Kansen bij de normale verdeling

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Toetsscores zijn normaal verdeeld met $\mu = 60$ en $\sigma = 10$ . Welke uitdrukking geeft de z-score van een score van 75?
1. a) $\frac{75 - 60}{10^2}$
2. b) $\frac{75 - 10}{60}$
3. c) $\frac{75 - 60}{10}$
4. d) $\frac{60 - 75}{10}$
Antwoord: $\frac{75 - 60}{10}$
$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{10} = 1{,}5$ . De andere uitdrukkingen draaien de volgorde om, verwisselen de getallen of delen door de variantie.
2.
De lengte van volwassen mannen is normaal verdeeld met $\mu = 170$ cm en $\sigma = 8$ cm. Wat is de z-score van een man van 182 cm?
Antwoord: 1.5
$z = \frac{182 - 170}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ : hij zit 1,5 standaarddeviatie boven het gemiddelde.
3.
De z-tabel geeft $P(Z < 1) = 0{,}8413$ . Wat is $P(Z > 1)$ ?
1. a)0,1587
2. b)0,8413
3. c)0,3413
4. d)0,6587
Antwoord: 0,1587
$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ . De waarde 0,8413 is de oppervlakte links, en 0,3413 is de oppervlakte tussen 0 en 1.
4.
Appels uit een boomgaard wegen $\mu = 150$ g met $\sigma = 20$ g, normaal verdeeld. Gebruik $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Welk deel van de appels weegt minder dan 160 g? Geef een decimaal getal.
Antwoord: 0.6915
$z = \frac{160 - 150}{20} = 0{,}5$ . Een oppervlakte links lees je direct af: $P(X < 160) = P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ , ongeveer 69,15% van de appels.
5.
Examenscores zijn normaal verdeeld met $\mu = 72$ en $\sigma = 6$ . De tabel geeft $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ . Bereken $P(X < 81)$ .
Antwoord: 0.9332
1. Wat is $81 - 72$ ? 9
2. Deel door $\sigma = 6$ . Wat is de z-score? 1.5
3. Wat is $P(X < 81)$ als decimaal getal? 0.9332
4. Welk percentage van de leerlingen scoort lager dan 81? 93.32
6.
Bezorgtijden van pizza's zijn normaal verdeeld met $\mu = 30$ min en $\sigma = 5$ min. De tabel geeft $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Bereken de kans dat een bezorging langer dan 40 minuten duurt.
Antwoord: 0.0228
1. Wat is de z-score van 40 minuten? 2
2. Wat is de oppervlakte links $P(Z < 2)$ ? 0.9772
3. Wat is $P(X > 40)$ ? 0.0228
7.
Flessen worden gevuld met $\mu = 500$ mL en $\sigma = 5$ mL, normaal verdeeld. Met $P(Z < 2) = 0{,}9772$ en $P(Z < -1) = 0{,}1587$ : wat is $P(495 < X < 510)$ ?
1. a)0,8185
2. b)1,1359
3. c)0,9772
4. d)0,1587
Antwoord: 0,8185
$P(495 < X < 510) = P(Z < 2) - P(Z < -1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ . De twee waarden optellen geeft meer dan 1, en dat kan niet voor een kans.
8.
Een laptopaccu gaat $\mu = 8$ uur mee met $\sigma = 0{,}8$ uur, normaal verdeeld. Gebruik $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$ . Hoe groot is de kans dat een accu langer dan 9 uur meegaat? Geef een decimaal getal.
Antwoord: 0.1056
$z = \frac{9 - 8}{0{,}8} = 1{,}25$ , dus $P(X > 9) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ , ongeveer 10,56% van de accu's.
9.
De lengte van vrouwen is normaal verdeeld met $\mu = 165$ cm en $\sigma = 6$ cm. De tabel geeft $P(Z < 1) = 0{,}8413$ en $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ . Bereken $P(156 < X < 171)$ .
Antwoord: 0.7745
1. Wat is de z-score van 156 cm? -1.5
2. Wat is de z-score van 171 cm? 1
3. Wat is $P(156 < X < 171)$ ? 0.7745
10.
IQ-scores zijn normaal verdeeld met $\mu = 100$ en $\sigma = 15$ . Bepaal het 90e percentiel.
Antwoord: 119.2
1. Welke z-score heeft oppervlakte 0,90 links van zich? 1.28
2. Wat is $1{,}28 \times 15$ ? 19.2
3. Wat is het 90e percentiel $x = 100 + 19{,}2$ ? 119.2
11.
