Logaritmische vergelijkingen oplossen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke vergelijking is de exponentiële vorm van $\log_4 x = 3$ ?
1. a) $x = 4^3$
2. b) $x = 3^4$
3. c) $x = \frac{4}{3}$
4. d) $x = 3 \cdot 4$
Antwoord: $x = 4^3$
$\log_b A = c \iff A = b^c$ . Hier is $b = 4$ en $c = 3$ , dus $x = 4^3 = 64$ .
2.
Los $\log_5 x = 3$ op.
Antwoord: 125
$x = 5^3 = 125$ . Controle: $\log_5 125 = 3$ omdat $5^3 = 125$ .
3.
Los $\log_4(x - 3) = 2$ op.
Antwoord: 19
1. Schrijf in exponentiële vorm: $x - 3 = 4^2$ . Hoeveel is $4^2$ ? 16
2. Los $x - 3 = 16$ op. Wat is $x$ ? 19
3. Domeincontrole: hoeveel is het argument $x - 3$ voor jouw $x$ ? (Het moet positief zijn.) 16
4.
Welke waarde kan GEEN oplossing zijn van een vergelijking met $\log_3(x - 5)$ ?
1. a) $x = 32$
2. b) $x = 14$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 6$
Antwoord: $x = 4$
Het argument moet positief zijn: $x - 5 > 0$ , dus $x > 5$ . Voor $x = 4$ is het argument $4 - 5 = -1$ , en $\log_3(-1)$ bestaat niet.
5.
Los $\log_2(3x - 1) = 3$ op.
Antwoord: 3
$3x - 1 = 2^3 = 8$ , dus $3x = 9$ en $x = 3$ . Controle: het argument $3 \cdot 3 - 1 = 8$ is positief en $\log_2 8 = 3$ .
6.
Los $\ln x = 2$ op. Rond af op twee decimalen.
Antwoord: 7.39
1. Schrijf in exponentiële vorm: $x = e^{\square}$ . Wat is de exponent? 2
2. Bereken $e^2$ en rond af op twee decimalen. 7.39
7.
Los $\log_3(5x - 4) = \log_3(2x + 11)$ op.
Antwoord: 5
1. Stel de argumenten gelijk: $5x - 4 = 2x + 11$ . Herleid: $3x = \square$ 15
2. Wat is $x$ ? 5
3. Controle: hoeveel is het argument $5x - 4$ voor deze $x$ ? 21
8.
Los $2 \log_5 x = \log_5 36$ op.
Antwoord: 6
Machtsregel: $\log_5(x^2) = \log_5 36$ , dus $x^2 = 36$ en $x = 6$ of $x = -6$ . In de oorspronkelijke vergelijking bestaat $\log_5(-6)$ niet, dus $x = -6$ is een schijnoplossing. De oplossing is $x = 6$ .
9.
Welke uitdrukking is de exacte oplossing van $7^x = 50$ ?
1. a) $\log 50 - \log 7$
2. b) $\frac{\log 50}{\log 7}$
3. c) $\frac{50}{7}$
4. d) $\log \frac{50}{7}$
Antwoord: $\frac{\log 50}{\log 7}$
$\log(7^x) = \log 50$ geeft $x \log 7 = \log 50$ , dus $x = \frac{\log 50}{\log 7} \approx 2{,}01$ . Let op: $\log \frac{50}{7}$ en $\log 50 - \log 7$ zijn hetzelfde getal (ongeveer $0{,}85$ ) en zijn fout.
10.
Los $5^x = 40$ op door van beide leden de briggse logaritme te nemen. Rond af op twee decimalen.
Antwoord: 2.29
1. Na de machtsregel heb je $x \log 5 = \log 40$ . Hoeveel is $\log 40$ , afgerond op drie decimalen? 1.602
2. Hoeveel is $\log 5$ , afgerond op drie decimalen? 0.699
3. Deel: $x = \frac{\log 40}{\log 5}$ . Rond $x$ af op twee decimalen. 2.29
11.
Los $2^x = 20$ op. Rond af op twee decimalen.
Antwoord: 4.32
$x \log 2 = \log 20$ , dus $x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32$ . Dat past bij de schatting $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$ .
12.
Los $\log_2(x + 6) - \log_2(x - 1) = 3$ op.
Antwoord: 2
1. Voeg samen: $\log_2 \frac{x + 6}{x - 1} = 3$ . Schrijf in exponentiële vorm: $\frac{x + 6}{x - 1} = \square$ 8
2. Vermenigvuldig met $(x - 1)$ : $x + 6 = 8x - 8$ . Herleid: $7x = \square$ 14
3. Wat is $x$ ? (Controleer dat $x - 1$ positief is.) 2
13.
Los $\log_6 x + \log_6(x + 1) = 1$ op.
Antwoord: 2
1. Voeg samen: $\log_6\big(x(x + 1)\big) = 1$ . Exponentiële vorm: $x(x + 1) = \square$ 6
2. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ . Wat is de positieve kandidaat? 2
3. Wat is de andere kandidaat? -3
4. Welke kandidaat is de oplossing? (Alle argumenten moeten positief zijn.) 2
14.
Los $\log_2 x + \log_2(x - 6) = 4$ op.
1. a)alleen $x = 8$
2. b) $x = 8$ en $x = -2$
3. c)geen oplossing
4. d)alleen $x = -2$
Antwoord: alleen $x = 8$
$\log_2\big(x(x - 6)\big) = 4$ , dus $x^2 - 6x = 16$ , $x^2 - 6x - 16 = 0$ , $(x - 8)(x + 2) = 0$ . Bij $x = -2$ bestaat $\log_2(-2)$ niet, dus blijft alleen $x = 8$ over: $\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ ✓
15.
Los $\log_3 x + \log_3(x - 8) = 2$ op.
Antwoord: 9
1. Voeg samen en herschrijf: $x(x - 8) = 3^2 = \square$ 9
2. $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1) = 0$ . Wat is de positieve kandidaat? 9
3. Wat is de andere kandidaat? -1
4. Welke kandidaat is de oplossing? (Controleer de argumenten $x$ en $x - 8$ .) 9
16.
Los $\log(x + 9) - \log x = 1$ op, waarbij $\log$ de briggse logaritme is (grondtal 10).
Antwoord: 1
$\log \frac{x + 9}{x} = 1$ , dus $\frac{x + 9}{x} = 10$ , $x + 9 = 10x$ , $9x = 9$ , $x = 1$ . Controle: $\log 10 - \log 1 = 1 - 0 = 1$ ✓
17.
Los $\log(x + 3) + \log x = 1$ op (briggse logaritme, grondtal 10).
1. a)alleen $x = 2$
2. b) $x = 2$ en $x = -5$
3. c)geen oplossing
4. d)alleen $x = -5$
Antwoord: alleen $x = 2$
$\log\big(x(x + 3)\big) = 1$ , dus $x^2 + 3x = 10$ , $(x + 5)(x - 2) = 0$ . Voor $x = -5$ bestaan $\log(-2)$ en $\log(-5)$ niet, dus dat is een schijnoplossing. De oplossing is $x = 2$ : $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓
18.
Los $4 \cdot 3^{x - 1} = 100$ op. Rond af op twee decimalen.
Antwoord: 3.93
1. Deel beide leden door 4. $3^{x - 1} = \square$ 25
2. Neem logaritmen: $x - 1 = \frac{\log 25}{\log 3}$ . Rond $x - 1$ af op twee decimalen. 2.93
3. Wat is $x$ , afgerond op twee decimalen? 3.93