Docentenhandleiding: Steekproevenverdelingen

Leer hoe steekproefgemiddelden en steekproefproporties van steekproef tot steekproef verschillen, wat de standaardfout is en waarom de centrale limietstelling ze ongeveer normaal maakt.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Kansverdelingen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Een parameter van een steekproefgrootheid onderscheiden en de symbolen $\mu$ , $\sigma$ , $p$ , $\bar{x}$ , $\hat{p}$ goed gebruiken
Het gemiddelde en de standaardfout van de steekproevenverdeling van $\bar{x}$ en van $\hat{p}$ bepalen
De centrale limietstelling formuleren en beslissen wanneer een steekproevenverdeling ongeveer normaal is
Kansen over een steekproefgemiddelde of steekproefproportie berekenen met z-scores en de z-tabel
Uitleggen waarom grotere steekproeven nauwkeurigere schattingen geven en de steekproefomvang voor een gegeven standaardfout bepalen

Vereisten

• Introductie tot de normale verdeling: gemiddelde, standaarddeviatie en klokvorm
• Z-scores (standaardiseren): $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$
• Standaardnormale verdeling: het aflezen van de z-tabel
• Kansen bij de normale verdeling: oppervlakten links, rechts en tussen waarden
• Standaardafwijking berekenen: de standaarddeviatie van een dataset

Discussiestarters

1. Twee peilingen over dezelfde verkiezing geven 48 % en 52 %. Betekent dat dat een van beide een fout heeft gemaakt?
2. Waarom is het veel moeilijker dat het gemiddelde van 36 accu's onder 47 uur ligt dan dat één accu dat doet?
3. Een bedrijf zegt dat het 10 klanten heeft ondervraagd en dat 90 % tevreden was. Wat zou je willen weten voordat je dat getal vertrouwt?
4. Waarom halveert een twee keer zo grote steekproef de standaardfout niet?

Veelvoorkomende misvattingen

Een grote steekproef maakt de gegevens normaal verdeeld

Herstel: Vergelijk in de simulator het histogram van ÉÉN grote steekproef (dat lijkt op de scheve populatie) met het histogram van veel steekproef-GEMIDDELDEN (dat wordt een klokvorm).

Standaardfout en standaarddeviatie zijn hetzelfde

Herstel: Laat het populatiepaneel ( $\sigma$ ) zien naast de standaarddeviatie van de gemiddelden in de simulator. Laat leerlingen de tweede voorspellen met $\sigma / \sqrt{n}$ voordat ze op de knop drukken.

Een grotere populatie heeft een grotere steekproef nodig

Herstel: Laat zien dat in de formule $\sigma / \sqrt{n}$ geen populatiegrootte staat. Vergelijk met soep proeven: één lepel vertelt je de smaak van een kleine of een grote pan even goed, als hij goed geroerd is.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met de dobbelsteensimulator en alleen het centrum: de gemiddelden stapelen zich altijd op rond 3,5
• Geef een tabel met $n$ , $\sqrt{n}$ en $\sigma / \sqrt{n}$ voor kwadraten (4, 9, 16, 25, 36, 100)
• Oefen het sorteren van getallen in parameters en steekproefgrootheden voordat er formules komen

Voor leerlingen op niveau:

• Standaardfouten en z-scores van steekproefgemiddelden berekenen met de z-tabel
• De voorwaarden voor het normale model van $\hat{p}$ controleren en de standaardfout berekenen
• De kans voor één waarde vergelijken met de kans voor een steekproefgemiddelde

Voor gevorderde leerlingen:

• De benodigde steekproefomvang bepalen voor een gegeven standaardfout of foutmarge
• De scheve en de tweetoppige populatie verkennen om te zien hoe snel de centrale limietstelling werkt
• $\sigma / \sqrt{n}$ afleiden uit de regel dat varianties van onafhankelijke waarden optellen

Standaarduitlijning

HSS-IC.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.A.1)
Statistiek begrijpen als een proces om uit een aselecte steekproef conclusies te trekken over parameters van de populatie
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Gegevens uit een steekproefonderzoek gebruiken om een populatiegemiddelde of -proportie te schatten; een foutmarge ontwikkelen met simulaties van aselecte steekproeven
HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Gemiddelde en standaarddeviatie van een dataset gebruiken om er een normale verdeling bij te kiezen en populatiepercentages te schatten

