Steekproevenverdelingen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een peiling onder 200 willekeurig gekozen kiezers laat zien dat 54 % een nieuwe wet steunt. In deze situatie is die 54 % een...
1. a)standaardfout
2. b)parameter
3. c)steekproefgrootheid
4. d)populatie
Antwoord: steekproefgrootheid
De 54 % is berekend uit een steekproef van 200 kiezers, dus het is een steekproefgrootheid ( $\hat{p} = 0{,}54$ ). Het aandeel onder ALLE kiezers zou de parameter $p$ zijn.
2.
Een populatie heeft standaarddeviatie $\sigma = 18$ . Wat is de standaardfout van het steekproefgemiddelde bij steekproeven van omvang $n = 36$ ?
Antwoord: 3
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{18}{\sqrt{36}} = \dfrac{18}{6} = 3$ .
3.
Een populatie heeft gemiddelde $\mu = 40$ en standaarddeviatie $\sigma = 8$ . Wat is het gemiddelde van de steekproevenverdeling van $\bar{x}$ bij steekproeven van omvang $n = 25$ ?
1. a)8
2. b)40
3. c)200
4. d)1,6
Antwoord: 40
$\mu_{\bar{x}} = \mu = 40$ , hoe groot de steekproef ook is. De omvang verandert alleen de spreiding: de standaardfout is $8 / \sqrt{25} = 1{,}6$ .
4.
Bouten uit een machine hebben gemiddelde lengte $\mu = 50$ mm en $\sigma = 2$ mm. Een medewerker meet aselecte steekproeven van 16 bouten. Bepaal het gemiddelde en de standaardfout van $\bar{x}$ .
Antwoord: 0.5
1. Wat is het gemiddelde van de steekproevenverdeling, $\mu_{\bar{x}}$ (in mm)? 50
2. Wat is $\sqrt{16}$ ? 4
3. Wat is de standaardfout $2 / 4$ (in mm)? 0.5
5.
IQ-scores hebben in een testgroep $\mu = 100$ en $\sigma = 10$ . Wat is de standaardfout van het gemiddelde IQ van aselecte steekproeven van $n = 100$ mensen?
Antwoord: 1
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{10}{\sqrt{100}} = \dfrac{10}{10} = 1$ . Het gemiddelde $\mu = 100$ speelt geen rol in de standaardfout.
6.
20 % van de apps in een store zijn spelletjes ( $p = 0{,}2$ ). Je trekt aselecte steekproeven van $n = 100$ apps. Controleer de voorwaarden en bepaal de standaardfout van $\hat{p}$ .
Antwoord: 0.04
1. Wat is $np = 100 \cdot 0{,}2$ ? 20
2. Wat is $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}8$ ? 80
3. Beide zijn minstens 10. Wat is $\sqrt{\dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{100}}$ ? 0.04
7.
Huizenprijzen in een regio zijn sterk scheef naar rechts. Bij welke steekproefomvang is de steekproevenverdeling van de gemiddelde prijs het meest normaal?
1. a)n = 5
2. b)n = 10
3. c)n = 40
4. d)n = 15
Antwoord: n = 40
De populatie is scheef, dus alleen een grote steekproef maakt $\bar{x}$ ongeveer normaal verdeeld (centrale limietstelling, vuistregel $n \geq 30$ ). Van de opties voldoet alleen $n = 40$ .
8.
Een populatie heeft $\mu = 80$ en $\sigma = 12$ . Een aselecte steekproef van $n = 16$ heeft gemiddelde $\bar{x} = 86$ . Wat is de z-score van dit steekproefgemiddelde?
Antwoord: 2
Standaardfout $= 12 / 4 = 3$ , dus $z = \dfrac{86 - 80}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$ . Het steekproefgemiddelde ligt 2 standaardfouten boven $\mu$ .
9.
Een populatie heeft $\sigma = 20$ . Vergelijk de standaardfout van $\bar{x}$ bij $n = 25$ en bij $n = 100$ .
Antwoord: 0.5
1. Wat is de standaardfout bij $n = 25$ ? 4
2. Wat is de standaardfout bij $n = 100$ ? 2
3. Wat is (nieuwe standaardfout) $\div$ (oude standaardfout)? 0.5
10.
Een munt is eerlijk ( $p = 0{,}5$ ). Je gooit hem $n = 100$ keer en noteert de proportie kop $\hat{p}$ . Wat is de standaardfout van $\hat{p}$ ?
1. a)0,0025
2. b)0,5
3. c)0,05
4. d)0,25
Antwoord: 0,05
$\sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$ . De waarde 0,0025 is de variantie (wortel vergeten), 0,25 is $p(1-p)$ en 0,5 is $p$ zelf.
11.
Examencijfers zijn normaal verdeeld met $\mu = 70$ en $\sigma = 15$ . Bepaal voor een willekeurige klas van $n = 25$ leerlingen $P(\bar{x} < 67)$ . Gebruik $P(Z < -1) = 0{,}1587$ .
