Docentenhandleiding: Uitschieters herkennen

Leer wat een uitschieter is, hoe je hem vindt met de 1,5 × IQR-regel en hoe hij het gemiddelde, de mediaan en de spreidingsbreedte verandert.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Spreiding & Variabiliteit. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Uitleggen wat een uitschieter in een gegevensverzameling is
De onder- en bovengrens berekenen met de 1,5 × IQR-regel en uitschieters aanwijzen
Uitschieters correct weergeven in een boxplot
Beschrijven hoe een uitschieter het gemiddelde, de mediaan, de spreidingsbreedte en de IQR beïnvloedt
Beslissen of een uitschieter een fout is die verbeterd moet worden of een echte waarde die blijft

Vereisten

• De mediaan, Q1, Q3 en de IQR bepalen (Spreidingsbreedte en interkwartielafstand)
• Boxplots lezen en tekenen (Boxplots (Box-and-whisker))
• Het gemiddelde van een gegevensverzameling berekenen
• Basisidee van de standaardafwijking (Standaardafwijking), voor de opmerking over de z-score

Discussiestarters

1. Een hardloper zet een nieuw wereldrecord neer. Is die tijd een uitschieter? Moet hij uit de gegevens worden gehaald?
2. Waarom denk je dat het nieuws vaak de mediane huizenprijs noemt in plaats van de gemiddelde?
3. Als je een uitschieter uit een gegevensverzameling haalt, wat verandert er dan meer: het gemiddelde of de mediaan? Waarom?
4. Kan een waarde in de ene gegevensverzameling een uitschieter zijn en in een andere heel gewoon? Geef een voorbeeld.
5. Wie zou moeten beslissen of een vreemde waarde een fout is, en welke informatie heeft die persoon daarvoor nodig?

Veelvoorkomende misvattingen

Uitschieters zijn altijd fouten en moeten worden verwijderd

Herstel: Laat echte uitschieters zien (een recordsprong, het inkomen van een loterijwinnaar) naast duidelijke fouten (een lengte van 1630 cm). Laat leerlingen ze sorteren en uitleggen waarom alleen fouten verbeterd of verwijderd mogen worden.

Alleen heel grote waarden kunnen uitschieters zijn

Herstel: Gebruik een gegevensverzameling met een lage uitschieter, zoals de toetsscores $3, 12, 13, \ldots$ . Laat leerlingen elke keer beide grenzen berekenen, niet alleen de bovengrens.

De grootste waarde van een gegevensverzameling is automatisch een uitschieter

Herstel: Geef een gegevensverzameling waarin het maximum binnen de bovengrens ligt (bijvoorbeeld $95$ bij een grens van $96{,}25$ ). Benadruk dat de grenzen beslissen, niet de plaats in de lijst.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Q1 en Q3 meteen geven, zodat leerlingen alleen de grenzen oefenen
• Een invulschema gebruiken: IQR, 1,5 × IQR, ondergrens, bovengrens, uitschieters
• De grenzen op een getallenlijn laten zien, zodat leerlingen zien welke punten erbuiten liggen

Voor leerlingen op niveau:

• Uitschieters vinden in ruwe gegevens van 8 tot 12 waarden
• Boxplots tekenen met uitschieters als losse punten
• Het gemiddelde en de mediaan vergelijken met en zonder uitschieter

Voor gevorderde leerlingen:

• De 1,5 × IQR-regel vergelijken met de regel van 2 standaardafwijkingen op dezelfde gegevens
• Een waarde zoeken die precies op een grens ligt en uitleggen waarom het geen uitschieter is
• Een echte gegevensverzameling onderzoeken (temperaturen van een stad, sportuitslagen) en per uitschieter beargumenteren of het een fout of echt is

Standaarduitlijning

6.SP.B.5c (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)
Centrummaten (mediaan en/of gemiddelde) en spreidingsmaten (interkwartielafstand en/of gemiddelde absolute afwijking) geven en het algemene patroon en opvallende afwijkingen daarvan beschrijven
6.SP.B.5d (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.D)
De keuze van centrum- en spreidingsmaten verbinden met de vorm van de verdeling en de context waarin de gegevens zijn verzameld
HSS-ID.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.3)
Verschillen in vorm, centrum en spreiding interpreteren in de context van de gegevens, rekening houdend met het mogelijke effect van extreme waarden (uitschieters)

Lesbronnen

visualInteractieve boxplot
Leerlingen voegen waarden toe, halen ze weg en zien uitschieters verschijnen als losse punten
activityGegevensjacht in de klas
Een gegevensverzameling van de klas verzamelen (bijvoorbeeld handspanne of reistijd naar school), de grenzen bepalen en naar uitschieters zoeken
worksheetFout of echt?
Korte gegevensverzamelingen met uitschieters; leerlingen bepalen de grenzen en beslissen of elke uitschieter een fout of een echte waarde is

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een uitschieter is een waarneming die ongewoon ver van de rest van de gegevens ligt. Hij is veel kleiner of veel groter dan de andere waarden.