Lesbronnen

visualSteekproefsimulator
Trek 1, 100 of 1000 steekproeven uit een scheve populatie, een dobbelsteen of een ja/nee-populatie en zie het histogram van de gemiddelden normaal worden
activityDobbelsteenexperiment in de klas
Iedere leerling gooit met 5 dobbelstenen en noemt het gemiddelde; de klas maakt een stippendiagram van de gemiddelden en vergelijkt het met losse worpen
worksheetKansen voor gemiddelden en proporties
Oefenen met standaardfouten, voorwaarden en kansen uit de z-tabel voor steekproefgemiddelden en steekproefproporties

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een parameter is een getal dat een hele populatie beschrijft, bijvoorbeeld het populatiegemiddelde (de verwachtingswaarde)

\mu

, de standaarddeviatie

\sigma

of de populatieproportie

p

. Een steekproefgrootheid (statistiek) is een getal dat je uit een steekproef berekent, bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde

\bar{x}

of de steekproefproportie

\hat{p}

. De parameter ligt vast (maar is meestal onbekend); de steekproefgrootheid verandert van steekproef tot steekproef.

De steekproevenverdeling van een steekproefgrootheid is de verdeling van haar waarden over alle mogelijke aselecte steekproeven van dezelfde omvang

n

Steekproevenverdeling van het gemiddelde $\bar{x}$

Centrum: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (steekproefgemiddelden liggen rond het populatiegemiddelde)
Spreiding: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , de standaardfout
Vorm (centrale limietstelling): is de populatie normaal verdeeld, dan is $\bar{x}$ normaal verdeeld voor elke $n$ . Zo niet, dan is $\bar{x}$ bij grote $n$ toch ongeveer normaal verdeeld, meestal vanaf $n \geq 30$ .

Een kans over een steekproefgemiddelde bereken je dus met de z-score

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Steekproevenverdeling van de proportie $\hat{p}$

Centrum: $\mu_{\hat{p}} = p$
Spreiding: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Vorm: ongeveer normaal verdeeld als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$

Deze formules gaan uit van een aselecte steekproef met onafhankelijke waarden (in de praktijk: de steekproef is kleiner dan ongeveer 10 % van de populatie).

Uitgewerkte voorbeelden

Een school heeft 1200 leerlingen. Hun gemiddelde lengte is 165 cm. Een klassenproject meet een aselecte steekproef van 50 leerlingen en vindt een gemiddelde lengte van 163,2 cm. Welk getal is een parameter en welk een steekproefgrootheid?

Zoek het getal dat de hele populatie beschrijft

165 cm is het gemiddelde van alle 1200 leerlingen → Parameter:

\mu = 165

Zoek het getal dat uit de steekproef komt

163,2 cm is het gemiddelde van de 50 gemeten leerlingen → Steekproefgrootheid:

\bar{x} = 163{,}2

Denk aan een tweede steekproef

Een andere aselecte steekproef van 50 leerlingen geeft een iets ander gemiddelde, bijvoorbeeld 166,0 cm →

\bar{x}

varieert,

\mu

ligt vast

Antwoord: $\mu = 165$ cm is de parameter, $\bar{x} = 163{,}2$ cm is een steekproefgrootheid. De steekproefgrootheid verandert van steekproef tot steekproef, en precies dat beschrijft een steekproevenverdeling.

Veelgemaakte fouten

Bij een vraag over een steekproefgemiddelde $\sigma$ gebruiken in plaats van $\sigma / \sqrt{n}$

Waarom het fout is: $\sigma$ is de spreiding van losse waarden. Gemiddelden variëren veel minder, dus met $\sigma$ lijken ongewone gemiddelden veel te waarschijnlijk.

Correct: Deel bij $\bar{x}$ altijd door de standaardfout: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Voor één waarde geldt $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Delen door $n$ in plaats van door $\sqrt{n}$

Waarom het fout is: Met $\sigma = 12$ en $n = 36$ geeft delen door $n$ de waarde $0{,}33$ in plaats van de juiste standaardfout $2$ , waardoor elke z-score 6 keer te groot wordt.

