerond op 3 decimalen. 2.708
11.
Wat is de exacte oplossing van $e^x = 9$ ?
1. a) $x = \ln 9$
2. b) $x = \frac{9}{e}$
3. c) $x = e^9$
4. d) $x = \log 9$
Antwoord: $x = \ln 9$
Neem $\ln$ van beide kanten: $\ln(e^x) = \ln 9$ , dus $x = \ln 9 \approx 2{,}197$ . Delen door $e$ maakt een macht niet ongedaan, en $\log 9$ heeft grondtal 10, niet $e$ .
12.
Bereken $\ln \sqrt{e}$ . Schrijf het antwoord als breuk of als decimaal getal.
Antwoord: 1/2
$\sqrt{e} = e^{1/2}$ , en $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$ . Dus $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
13.
Los $4e^x = 36$ op. Rond af op 3 decimalen.
Antwoord: 2.197
1. Deel beide kanten door 4. Waaraan is $e^x$ gelijk? 9
2. Neem $\ln$ van beide kanten. Hoeveel is $x = \ln 9$ , afgerond op 3 decimalen? 2.197
3. Controle: hoeveel is $4e^{2{,}197}$ , afgerond op een geheel getal? 36
14.
Bereken $e^{\ln 5} \cdot \ln(e^4)$ zonder rekenmachine.
Antwoord: 20
1. Hoeveel is $e^{\ln 5}$ ? 5
2. Hoeveel is $\ln(e^4)$ ? 4
3. Vermenigvuldig de twee uitkomsten. Wat is het product? 20
15.
Welke waarde van $x$ is de oplossing van $e^{2x} = 7$ ?
1. a) $x = 2\ln 7$
2. b) $x = \frac{\ln 7}{2}$
3. c) $x = \frac{7}{2e}$
4. d) $x = \ln \frac{7}{2}$
Antwoord: $x = \frac{\ln 7}{2}$
$\ln(e^{2x}) = 2x$ , dus $2x = \ln 7$ en $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$ . Let op: $\frac{\ln 7}{2}$ is niet hetzelfde als $\ln \frac{7}{2} \approx 1{,}253$ .
16.
Los $e^x = 0{,}2$ op. Rond af op 3 decimalen.
Antwoord: -1.609
Neem $\ln$ van beide kanten: $x = \ln 0{,}2 = -1{,}60943...$ , dus $x \approx -1{,}609$ . Het is negatief omdat $0{,}2 < 1$ . Controle: $e^{-1{,}609} \approx 0{,}200$ .
17.
Los $e^{3x} = 50$ op. Rond af op 3 decimalen.
Antwoord: 1.304
1. Neem $\ln$ van beide kanten: $3x = \ln 50$ . Hoeveel is $\ln 50$ , afgerond op 4 decimalen? 3.9120
2. Deel door 3. Hoeveel is $x$ , afgerond op 3 decimalen? 1.304
18.
De bevolking van een stad groeit volgens $P = 2000e^{0{,}03t}$ , met $t$ in jaren. Na hoeveel jaar bereikt de bevolking 5000? Rond af op 2 decimalen.
Antwoord: 30.54
1. Deel $5000 = 2000e^{0{,}03t}$ door 2000. Waaraan is $e^{0{,}03t}$ gelijk? 2.5
2. Neem $\ln$ van beide kanten: $0{,}03t = \ln 2{,}5$ . Hoeveel is $\ln 2{,}5$ , afgerond op 4 decimalen? 0.9163
3. Deel door 0,03. Hoeveel is $t$ , afgerond op 2 decimalen? 30.54