Residuen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een datapunt ligt onder de regressielijn. Welk teken heeft zijn residu?
1. a)negatief
2. b)dat hangt af van de richtingscoëfficiënt
3. c)nul
4. d)positief
Antwoord: negatief
Onder de lijn geldt $y < \hat{y}$ , dus $e = y - \hat{y}$ is negatief.
2.
Met welke formule bereken je het residu van een datapunt?
1. a) $y \cdot \hat{y}$
2. b) $y + \hat{y}$
3. c) $\hat{y} - y$
4. d) $y - \hat{y}$
Antwoord: $y - \hat{y}$
Het residu is altijd waargenomen min voorspeld: $e = y - \hat{y}$ . De volgorde is belangrijk, want $\hat{y} - y$ heeft het tegengestelde teken.
3.
Een residuendiagram toont een duidelijke U-vormige kromme. Wat vertelt dat je?
1. a)Er is geen verband tussen x en y
2. b)De som van de residuen is niet 0
3. c)Een krom model zou beter passen dan een rechte lijn
4. d)Het lineaire model past goed
Antwoord: Een krom model zou beter passen dan een rechte lijn
Een krom patroon in de residuen betekent dat de gegevens buigen en een rechte lijn die bocht mist, dus een krom model zou beter passen. De som van de residuen van de kleinste-kwadratenlijn is nog steeds $0$ .
4.
Wat geldt voor de som van de residuen van de regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode?
1. a)Die is voor elke dataset anders
2. b)Die is altijd 0
3. c)Die is gelijk aan de kwadratensom van de residuen
4. d)Die is altijd positief
Antwoord: Die is altijd 0
Bij de kleinste-kwadratenlijn heffen positieve en negatieve residuen elkaar altijd precies op: $\sum e = 0$ , voor elke dataset. Daarom zegt een kleine som niets over hoe goed de lijn past.
5.
In hetzelfde spreidingsdiagram zijn vier lijnen getekend. Hieronder staan hun kwadratensommen van de residuen. Welke is de regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode?
1. a)Lijn B (SSR = 34)
2. b)Lijn A (SSR = 40)
3. c)Lijn D (SSR = 61)
4. d)Lijn C (SSR = 53)
Antwoord: Lijn B (SSR = 34)
De kleinste-kwadratenlijn is de lijn met de kleinste kwadratensom van de residuen. $34$ is de kleinste waarde, dus lijn B is de kleinste-kwadratenlijn.
6.
De regressielijn is $\hat{y} = 5x + 50$ . Een datapunt is $(2, 58)$ . Wat is zijn residu?
Antwoord: -2
$\hat{y} = 5(2) + 50 = 60$ , dus $e = 58 - 60 = -2$ . Het punt ligt 2 eenheden onder de lijn.
7.
De waargenomen toetsscore van een leerling is $80$ en de regressielijn voorspelt $74{,}5$ . Wat is het residu?
Antwoord: 5.5
$e = 80 - 74{,}5 = 5{,}5$ . Het residu is positief, dus de leerling haalde $5{,}5$ punten meer dan voorspeld.
8.
Een punt heeft residu $-4$ en de voorspelde waarde is $\hat{y} = 30$ . Wat is de waargenomen waarde $y$ ?
Antwoord: 26
$y = \hat{y} + e = 30 + (-4) = 26$ . Een negatief residu betekent dat de waargenomen waarde onder de voorspelling ligt.
9.
Aan $5$ punten is een kleinste-kwadratenlijn aangepast. Vier van de residuen zijn $3$ , $-1$ , $2$ en $-5$ . Wat is het vijfde residu?
Antwoord: 1
$3 + (-1) + 2 + (-5) = -1$ . Alle vijf samen moeten $0$ zijn, dus het vijfde residu is $1$ .
10.
De residuen van een regressielijn zijn $1$ , $-3$ , $2$ , $0$ , $-1$ en $1$ . Wat is de kwadratensom van de residuen?
