Docentenhandleiding: Kansen bij de normale verdeling

Bereken kansen en percentielen voor normaal verdeelde gegevens in echte eenheden: standaardiseren, de z-tabel aflezen en terugrekenen naar grenswaarden.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Kansverdelingen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$P(X < a)$ , $P(X > a)$ en $P(a < X < b)$ berekenen voor een normaal verdeelde grootheid in echte eenheden
Waarden standaardiseren en oppervlakten links aflezen in de z-tabel
Terugrekenen: de waarde bij een percentiel of grenswaarde vinden met $x = \mu + z\sigma$
Kansen interpreteren als delen en aantallen van een populatie

Vereisten

• Introductie tot de normale verdeling: gemiddelde, standaarddeviatie en klokkromme
• Z-scores (standaardiseren): $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
• Standaardnormale verdeling: de z-tabel aflezen
• Procenten en decimale getallen

Discussiestarters

1. Hoe kan een schets je al voor het rekenen vertellen of het antwoord boven of onder 0,5 ligt?
2. Waarom is één tabel genoeg voor elke normale verdeling, wat het gemiddelde en de standaarddeviatie ook zijn?
3. Een accufabrikant belooft dat 90% van de accu's minstens 18 uur meegaat. Hoe kan hij dat getal gevonden hebben?
4. Als de beste 10% een certificaat krijgt, waarom ligt de grens dan niet gewoon 10% boven het gemiddelde?
5. Wat betekent het als een meetwaarde een z-score van 4 heeft?

Veelvoorkomende misvattingen

De tabelwaarde is altijd meteen het antwoord

Herstel: Vraag bij elke opgave een schets. Vraag: is het gearceerde gebied de linkerkant? Zo niet, wat moet er dan met de tabelwaarde gebeuren?

De oppervlakte tussen twee waarden haal je uit het verschil van de z-scores

Herstel: Gebruik de visualisatie: sleep beide grenzen en vergelijk de oppervlakte met $P(Z < z_2 - z_1)$ . Laat zien dat het gebied van -1 tot 2 niet hetzelfde is als het gebied links van 3.

Een percentiel en een z-score zijn hetzelfde getal

Herstel: Zet het 90e percentiel (een oppervlakte van 0,90) naast de z-score (1,28) en de ruwe waarde (80,24 punten). Werk met drie kolommen: oppervlakte, z, x.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin alleen met oppervlakte links en gehele z-scores
• Geef een stappenplan: schets, z, tabel, aanpassen
• Zet de tabelwaarden in de opgave, zodat leerlingen zich richten op standaardiseren en aanpassen

Voor leerlingen op niveau:

• Meng oppervlakte links, rechts en ertussen in verschillende echte eenheden
• Reken kansen om naar aantallen voor een gegeven populatie
• Los terugrekenopgaven op voor de hoogste en laagste percentages

Voor gevorderde leerlingen:

• Bepaal op welk gemiddelde een machine moet worden ingesteld zodat maar 2,5% van de producten onder een grens valt
• Bepaal de standaarddeviatie uit het gemiddelde en één bekend percentiel
• Vergelijk de 68-95-99,7-regel met exacte tabelwaarden

Standaarduitlijning

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Het gemiddelde en de standaarddeviatie van een dataset gebruiken om er een normale verdeling bij te kiezen en percentages van de populatie te schatten; rekenmachines, spreadsheets en tabellen gebruiken om oppervlakten onder de normale kromme te schatten
MP4 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP4)
Modelleren met wiskunde

Lesbronnen

visualVersleepbare normale kromme
Leerlingen slepen de grenzen in echte eenheden en zien hoe de z-scores en de gearceerde oppervlakte veranderen
activityPercentielenjacht
In de terugreken-modus zoeken leerlingen de z-score bij een doeloppervlakte en rekenen die om naar een grensscore
worksheetVier gebieden, één tabel
Gemengde opgaven met oppervlakte links, rechts, ertussen en terugrekenvragen in verschillende eenheden

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Kansen bij de normale verdeling beantwoorden vragen als "Welk deel van de flessen bevat minder dan 494 mL?" wanneer een grootheid

X

een normale verdeling volgt met gemiddelde

\mu

en standaarddeviatie (standaardafwijking)

\sigma

, gemeten in echte eenheden (cm, punten, uren, mL).

De kans is de oppervlakte onder de klokkromme boven de waarden waarnaar je vraagt. Elke normale kromme wordt met één stap de kromme van de standaardnormale verdeling, dus je hebt altijd maar één tabel nodig.