Correct: Neem eerst de wortel uit $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Denken dat de centrale limietstelling de populatie of de gegevens normaal maakt

Waarom het fout is: Een grote steekproef uit een scheve populatie is nog steeds scheef: het histogram lijkt op de populatie. Alleen de verdeling van de steekproef-GEMIDDELDEN wordt normaal.

Correct: De centrale limietstelling gaat over de steekproevenverdeling van $\bar{x}$ , niet over losse waarden.

Voor $\hat{p}$ de normale verdeling gebruiken zonder $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$ te controleren

Waarom het fout is: Met $p = 0{,}05$ en $n = 40$ is $np = 2$ : de meeste steekproeven hebben 0, 1, 2 of 3 successen en de verdeling van $\hat{p}$ is erg scheef.

Correct: Controleer eerst beide voorwaarden. Klopt er één niet, neem dan een grotere steekproef of gebruik de binomiale verdeling.

Waarom het belangrijk is

Bijna elk getal uit een enquête in het nieuws is een steekproefgrootheid, geen parameter:

Peilingen: een peiling onder 1000 kiezers schat het aandeel onder alle kiezers. De standaardfout vertelt je hoe ver de peiling waarschijnlijk van de werkelijkheid af zit.
Kwaliteitscontrole: een fabriek controleert het gemiddelde gewicht van een steekproef pakken in plaats van elk pak te wegen.
Geneeskunde: een klinisch onderzoek meet het gemiddelde effect bij een paar honderd patiënten en trekt conclusies voor iedereen.
Wetenschap: het gemiddelde van herhaalde metingen verkleint de toevallige fout.

Het kernidee: de standaardfout

\sigma / \sqrt{n}

wordt kleiner als de steekproef groeit. Vier keer zoveel mensen halveren de fout, daarom zijn grotere peilingen nauwkeuriger. De centrale limietstelling laat je daarna de normale verdeling, z-scores en de z-tabel gebruiken die je al kent, ook als de populatie zelf niet normaal verdeeld is.

Toepassingen in de echte wereld

Verkiezingspeilingen

Peilingbureaus ondervragen ongeveer 1000 mensen en geven een foutmarge. Die marge komt rechtstreeks uit de standaardfout van $\hat{p}$.

Voorbeeld:

Als de werkelijke steun $p = 0{,}5$ is, heeft een peiling onder 1000 mensen standaardfout $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , dus ongeveer 95 % van zulke peilingen zit hooguit zo'n 3 procentpunt naast de werkelijkheid.

1Probeer het zelf

Een kleinere peiling ondervraagt $n = 400$ willekeurig gekozen kiezers. De werkelijke steun voor een kandidate is $p = 0{,}5$ .

Wat is de standaardfout van de steekproefproportie $\hat{p}$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Kwaliteitscontrole in een koffiebar

Machines die bekers vullen worden bewaakt met het gemiddelde van kleine steekproeven. Ligt een gemiddelde, gemeten in standaardfouten, te ver van de streefwaarde, dan gaat er een alarm af.

Voorbeeld:

Een machine vult bekers met $\mu = 250$ mL en $\sigma = 8$ mL. Een controleur meet 16 bekers, dus de standaardfout is $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Probeer het zelf

De 16 bekers hebben een gemiddelde van $\bar{x} = 246$ mL. De machine staat ingesteld op $\mu = 250$ mL met $\sigma = 8$ mL.

Wat is de z-score van dit steekproefgemiddelde?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Een medisch onderzoek plannen

Voordat een onderzoek begint, kiezen onderzoekers de steekproefomvang zo dat de standaardfout klein genoeg is. Door de wortel heb je voor een halve fout vier keer zoveel patiënten nodig.

Voorbeeld:

Bloeddruk heeft $\sigma = 20$ mmHg. Met 25 patiënten is de standaardfout $20 / 5 = 4$ mmHg, met 100 patiënten $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Probeer het zelf

Onderzoekers willen dat de standaardfout van de gemiddelde bloeddruk 2 mmHg is. De standaarddeviatie van de populatie is $\sigma = 20$ mmHg.

