Terug naar les

Docentenhandleiding: Residuen

Leer wat een residu is, hoe je residuen in een tabel berekent en hoe een residuendiagram laat zien of een lijn bij de gegevens past.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Regressie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Een residu berekenen als waargenomen waarde min voorspelde waarde
  • Het teken van een residu interpreteren als een punt boven of onder de regressielijn
  • Residuen in een tabel ordenen en controleren dat hun som nul is voor de kleinste-kwadratenlijn
  • Met een residuendiagram beslissen of een lineair model geschikt is
  • De kleinste-kwadratenmethode uitleggen als het minimaliseren van de kwadratensom van de residuen
Vereisten
  • • Spreidingsdiagrammen en punten aflezen als paren (x, y)
  • • Lijn van beste passing en de vergelijking y^=mx+b\hat{y} = mx + b
  • • Voorspellingen doen door xx in te vullen in de regressielijn
  • • Negatieve getallen optellen en kwadrateren
Discussiestarters
  • 1. Als je residu in een model voor toetsscores −5-5 is, deed je het dan beter of slechter dan het model verwachtte?
  • 2. Waarom kan de som van de residuen van een slechte lijn toch nul zijn?
  • 3. Hoe zou een residuendiagram eruitzien als elk punt precies op de lijn lag?
  • 4. Waarom straft kwadrateren één grote afwijking zwaarder af dan meerdere kleine?
Veelvoorkomende misvattingen

Het residu is voorspeld min waargenomen

Herstel: Veranker de volgorde met een plaatje: een punt boven de lijn moet positief zijn. Laat leerlingen het teken elke keer in de grafiek controleren.

Als de som van de residuen nul is, past de lijn goed

Herstel: Laat de downloadgegevens zien: de som is 00, maar het residuendiagram vormt een duidelijke U. Vergelijk daarna de SSR van twee lijnen.

Een sterke correlatie betekent dat een rechte lijn altijd het juiste model is

Herstel: Ook kromme gegevens kunnen een hoge rr hebben. Teken altijd het residuendiagram en zoek naar een patroon voordat je een lineair model vertrouwt.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Beginnen met één residu tegelijk en een grafiek om het teken te controleren
  • • Een tabel geven waarin de voorspelde waarden al zijn ingevuld
  • • Alleen gehele residuen gebruiken

Voor leerlingen op niveau:

  • • Volledige residuentabellen invullen en controleren dat de som nul is
  • • Residuendiagrammen met de hand tekenen en het patroon beschrijven
  • • Twee lijnen vergelijken met de kwadratensom van de residuen

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Laten zien dat de SSR met nc2n c^2 toeneemt als je de kleinste-kwadratenlijn cc omhoog schuift
  • • Uitleggen waarom de kleinste-kwadratenlijn altijd door (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) gaat
  • • Echte gegevens zoeken met een krom residuendiagram en een beter model voorstellen
Standaarduitlijning
  • HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)

    Informeel beoordelen hoe goed een functie past door residuen uit te zetten en te analyseren

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Een lineaire functie aanpassen aan een spreidingsdiagram dat een lineair verband suggereert

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    De richtingscoëfficiënt en het startgetal van een lineair model in de context van de gegevens interpreteren

Lesbronnen
  • visualSpreidingsdiagram met residuen

    Leerlingen tikken punten aan en lezen elk residu af als een gestippeld lijnstuk tussen het punt en de lijn

  • activityMenselijk residuendiagram

    Leerlingen meten lengte en spanwijdte van hun armen, berekenen hun residu ten opzichte van een klassenlijn en gaan op een getallenlijn op de vloer bij hun residu staan

  • worksheetResiduentabellen

    Voorspelde waarden, residuen en gekwadrateerde residuen invullen voor kleine datasets en twee lijnen vergelijken

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een residu (meervoud: residuen) is de verticale afstand tussen een datapunt en de regressielijn. Het laat zien hoeveel de voorspelling van de lijn naast de echte waarde zat:
e=y−y^e = y - \hat{y}
  • yy is de waargenomen waarde (wat er echt gebeurde)
  • y^\hat{y} is de voorspelde waarde van de lijn (spreek uit: "y dakje")
  • ee is het residu, altijd waargenomen min voorspeld
Het teken van een residu vertelt je waar het punt ligt:
  • e>0e > 0: het punt ligt boven de lijn (de lijn voorspelde te weinig)
  • e<0e < 0: het punt ligt onder de lijn (de lijn voorspelde te veel)
  • e=0e = 0: het punt ligt precies op de lijn
Een residu heeft dezelfde eenheid als yy. Voor de regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode is de som van de residuen altijd nul: ∑e=0\sum e = 0.