De methode in vier stappen

1.Schets en arceer het gebied: links van $a$ , rechts van $a$ of tussen $a$ en $b$ .
2.Standaardiseer: reken elke waarde om naar een z-score

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

3.Lees de z-tabel af: die geeft de oppervlakte links van $z$ , dus $P(Z < z)$ (zie de les over de standaardnormale verdeling).
4.Pas aan op het gebied:

Links: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
Rechts: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Ertussen: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Terugrekenen: percentielen en grenswaarden

Soms is de oppervlakte gegeven en ontbreekt de waarde ("Welke score hoort bij de beste 10%?"). Zoek in de tabel de

z

met de passende oppervlakte links en reken terug naar echte eenheden:

x = \mu + z\sigma

Een kans van

0{,}9332

betekent ook 93,32% van de populatie, dus elk antwoord kun je lezen als een deel van mensen, flessen of accu's.

Uitgewerkte voorbeelden

De lengte van vrouwen in een land is normaal verdeeld met

\mu = 165

cm en

\sigma = 6

cm. Welk deel van de vrouwen is korter dan 174 cm?

Schets en arceer

Arceer de oppervlakte links van 174 cm, dat ligt rechts van het gemiddelde 165 cm → Het antwoord moet groter zijn dan 0,5

Standaardiseer

z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}

→

z = 1{,}5

Lees de z-tabel af

Rij 1,5, kolom 0,00 →

P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

Interpreteer

Een oppervlakte links hoeft niet aangepast te worden →

P(X < 174) = 0{,}9332

Antwoord: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : ongeveer 93,32% van de vrouwen is korter dan 174 cm.

Veelgemaakte fouten

Bij een vraag "groter dan" de tabelwaarde direct gebruiken, bijvoorbeeld $P(X > 14) = 0{,}8944$

Waarom het fout is: De z-tabel geeft altijd de oppervlakte LINKS van $z$ . De rechterstaart is al de rest.

Correct: Trek af van 1: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ . Een snelle schets laat zien dat de rechterstaart klein is, dus 0,8944 kan niet kloppen.

Eerst de z-scores van elkaar aftrekken: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Waarom het fout is: Zo werken oppervlakten onder een kromme niet. Je hebt de oppervlakte tot elke grens nodig en daarna het verschil van die oppervlakten.

Correct: Lees beide oppervlakten links af en trek ze van elkaar af: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

In de verkeerde volgorde standaardiseren of door het verkeerde getal delen: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ of $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Waarom het fout is: Als je de aftrekking omdraait, verandert het teken en kom je aan de verkeerde kant van het gemiddelde uit. Delen door de variantie geeft een verkeerde afstand.

Correct: Altijd $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : waarden boven het gemiddelde krijgen een positieve $z$ , waarden eronder een negatieve $z$ .

Bij terugrekenen het percentage als z-score gebruiken (z = 0,90) of de verkeerde staart nemen (z = -1,28 voor de beste 10%)

Waarom het fout is: Het percentage is een OPPERVLAKTE, die je binnen in de tabel zoekt. De z-score lees je af aan de randen van rijen en kolommen.

Correct: De beste 10% betekent 0,90 links, dat geeft $z \approx 1{,}28$ (positief, boven het gemiddelde). De laagste 10% geeft $z \approx -1{,}28$ .

Waarom het belangrijk is

Kansen bij de normale verdeling maken van een gemiddelde en een standaarddeviatie concrete beslissingen:

Productie: welk deel van de flessen is te weinig gevuld, en hoe stel je de machine in zodat dat bijna nooit gebeurt
Gezondheid: artsen vergelijken de lengte of het gewicht van een kind met groeicurven, en dat zijn percentielen van een normale verdeling
Onderwijs: examencommissies bepalen de score voor de beste 10% of hoeveel leerlingen slagen
Producten: een bedrijf kan "90% van de accu's gaat minstens 18 uur mee" pas beloven na deze berekening
Sport en wetenschap: of een resultaat ongewoon is, hangt af van hoeveel oppervlakte erachter ligt

Dezelfde vier stappen beantwoorden al deze vragen, in welke eenheden dan ook.

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole: te weinig gevulde blikjes

Frisdrankfabrieken controleren welk deel van de blikjes onder de hoeveelheid op het etiket zit, en stellen de vulmachines bij.

Voorbeeld:

Een lijn vult blikjes met $\mu = 330$ mL en $\sigma = 2$ mL. Elk blikje onder 327 mL wordt gemarkeerd als te weinig gevuld.

1Probeer het zelf

Blikjes worden gevuld met $\mu = 330$ mL en $\sigma = 2$ mL, normaal verdeeld. De tabel geeft $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ .

Welk deel van de blikjes bevat minder dan 327 mL? Geef een decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Standaardiseer 327 mL en lees dan de oppervlakte links af:

Groeicurven op het consultatiebureau

Artsen vergelijken baby's met groeicurven. Elke lijn in de grafiek is een percentiel van een normale verdeling.

