Einführung in lineare Funktionen

Lerne, was lineare Funktionen sind, wie man sie erkennt und wie sie Geraden im Koordinatensystem bilden.

Mittelstufe25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Sie kann in der Form geschrieben werden:
y=mx+by = mx + b
Dabei ist:
  • mm die Steigung (wie steil die Gerade ist)
  • bb der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet)
  • xx die Eingabe (unabhängige Variable)
  • yy die Ausgabe (abhängige Variable)
Das Hauptmerkmal einer linearen Funktion ist die konstante Änderungsrate - bei jeder Erhöhung von xx um eine Einheit ändert sich yy um den gleichen Betrag (mm).

Probier es gleich aus

Welche der folgenden ist eine lineare Funktion?

Lösungsbeispiele

Ist y=3x−2y = 3x - 2 eine lineare Funktion?
1

Form überprüfen

Vergleiche mit y=mx+by = mx + b → Es entspricht dem Muster
2

Steigung bestimmen

Der Koeffizient von xx ist 33 → m=3m = 3
3

y-Achsenabschnitt bestimmen

Der konstante Term ist −2-2 → b=−2b = -2
4

Linearität überprüfen

Kein Exponent bei xx, kein xx im Nenner → Sie ist linear

Häufige Fehler

Denken, dass y=x2y = x^2 linear ist, weil es ein xx enthält

Warum es falsch ist: Der Exponent ist entscheidend! x2x^2 bedeutet xx mal sich selbst, was eine Kurve erzeugt, keine Gerade.

Richtig: Lineare Funktionen haben xx nur in der ersten Potenz. Prüfe, dass kein x2x^2, x3x^3, x\sqrt{x} oder 1x\frac{1}{x} vorkommt.

Steigung und y-Achsenabschnitt in y=mx+by = mx + b verwechseln

Warum es falsch ist: Es ist leicht, sie zu vertauschen. Die Steigung (mm) ist der Koeffizient von xx, während bb der konstante Term ist.

Richtig: In y=3x+5y = 3x + 5 ist die Steigung 33 (multipliziert xx) und der y-Achsenabschnitt ist 55 (steht allein).

Denken, dass y=5y = 5 keine lineare Funktion ist

Warum es falsch ist: Dies ist eigentlich y=0x+5y = 0x + 5, eine waagerechte Gerade mit Steigung 00.

Richtig: y=5y = 5 ist linear - ein Spezialfall mit Steigung null. Der Graph ist eine waagerechte Gerade bei y=5y = 5.

Interaktive Visualisierung

Lineare Funktion erkunden

y = 2x + 1
Steigung (m)2
Y-Achsenabschnitt (b)1
b
Lauf
Anstieg
xy
-2-3
-1-1
01
13
25

Funktionsgraph

Zeichne diese Punkte ein:

  • (-1 | -1)
  • (0 | 1)
  • (1 | 3)
  • (2 | 5)
-3-2-11234-3-2-112345670xy

Tippe ins Gitter, um einen Punkt zu setzen. Tippe ihn noch einmal an, um ihn zu entfernen.Setze mindestens 2 Punkte, dann siehst du die Gerade durch sie.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Welche der folgenden ist eine lineare Funktion?

Warum es wichtig ist

Lineare Funktionen begegnen uns überall im Alltag:
  • Handytarife: Ein Tarif mit 20€ Grundgebühr plus 5 Cent pro SMS ist linear: y=0,05x+20y = 0{,}05x + 20
  • Entfernung und Zeit: Fahren mit konstanten 60 km/h erzeugt einen linearen Zusammenhang: s=60ts = 60t
  • Temperaturumrechnung: Celsius zu Fahrenheit ist linear: F=1,8C+32F = 1{,}8C + 32
  • Wirtschaft: Die Kosten eines Unternehmens umfassen oft Fixkosten plus variable Kosten pro Stück
Das Verstehen linearer Funktionen hilft dir, Ergebnisse vorherzusagen, Optionen zu vergleichen und bessere Entscheidungen zu treffen!