Uitgewerkte voorbeelden

De regressielijn voor studie-uren (xx) en toetsscore (yy) is y^=5x+50\hat{y} = 5x + 50. Mia studeerde 44 uur en haalde 7272. Bereken haar residu.
1

Bereken de voorspelde score

y^=5(4)+50=20+50\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50 → y^=70\hat{y} = 70
2

Trek af: waargenomen min voorspeld

e=y−y^=72−70e = y - \hat{y} = 72 - 70 → e=2e = 2
3

Interpreteer het teken

e>0e > 0, dus het punt van Mia ligt boven de lijn → Ze haalde 2 punten meer dan voorspeld

Veelgemaakte fouten

Voorspeld min waargenomen berekenen (y^−y\hat{y} - y)

Waarom het fout is: Dan draait elk teken om: punten boven de lijn zouden negatieve residuen krijgen en punten eronder positieve.

Correct: Reken altijd waargenomen min voorspeld: e=y−y^e = y - \hat{y}. Positief betekent boven de lijn.

Een lijn beoordelen op de gewone som van de residuen

Waarom het fout is: Bij de kleinste-kwadratenlijn is de som altijd 00, ook als de lijn slecht past, omdat positieve en negatieve residuen elkaar opheffen.

Correct: Kwadrateer de residuen eerst en tel ze dan op (SSR), of bekijk het residuendiagram.

Denken dat een krom residuendiagram in orde is omdat de punten gemiddeld dicht bij nul liggen

Waarom het fout is: Een duidelijke kromme (U-vorm, heuvelvorm) betekent dat de gegevens een bocht volgen die een rechte lijn niet kan volgen.

Correct: Een lineair model past alleen als het residuendiagram eruitziet als een willekeurige spreiding rond 00 zonder patroon.

De eenheid of de grootte van een residu vergeten

Waarom het fout is: Een residu van −3-3 bij een toetsscore betekent 3 punten, niet 3 %. De grootte heeft alleen betekenis in de eenheid van yy.

Correct: Zeg het in de context: "De lijn overschatte de score van Leo met 3 punten."

Waarom het belangrijk is

Met residuen controleren statistici een model in plaats van het blind te vertrouwen:
  • Is de lijn goed? Kleine residuen betekenen dat de voorspellingen dicht bij de werkelijkheid liggen.
  • Is een rechte lijn de juiste vorm? Een residuendiagram (de residuen uitgezet tegen x) toont een willekeurige puntenwolk als een lijn past en een kromme als dat niet zo is.
  • Welke lijn is de beste? De kleinste-kwadratenlijn is de lijn met de kleinste kwadratensom van de residuen.
  • Bijzondere gevallen: een heel groot residu wijst op een punt dat niet in het patroon past, bijvoorbeeld een typefout in de gegevens of een uitzondering.
Weerdiensten, bezorgapps, artsen en sportwetenschappers vergelijken voortdurend voorspellingen met wat er echt gebeurde, en elk van die vergelijkingen is een residu.

Toepassingen in de echte wereld

Geschatte bezorgtijden

Bezorgapps voorspellen de tijd voor een bestelling op basis van de afstand. Na elke bezorging laat het residu zien of de schatting te kort of te lang was.

Voorbeeld:

Met y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 minuten voor xx km wordt voor een bestelling van 5 km een tijd van 2020 minuten voorspeld. Duurde het 1818 minuten, dan is het residu 18−20=−218 - 20 = -2.

1Probeer het zelf

Het model van de app is y^=2x+10\hat{y} = 2x + 10 (minuten, xx in km). Een bestelling over 66 km duurde 2525 minuten.

Wat is het residu voor deze bestelling?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Waargenomen min voorspeld:

Experimenten met plantengroei

Biologen leggen een lijn door de hoogte van planten in de loop van de tijd. Een plant met een groot negatief residu krijgt misschien te weinig licht of water.