De 1,5 × IQR-regel

Om eerlijk te beslissen of een waarde een uitschieter is, maken we met de kwartielen twee grenzen:

\text{ondergrens} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

\text{bovengrens} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

waarbij

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

de interkwartielafstand is. Elke waarde onder de ondergrens of boven de bovengrens is een uitschieter. Een waarde die precies op een grens ligt, is geen uitschieter.

Zo vind je uitschieters

1.Zet de gegevens op volgorde en bepaal $Q_1$ en $Q_3$ (medianen van de onderste en de bovenste helft, zoals in Spreidingsbreedte en interkwartielafstand)
2.Bereken $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
3.Vermenigvuldig: $1{,}5 \times \text{IQR}$
4.Ondergrens $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , bovengrens $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
5.Elke waarde buiten de grenzen is een uitschieter

Uitschieters in een boxplot

In een boxplot worden uitschieters als losse punten getekend. De snorharen (whiskers) stoppen bij de kleinste en de grootste waarde die geen uitschieter zijn.

Waarom uitschieters belangrijk zijn

Een uitschieter trekt het gemiddelde mee en vergroot de spreidingsbreedte, maar verandert de mediaan en de IQR nauwelijks. Daarom noemen we de mediaan en de IQR robuuste maten.

Er zijn ook andere methoden: met de standaardafwijking noemt men een waarde die meer dan 2 of 3 standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt vaak ongewoon (zie Standaardafwijking).

Uitgewerkte voorbeelden

Een gegevensverzameling heeft

Q_1 = 20

Q_3 = 30

. Welke van de waarden

2

18

44

50

zijn uitschieters?

Bepaal de IQR

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20

→

\text{IQR} = 10

Vermenigvuldig de IQR met 1,5

1{,}5 \times 10

→

15

Bepaal de ondergrens

Q_1 - 15 = 20 - 15

→ Ondergrens

= 5

Bepaal de bovengrens

Q_3 + 15 = 30 + 15

→ Bovengrens

= 45

Vergelijk elke waarde met de grenzen

2 < 5

(buiten),

18

44

liggen tussen

5

45

(binnen),

50 > 45

(buiten) → Uitschieters:

2

50

Antwoord: Alleen $2$ en $50$ zijn uitschieters. De waarden $18$ en $44$ liggen binnen de grenzen $5$ en $45$ .

Veelgemaakte fouten

$Q_3 + \text{IQR}$ gebruiken in plaats van $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Waarom het fout is: Zonder de factor $1{,}5$ liggen de grenzen te dicht bij de doos, en gewone waarden worden als uitschieter gemarkeerd.

Correct: Vermenigvuldig altijd eerst: $1{,}5 \times \text{IQR}$ , trek het daarna af van $Q_1$ en tel het op bij $Q_3$ .

De grenzen bepalen vanaf de mediaan, het minimum of het maximum

Waarom het fout is: De regel meet de afstand tot de doos, en de doos eindigt bij $Q_1$ en $Q_3$ .

Correct: Ondergrens $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , bovengrens $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ . Begin nooit bij de mediaan of bij de uiterste waarden.

De snorhaar helemaal tot de uitschieter tekenen

Waarom het fout is: Dan lijkt de uitschieter bij de gewone spreiding te horen, en verbergt de boxplot hem.

Correct: De snorhaar stopt bij de grootste (of kleinste) waarde die geen uitschieter is. Teken elke uitschieter als een los punt.

Elke uitschieter automatisch verwijderen

Waarom het fout is: Een uitschieter kan een echte en belangrijke waarde zijn, zoals een recordtijd of een heel grote bestelling.

Correct: Verwijder of verbeter een waarde alleen als het een fout is (typefout, kapot meetinstrument, verkeerde eenheid). Houd echte uitschieters en vermeld ze, of gebruik de mediaan en de IQR.

Waarom het belangrijk is

Uitschieters duiken overal op waar gegevens worden verzameld:

Banken: een pinbetaling die ver boven je gewone aankopen ligt, wordt gemarkeerd als mogelijke fraude
Fabrieken: een fles met veel minder sap dan de andere is een uitschieter die de kwaliteitscontrole van de band haalt
Wetenschap: een thermometer die $52°C$ aangeeft op een zachte dag heeft waarschijnlijk een kapotte sensor, het is geen hittegolf
Sport: een wereldrecord is een echte uitschieter, en het is de interessantste waarde van allemaal
Salarissen: één heel hoog salaris laat het gemiddelde salaris veel hoger lijken dan wat de meeste mensen verdienen

Als je uitschieters vindt, ontdek je fouten, zie je iets bijzonders en kies je de juiste maat (gemiddelde of mediaan) om je gegevens eerlijk te beschrijven.

Toepassingen in de echte wereld

Fraude met bankpassen opsporen

Banken vergelijken elke nieuwe betaling met de gewone betalingen van de klant. Een betaling boven de bovengrens kan een veiligheidscontrole starten.