Antwoord: 16
$1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 16$ .
11.
De regressielijn is $\hat{y} = 3x + 4$ . Bereken het residu van het punt $(5, 21)$ .
Antwoord: 2
1. Wat is $3 \times 5$ ? 15
2. Wat is de voorspelde waarde $\hat{y}$ ? 19
3. Wat is het residu $e = y - \hat{y}$ ? 2
12.
De regressielijn is $\hat{y} = 2x + 10$ . Bereken het residu van het punt $(6, 19)$ en zeg waar het punt ligt.
Antwoord: -3
1. Wat is de voorspelde waarde $\hat{y}$ ? 22
2. Wat is het residu $e = y - \hat{y}$ ? -3
3. Waar ligt het punt? onder
13.
Een café beschrijft de verkoop van warme chocolademelk met $\hat{y} = 0{,}5x + 20$ , waarbij $x$ het aantal klanten is. Op een dag met $40$ klanten werden $38$ bekers verkocht. Bereken het residu.
Antwoord: -2
1. Wat is $0{,}5 \times 40$ ? 20
2. Wat is de voorspelde waarde $\hat{y}$ ? 40
3. Wat is het residu $e = y - \hat{y}$ ? -2
14.
De kleinste-kwadratenlijn voor de punten $(1, 6)$ , $(2, 7)$ en $(3, 14)$ is $\hat{y} = 4x + 1$ . Bereken elk residu en hun som.
Antwoord: 0
1. Residu van $(1, 6)$ ? 1
2. Residu van $(2, 7)$ ? -2
3. Residu van $(3, 14)$ ? 1
4. Wat is de som van de drie residuen? 0
15.
Bereken voor de punten $(1, 4)$ , $(2, 4)$ en $(3, 8)$ en de lijn $\hat{y} = 2x + 1$ de kwadratensom van de residuen.
Antwoord: 3
1. Residu van $(1, 4)$ ? 1
2. Residu van $(2, 4)$ ? -1
3. Residu van $(3, 8)$ ? 1
4. Wat is de kwadratensom van de residuen? 3
16.
Vergelijk voor de punten $(1, 3)$ , $(2, 5)$ en $(3, 4)$ lijn A: $\hat{y} = 0{,}5x + 3$ en lijn B: $\hat{y} = x + 2$ . Welke is de kleinste-kwadratenlijn?
Antwoord: A
1. Lijn A: wat is het residu van $(2, 5)$ ? 1
2. Lijn A: wat is de kwadratensom van de residuen? 1.5
3. Lijn B: wat is de kwadratensom van de residuen? 2
4. Welke lijn is de kleinste-kwadratenlijn? A
17.
De kleinste-kwadratenlijn voor vier punten is $\hat{y} = 2x + 5$ . De residuen van de eerste drie punten zijn $2$ , $-1$ en $-3$ . Het vierde punt heeft $x = 8$ . Wat is de waargenomen waarde $y$ ?
Antwoord: 23
1. Wat is de som van de eerste drie residuen? -2
2. Hoe groot moet het vierde residu zijn? 2
3. Wat is $\hat{y}$ voor $x = 8$ ? 21
4. Wat is de waargenomen waarde $y$ ? 23
18.
De downloads van een app (in duizenden) in de maanden $1$ tot en met $6$ waren $20, 24, 31, 41, 54, 70$ . De kleinste-kwadratenlijn is $\hat{y} = 10x + 5$ . Controleer met de residuen of een rechte lijn past.
Antwoord: 5, -1, -4, -4, -1, 5
1. Residu voor maand $1$ ? 5
2. Residu voor maand $3$ ? -4
3. Residu voor maand $6$ ? 5
4. De zes residuen zijn $5, -1, -4, -4, -1, 5$ . Welk patroon vormen ze in het residuendiagram? U-vormige kromme