Voorbeeld:

Met y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 cm na xx weken verwacht je dat een plant na 4 weken 1010 cm hoog is.

2Probeer het zelf

Het groeimodel is y^=1,5x+4\hat{y} = 1{,}5x + 4 (cm, xx in weken). Na 88 weken is een plant 14,514{,}5 cm hoog.

Wat is het residu voor deze plant?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Waargenomen min voorspeld:

Modellen in de sportwetenschap

Coaches voorspellen de spronghoogte van een sporter uit trainingsgegevens en beoordelen het model op de kwadratensom van de residuen: hoe kleiner, hoe beter.

Voorbeeld:

Als een model er bij twee sporters 33 cm en −3-3 cm naast zit, is de som van de residuen 00, maar de kwadratensom van de residuen 9+9=189 + 9 = 18.

3Probeer het zelf

Een kleinste-kwadratenmodel voor de spronghoogte heeft bij drie sporters residuen van 22, −1-1 en −1-1 cm.

Wat is de kwadratensom van de residuen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Kwadrateer elk residu en tel op:

Belangrijke punten

  • 1Een residu is waargenomen min voorspeld: e=y−y^e = y - \hat{y}
  • 2Een positief residu betekent dat het punt boven de lijn ligt, een negatief dat het eronder ligt
  • 3Residuen hebben dezelfde eenheid als yy en zijn het makkelijkst te ordenen in een tabel: xx, yy, y^\hat{y}, ee
  • 4De residuen van de kleinste-kwadratenlijn hebben altijd som 00
  • 5Een residuendiagram met willekeurige spreiding rond 00 betekent dat een lijn past; een krom patroon betekent dat hij niet past
  • 6De kleinste-kwadratenlijn is de lijn met de kleinste kwadratensom van de residuen

Veelgestelde vragen

Waarom heet het een residu?

"Residu" betekent "wat overblijft". Het is het deel van yy dat de lijn niet verklaart: de waarde die overblijft als je de voorspelling eraf haalt.

Waarom kwadrateren we de residuen in plaats van ze gewoon op te tellen?

Gewone residuen heffen elkaar op (bij de kleinste-kwadratenlijn is hun som altijd 00). Door te kwadrateren telt elke afwijking positief mee en tellen grote afwijkingen veel zwaarder.

Is een groot residu een fout?

Niet per se. Het betekent alleen dat het punt niet goed in het patroon past. Controleer de gegevens op een typefout, maar echte gegevens kunnen ook bijzondere gevallen bevatten.

Wat is het verschil tussen een residuendiagram en een spreidingsdiagram?

Een spreidingsdiagram toont yy tegen xx. Een residuendiagram toont het residu ee tegen xx, dus de regressielijn wordt de horizontale lijn e=0e = 0 en elk patroon dat de lijn gemist heeft, zie je meteen.

Woordenlijst

Residu
Waargenomen waarde min voorspelde waarde: e=y−y^e = y - \hat{y}
Waargenomen waarde
De echte yy-waarde van een datapunt, gemeten of verzameld
Voorspelde waarde
De waarde y^\hat{y} die de regressielijn geeft voor een bepaalde xx
Residuendiagram
Een diagram van de residuen tegen xx, met een horizontale lijn bij 00
Kwadratensom van de residuen (SSR)
De som ∑(y−y^)2\sum (y - \hat{y})^2; de kleinste-kwadratenlijn maakt die zo klein mogelijk
Kleinste-kwadratenlijn
De regressielijn met de kleinste kwadratensom van de residuen

Formulekaart

Residu

e=y−y^e = y - \hat{y}

Waargenomen min voorspeld; positief boven de lijn, negatief eronder

Som van de residuen

∑e=0\sum e = 0

Geldt altijd voor de regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode

Kwadratensom van de residuen

SSR=∑(y−y^)2\text{SSR} = \sum (y - \hat{y})^2

De kleinste-kwadratenlijn maakt deze waarde zo klein mogelijk (ook geschreven als $SS_{\text{res}}$)

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Gevorderd25 min

Lineaire regressie

Gevorderd25 min

Spreidingsdiagrammen

Gemiddeld25 min

Lijn van beste passing

Gemiddeld25 min