Antwoord: 0.1587
1. Wat is $\sqrt{25}$ ? 5
2. Wat is de standaardfout $15 / 5$ ? 3
3. Wat is $z = \dfrac{67 - 70}{3}$ ? -1
4. Wat is $P(\bar{x} < 67)$ ? 0.1587
12.
Telefoonaccu's gaan $\mu = 50$ uur mee met $\sigma = 12$ uur. Bepaal voor een aselecte steekproef van $n = 36$ accu's $P(\bar{x} > 54)$ . Gebruik $P(Z < 2) = 0{,}9772$ en geef het antwoord als decimaal getal.
Antwoord: 0.0228
$n = 36 \geq 30$ , dus $\bar{x}$ is ongeveer normaal verdeeld. Standaardfout $= 12 / 6 = 2$ , $z = \dfrac{54 - 50}{2} = 2$ , $P(\bar{x} > 54) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$ .
13.
Ongeveer 5 % van de lampen van een fabriek is defect ( $p = 0{,}05$ ). Een controleur neemt aselecte steekproeven van $n = 120$ lampen. Mag ze het normale model voor $\hat{p}$ gebruiken? Zo niet, hoe groot moet $n$ zijn?
Antwoord: 200
1. Wat is $np = 120 \cdot 0{,}05$ ? 6
2. Wat is $n(1-p) = 120 \cdot 0{,}95$ ? 114
3. Past het normale model? Nee
4. Wat is de kleinste $n$ met $n \cdot 0{,}05 \geq 10$ ? 200
14.
Het gewicht van appels is normaal verdeeld met $\mu = 180$ g en $\sigma = 20$ g. Bepaal de kans dat ÉÉN appel meer dan 185 g weegt, en dat het gemiddelde van een zak met 16 appels boven 185 g ligt. Gebruik $P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987$ en $P(Z < 1) = 0{,}8413$ .
Antwoord: 0.1587
1. z-score van één appel van 185 g: $\dfrac{185 - 180}{20}$ ? 0.25
2. $P$ (één appel $> 185$ g)? 0.4013
3. Standaardfout van het zakgemiddelde, $20 / \sqrt{16}$ ? 5
4. z-score van een zakgemiddelde van 185 g? 1
5. $P$ (zakgemiddelde $> 185$ g)? 0.1587
15.
Welke uitspraak over de centrale limietstelling is juist?
1. a)De standaardfout groeit als de steekproefomvang groeit
2. b)Bij grote n wordt de populatie zelf normaal verdeeld
3. c)Ze werkt alleen als de populatie al normaal verdeeld is
4. d)Bij grote n is het steekproefgemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft
Antwoord: Bij grote n is het steekproefgemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft
De centrale limietstelling zegt dat bij grote $n$ de verdeling van het steekproef-GEMIDDELDE ongeveer normaal is, welke vorm de populatie ook heeft. Ze verandert de populatie niet, werkt ook voor niet-normale populaties, en de standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$ wordt kleiner, niet groter, als $n$ groeit.
16.
Levertijden hebben $\sigma = 15$ minuten. Een bedrijf wil dat de standaardfout van de gemiddelde levertijd 1,5 minuut is. Hoeveel leveringen moet het meten? En hoeveel voor een standaardfout van 0,75 minuut?
Antwoord: 400
1. Uit $15 / \sqrt{n} = 1{,}5$ : wat is $\sqrt{n}$ ? 10
2. Wat is $n$ dan? 100
3. Uit $15 / \sqrt{n} = 0{,}75$ : wat is $\sqrt{n}$ ? 20
4. Wat is $n$ nu? 400
17.
40 % van de huishoudens in een stad heeft een huisdier ( $p = 0{,}4$ ). Bepaal voor een aselecte steekproef van $n = 150$ huishoudens $P(\hat{p} > 0{,}46)$ . Gebruik $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ en geef het antwoord als decimaal getal.
Antwoord: 0.0668
Voorwaarden: $np = 60$ , $n(1-p) = 90$ , allebei minstens 10. Standaardfout $= \sqrt{0{,}24 / 150} = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ . $z = \dfrac{0{,}46 - 0{,}4}{0{,}04} = 1{,}5$ , dus $P(\hat{p} > 0{,}46) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
18.
Ledlampen gaan $\mu = 1000$ uur mee met $\sigma = 80$ uur. Bepaal voor een aselecte steekproef van $n = 64$ lampen $P(990 < \bar{x} < 1020)$ . Gebruik $P(Z < -1) = 0{,}1587$ en $P(Z < 2) = 0{,}9772$ .
Antwoord: 0.8185
1. Wat is de standaardfout $80 / \sqrt{64}$ ? 10
2. Wat is de z-score van $\bar{x} = 990$ ? -1
3. Wat is de z-score van $\bar{x} = 1020$ ? 2
4. Wat is $P(990 < \bar{x} < 1020)$ ? 0.8185