Hoeveel patiënten hebben ze nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Uit $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ volgt $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Belangrijke punten

1Een parameter ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) beschrijft de populatie en ligt vast; een steekproefgrootheid ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) komt uit een steekproef en varieert van steekproef tot steekproef
2De steekproevenverdeling van $\bar{x}$ heeft gemiddelde $\mu$ en standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$
3Centrale limietstelling: vanaf ongeveer $n \geq 30$ is het steekproefgemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft; is de populatie normaal verdeeld, dan voor elke $n$
4Voor een kans over een steekproefgemiddelde gebruik je $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ en de z-tabel
5De steekproefproportie $\hat{p}$ heeft gemiddelde $p$ en standaardfout $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; ze is ongeveer normaal verdeeld als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$
6Grotere steekproeven geven nauwkeurigere schattingen: een vier keer zo grote steekproef halveert de standaardfout

Veelgestelde vragen

Waarom staat er in de standaardfout $\sqrt{n}$ en niet $n$ ?

De variantie van een gemiddelde van

n

onafhankelijke waarden is

\sigma^2 / n

. De standaardfout is de wortel daarvan:

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. Daarom heb je vier keer zoveel waarden nodig om de fout te halveren.

Is 30 een magisch getal?

Nee, het is een vuistregel. Is de populatie al bijna normaal verdeeld, dan volstaan veel kleinere steekproeven; bij een erg scheve populatie (zoals inkomens) heb je soms meer dan 30 nodig. Probeer het in de simulator: de scheve populatie heeft een grotere

n

nodig dan de dobbelsteen.

Wat is het verschil tussen standaarddeviatie en standaardfout?

De standaarddeviatie

\sigma

meet hoeveel losse waarden variëren. De standaardfout

\sigma / \sqrt{n}

meet hoeveel een steekproefgrootheid, zoals het steekproefgemiddelde, van steekproef tot steekproef varieert. Voor

n > 1

is de standaardfout altijd kleiner.

Maakt de grootte van de populatie uit?

Nauwelijks, zolang de steekproef een klein deel van de populatie is (minder dan ongeveer 10 %). Een aselecte steekproef van 1000 mensen is voor een stad ongeveer even nauwkeurig als voor een heel land. Wat telt, is de steekproefomvang

n

Woordenlijst

Parameter: Getal dat een hele populatie beschrijft, zoals $\mu$ , $\sigma$ of $p$ ; meestal onbekend
Steekproefgrootheid: Getal dat uit een steekproef wordt berekend, zoals $\bar{x}$ of $\hat{p}$ ; het verandert van steekproef tot steekproef
Steekproevenverdeling: Verdeling van een steekproefgrootheid over alle mogelijke aselecte steekproeven van dezelfde omvang $n$
Standaardfout: Standaarddeviatie van een steekproevenverdeling, bijvoorbeeld $\sigma / \sqrt{n}$ voor het steekproefgemiddelde
Centrale limietstelling: Bij grote $n$ is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft
Steekproefproportie: Het aandeel successen in een steekproef, $\hat{p} = \dfrac{\text{aantal successen}}{n}$

Formulekaart

Gemiddelde van het steekproefgemiddelde

\mu_{\bar{x}} = \mu

Steekproefgemiddelden liggen rond het populatiegemiddelde

Standaardfout van het gemiddelde

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Spreiding van de steekproefgemiddelden; wordt kleiner als $n$ groeit

z-score van een steekproefgemiddelde

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Gebruik met de z-tabel als $n \geq 30$ of de populatie normaal verdeeld is

Standaardfout van een proportie

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Normaal model als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Steekproevenverdelingen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Steekproevenverdeling van het gemiddelde xˉ\bar{x}xˉ

Steekproevenverdeling van de proportie p^\hat{p}p^​

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Verkiezingspeilingen

Kwaliteitscontrole in een koffiebar

Een medisch onderzoek plannen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Gemiddelde van het steekproefgemiddelde

Standaardfout van het gemiddelde

z-score van een steekproefgemiddelde

Standaardfout van een proportie

Meer over dit onderwerp

Introductie tot kansverdelingen

Binomiale kans

Discrete vs continue verdelingen

Verwachtingswaarde

Steekproevenverdeling van het gemiddelde $\bar{x}$

Steekproevenverdeling van de proportie $\hat{p}$