Anwendungen im echten Leben

Handytarife

Viele Handytarife haben eine Grundgebühr plus einen Preis pro Nutzung, was eine lineare Funktion ergibt.

Beispiel:

Ein Tarif kostet 25€ monatlich plus 10 Cent pro Minute über dem Limit. Wenn xx die Extraminuten sind, dann gilt y=0,10x+25y = 0{,}10x + 25.

1Probiere es selbst

Ein Handytarif berechnet 30€ pro Monat plus 5 Cent pro SMS.

Wie viel kosten 100 SMS in einem Monat?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Funktion als y=mx+by = mx + b und setze ein:

Entfernung und Geschwindigkeit

Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Entfernung eine lineare Funktion der Zeit.

Beispiel:

Fahren mit 50 km/h: s=50ts = 50t, wobei ss die Entfernung in km und tt die Zeit in Stunden ist.

2Probiere es selbst

Ein Radfahrer fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 15 km/h.

Wie weit kommt er in 3 Stunden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende s=15ts = 15t:

Verdienst und Arbeitsstunden

Stundenlöhne erzeugen einen linearen Zusammenhang zwischen Arbeitsstunden und verdientem Geld.

Beispiel:

12€ pro Stunde verdienen: y=12xy = 12x, wobei xx die Stunden und yy der Verdienst in Euro ist.

3Probiere es selbst

Ein Student verdient 15€ pro Stunde beim Nachhilfeunterricht, plus einen 20€ Bonus für jeden neuen Schüler.

Wie viel hat er verdient, wenn er 4 Stunden für einen neuen Schüler gearbeitet hat?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne den Verdienst:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Eine lineare Funktion hat die Form y=mx+by = mx + b, wobei mm die Steigung und bb der y-Achsenabschnitt ist
  • 2Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade
  • 3Lineare Funktionen haben eine konstante Änderungsrate - wenn xx um 1 steigt, ändert sich yy immer um mm
  • 4Um eine lineare Funktion zu erkennen, prüfe, dass xx keinen anderen Exponenten als 1 hat und nicht im Nenner oder unter einer Wurzel steht

Häufig gestellte Fragen

Eine Funktion ist linear, wenn ihr Graph eine Gerade ist. Mathematisch bedeutet das, dass die Gleichung als y=mx+by = mx + b geschrieben werden kann, ohne Exponenten bei Variablen, ohne Variablen im Nenner und ohne Variablen unter Wurzeln.
Eine Funktion ist linear, wenn ihr Graph eine Gerade ist. Mathematisch bedeutet das, dass die Gleichung als y=mx+by = mx + b geschrieben werden kann, ohne Exponenten bei Variablen, ohne Variablen im Nenner und ohne Variablen unter Wurzeln.
Ja! Eine Steigung von 0 ergibt eine waagerechte Gerade (y=by = b). Eine negative Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts fällt (wie ein Skihang).
Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen, etwa 2x+y=72x + y = 7, hat eine Gerade als Graphen. Wenn du sie nach yy auflöst, erhältst du eine lineare Funktion: hier y=−2x+7y = -2x + 7. Eine senkrechte Gerade wie x=3x = 3 ist eine lineare Gleichung, aber keine Funktion, weil der eine Eingabewert x=3x = 3 viele Ausgabewerte hat.

Glossar

Lineare Funktion
Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, geschrieben als y=mx+by = mx + b
Steigung
Die Änderungsrate einer Geraden, dargestellt durch mm in y=mx+by = mx + b. Sie misst die Steilheit.
Y-Achsenabschnitt
Der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet, dargestellt durch bb in y=mx+by = mx + b
Änderungsrate
Wie stark sich die Ausgabe (yy) bei jeder Einheitsänderung der Eingabe (xx) ändert
Konstante Änderungsrate
Wenn die Änderungsrate zwischen zwei beliebigen Punkten gleich ist - das definierende Merkmal linearer Funktionen
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Steigungsform (y = mx + b)

Fortgeschritten20 Min

Die Steigung verstehen

Mittelstufe25 Min

Punkt-Steigungs-Form

Mittelstufe25 Min

Allgemeine Form linearer Gleichungen

Mittelstufe25 Min