Voor de lengte van vrouwen ( $\mu = 165$ cm, $\sigma = 6$ cm) vonden we $P(X < 174) = 0{,}9332$ . Wat betekent dit?
1. a)Ongeveer 93,32% van de vrouwen is precies 174 cm
2. b)Ongeveer 93,32% van de vrouwen is korter dan 174 cm
3. c)174 cm is 93,32% van de gemiddelde lengte
4. d)Ongeveer 93,32% van de vrouwen is langer dan 174 cm
Antwoord: Ongeveer 93,32% van de vrouwen is korter dan 174 cm
Een kans onder de normale kromme is een deel van de populatie: 93,32% van de vrouwen is korter dan 174 cm, dus maar 6,68% is langer.
12.
Examenscores zijn normaal verdeeld met $\mu = 70$ en $\sigma = 8$ . De tabel geeft $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Welk deel van de leerlingen scoort tussen 66 en 74? Geef een decimaal getal.
Antwoord: 0.383
$z = \pm 0{,}5$ . $P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ , dus $P(66 < X < 74) = 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}383$ , ongeveer 38,3% van de leerlingen.
13.
Een fabriek maakt 1000 lampen. Hun levensduur is normaal verdeeld met $\mu = 1200$ uur en $\sigma = 100$ uur. De tabel geeft $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Ongeveer hoeveel lampen gaan langer dan 1400 uur mee?
Antwoord: 23
1. Wat is de z-score van 1400 uur? 2
2. Wat is $P(X > 1400)$ ? 0.0228
3. Wat is $0{,}0228 \times 1000$ ? 22.8
4. Rond af op een heel aantal lampen. 23
14.
Een machine vult flessen met $\mu = 500$ mL en $\sigma = 4$ mL. De 5% minst gevulde flessen wordt afgekeurd. Bepaal de grenswaarde waaronder een fles wordt afgekeurd.
Antwoord: 493.42
1. Welke z-score heeft oppervlakte 0,05 links van zich? -1.645
2. Wat is $-1{,}645 \times 4$ ? -6.58
3. Wat is de grenswaarde $x = 500 + (-6{,}58)$ in mL? 493.42
15.
De lengte van mannen is normaal verdeeld met $\mu = 175$ cm en $\sigma = 7$ cm. Met $z \approx 1{,}28$ voor het 90e percentiel: welke lengte markeert de langste 10%?
1. a)166,04 cm
2. b)175,7 cm
3. c)182 cm
4. d)183,96 cm
Antwoord: 183,96 cm
$x = 175 + 1{,}28 \times 7 = 175 + 8{,}96 = 183{,}96$ cm. 166,04 cm is het 10e percentiel (verkeerde staart), 182 cm is alleen $\mu + \sigma$ , en 175,7 cm behandelt 10% als $0{,}1\sigma$ .
16.
Een telefoonaccu gaat $\mu = 20$ uur mee met $\sigma = 2$ uur, normaal verdeeld. De tabel geeft $P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514$ . Hoeveel uur gaat 75% van de accu's minstens mee? Geef het antwoord in twee decimalen.
Antwoord: 18.66
75% boven de waarde betekent 0,25 eronder, dus $z \approx -0{,}67$ (tabelwaarde 0,2514). $x = 20 + (-0{,}67) \times 2 = 20 - 1{,}34 = 18{,}66$ uur.
17.
Een magazijn verstuurt 4000 pakketten per dag. Hun gewicht is normaal verdeeld met $\mu = 250$ g en $\sigma = 10$ g. De tabel geeft $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ en $P(Z < -1) = 0{,}1587$ . Ongeveer hoeveel pakketten wegen tussen 240 g en 265 g?
Antwoord: 3098
1. Wat is de z-score van 240 g? -1
2. Wat is de z-score van 265 g? 1.5
3. Wat is $P(240 < X < 265)$ ? 0.7745
4. Hoeveel van de 4000 pakketten zijn dat? 3098
18.
Een ontbijtgranenmerk vult dozen met $\sigma = 6$ g. Op het etiket staat 500 g, en maar 2,5% van de dozen mag minder bevatten. Op welk gemiddelde $\mu$ moet de machine worden ingesteld?
Antwoord: 511.76
1. Welke z-score heeft oppervlakte 0,025 links van zich? -1.96
2. Hoeveel gram is $1{,}96\sigma$ , dus $1{,}96 \times 6$ ? 11.76
3. 500 g ligt 11,76 g onder het gemiddelde. Wat is $\mu$ ? 511.76