Voorbeeld:

In een onderzoek is het gewicht van baby's van 6 maanden ongeveer normaal verdeeld met $\mu = 8$ kg en $\sigma = 0{,}5$ kg. Een baby onder het 10e percentiel krijgt een extra controle.

2Probeer het zelf

Gewicht op 6 maanden: $\mu = 8$ kg, $\sigma = 0{,}5$ kg. De tabel laat zien dat links van $z \approx -1{,}28$ ongeveer 10% van de oppervlakte ligt.

Onder welk gewicht (in kg) hoort een baby bij de lichtste 10%?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $x = \mu + z\sigma$ :

Een stadsmarathon plannen

Organisatoren schatten hoeveel lopers op bepaalde momenten op het parcours zijn, om drinkposten en vrijwilligers te plannen.

Voorbeeld:

De finishtijden zijn ongeveer normaal verdeeld met $\mu = 240$ minuten en $\sigma = 30$ minuten. De organisatie wil weten welk deel van de lopers tussen 225 en 285 minuten finisht.

3Probeer het zelf

Finishtijden: $\mu = 240$ min, $\sigma = 30$ min. Tabelwaarden: $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ en $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$ .

Welk deel van de lopers finisht tussen 225 en 285 minuten?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek de twee oppervlakten links van elkaar af:

Belangrijke punten

1Voor een kans bij de normale verdeling schets je het gebied, standaardiseer je met $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , lees je de z-tabel af en pas je aan
2De z-tabel geeft de oppervlakte LINKS: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
3Rechterstaart: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
4Tussen twee waarden: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
5Terugrekenen: zoek $z$ bij de gegeven oppervlakte binnen in de tabel, dan $x = \mu + z\sigma$ (beste 10% betekent $z \approx 1{,}28$ )
6Een kans is ook een deel van de populatie: $0{,}0668$ van 2000 flessen is ongeveer 134 flessen

Veelgestelde vragen

Is $P(X < 174)$ iets anders dan $P(X \le 174)$ ?

Nee. Bij een continue grootheid heeft één losse waarde kans 0, dus

<

\le

geven dezelfde oppervlakte. Bij de binomiale verdeling is dat anders, daar maakt het wel uit.

Mijn z-score heeft drie decimalen, zoals 1,645. Wat doe ik?

Rond voor de tabel af op twee decimalen, of neem een waarde tussen de twee buren in de tabel. Bij

z = 1{,}645

liggen 0,9495 en 0,9505 even dichtbij, dus 0,95 is een goed antwoord.

En als de z-score buiten de tabel valt, zoals $z = 4$ ?

Tabellen stoppen meestal bij ongeveer 3,49. Daarbuiten is de oppervlakte links praktisch 1 (bij een grote positieve z) of praktisch 0 (bij een grote negatieve z). Zulke waarden zijn uiterst zeldzaam.

Waarom hoort bij een percentiel de oppervlakte links?

Het 90e percentiel is de waarde waaronder 90% van de populatie ligt. "Eronder" is de linkerkant van de kromme, en precies dat meet de z-tabel.

Woordenlijst

Standaardiseren: Een waarde $x$ omrekenen naar een z-score met $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , zodat je de tabel van de standaardnormale verdeling kunt gebruiken
z-tabel: Tabel van de standaardnormale verdeling: bij elke $z$ geeft ze de oppervlakte links, $P(Z < z)$
Linkerstaart / rechterstaart: De oppervlakte onder de normale kromme onder een waarde (links) of boven een waarde (rechts)
Complementregel: $P(X > a) = 1 - P(X < a)$ , omdat de totale oppervlakte onder de kromme 1 is
Percentiel: De waarde waaronder een bepaald percentage van de populatie ligt, bijvoorbeeld het 90e percentiel
Grenswaarde: De waarde $x = \mu + z\sigma$ die een gegeven oppervlakte afsplitst, bijvoorbeeld de beste 10%

Formulekaart

Standaardiseren

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Van echte eenheden naar een z-score

Oppervlakte links

P(X < a) = P(Z < z_a)

Direct uit de z-tabel

Oppervlakte rechts

P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)

Complement van de tabelwaarde

Oppervlakte ertussen

P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)

Verschil van twee oppervlakten links

Grenswaarde

x = \mu + z\sigma

Van een z-score terug naar echte eenheden (percentielen)

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Kansen bij de normale verdeling

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

De methode in vier stappen

Terugrekenen: percentielen en grenswaarden

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole: te weinig gevulde blikjes

Groeicurven op het consultatiebureau

Een stadsmarathon plannen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Standaardiseren

Oppervlakte links

Oppervlakte rechts

Oppervlakte ertussen

Grenswaarde

Meer over dit onderwerp

Introductie tot kansverdelingen

Binomiale kans

Discrete vs continue verdelingen

Verwachtingswaarde