Voorbeeld:

De betalingen van een klant hebben $Q_1 = 20$ € en $Q_3 = 60$ €. Een betaling van 450 € ligt ver boven de bovengrens, dus stuurt de bank een sms om hem te laten bevestigen.

1Probeer het zelf

De gewone betalingen van een klant hebben $Q_1 = 20$ € en $Q_3 = 60$ €. Plotseling verschijnt er een betaling van 450 €.

Wat is de bovengrens voor de betalingen van deze klant (in €)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Kwaliteitscontrole in een fabriek

Sapflessen moeten allemaal ongeveer evenveel bevatten. Flessen onder de ondergrens worden van de band gehaald en gecontroleerd.

Voorbeeld:

Als de meeste flessen tussen 498 mL en 502 mL bevatten, is een fles met 480 mL duidelijk te weinig gevuld, en moet de machine misschien gerepareerd worden.

2Probeer het zelf

De vulhoeveelheden van sapflessen hebben $Q_1 = 498$ mL en $Q_3 = 502$ mL.

Wat is de ondergrens (in mL)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Een gewoon salaris noemen

Het nieuws noemt vaak het mediane salaris in plaats van het gemiddelde, omdat een paar heel hoge salarissen het gemiddelde omhoog trekken.

Voorbeeld:

In een klein bedrijf verdienen vijf werknemers tussen 30 en 38 duizend € per jaar en de eigenares verdient 160 duizend €. Haar salaris is een uitschieter.

3Probeer het zelf

Jaarsalarissen in duizenden €: $30, 32, 34, 36, 38, 160$ .

Wat is het gemiddelde salaris (in duizenden €)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel de zes salarissen op en deel door 6:

Belangrijke punten

1Een uitschieter is een waarde die ongewoon ver van de rest van de gegevens ligt, heel klein of heel groot
21,5 × IQR-regel: ondergrens $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , bovengrens $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
3Waarden onder de ondergrens of boven de bovengrens zijn uitschieters; een waarde precies op een grens is dat niet
4In een boxplot zijn uitschieters losse punten en stoppen de snorharen bij de laatste waarden binnen de grenzen
5Uitschieters trekken het gemiddelde mee en vergroten de spreidingsbreedte, terwijl de mediaan en de IQR nauwelijks veranderen
6Verbeter of verwijder een uitschieter alleen als het een fout is; houd echte uitschieters en vermeld ze

Veelgestelde vragen

Waarom 1,5 en niet 1 of 2?

De factor

1{,}5

is gekozen door de statisticus John Tukey omdat hij in de praktijk goed werkt: hij markeert echt ongewone waarden zonder te veel gewone waarden te raken. Sommige boeken gebruiken ook

3 \times \text{IQR}

voor "extreme" uitschieters.

Kan een gegevensverzameling geen of juist meerdere uitschieters hebben?

Ja, allebei. Veel gegevensverzamelingen hebben helemaal geen uitschieters, andere hebben er meerdere, aan één kant of aan beide kanten (zoals de temperaturen

2

52

in de voorbeelden).

Is het minimum of maximum altijd een uitschieter?

Nee. Het minimum en het maximum zijn gewoon de kleinste en de grootste waarde. Ze zijn alleen uitschieters als ze buiten de grenzen liggen. In

60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95

is de bovengrens bijvoorbeeld

96{,}25

, dus het maximum

95

is geen uitschieter.

Is er nog een andere manier om uitschieters te vinden?

Ja. Met de standaardafwijking kun je meten hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt (de z-score). Waarden die meer dan 2 of 3 standaardafwijkingen afliggen, noemt men vaak ongewoon. Voor boxplots gebruikt men de 1,5 × IQR-regel, omdat die niet afhangt van het gemiddelde, dat door uitschieters wordt vertekend.

Woordenlijst

Uitschieter: Een waarneming die ongewoon ver van de andere waarden ligt; volgens de 1,5 × IQR-regel een waarde onder de ondergrens of boven de bovengrens
Ondergrens: De grens $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; waarden daaronder zijn uitschieters
Bovengrens: De grens $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; waarden daarboven zijn uitschieters
1,5 × IQR-regel: Een methode om uitschieters te vinden: leg grenzen op 1,5 IQR onder $Q_1$ en 1,5 IQR boven $Q_3$
Robuuste maat: Een maat die heel weinig verandert als er een uitschieter bijkomt, zoals de mediaan en de IQR

Formulekaart

Interkwartielafstand

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

De spreiding van de middelste 50% van de gegevens

Ondergrens

Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

Waarden onder de ondergrens zijn uitschieters

Bovengrens

Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Waarden boven de bovengrens zijn uitschieters

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Uitschieters herkennen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

De 1,5 × IQR-regel

Zo vind je uitschieters

Uitschieters in een boxplot

Waarom uitschieters belangrijk zijn

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Fraude met bankpassen opsporen

Kwaliteitscontrole in een fabriek

Een gewoon salaris noemen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Interkwartielafstand

Ondergrens

Bovengrens

Meer over dit onderwerp

Spreidingsbreedte en interkwartielafstand

Standaardafwijking

Standaardafwijking berekenen