Die Steigung verstehen

Lerne, was die Steigung bedeutet, wie man sie berechnet und warum sie für lineare Zusammenhänge wichtig ist.

Mittelstufe25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die Steigung misst, wie steil eine Gerade ist. Sie gibt an, wie stark eine Linie steigt oder fällt, wenn wir von links nach rechts gehen.
Die Steigung wird berechnet als:
Steigung=Ho¨hena¨nderunghorizontale A¨nderung=y2−y1x2−x1\text{Steigung} = \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Wir verwenden oft den Buchstaben mm für die Steigung:
m=ΔyΔxm = \frac{\Delta y}{\Delta x}
wobei Δ\Delta (Delta) "Änderung von" bedeutet.

Probier es gleich aus

Was misst die Steigung?

Lösungsbeispiele

Berechne die Steigung der Geraden durch (2,3)(2, 3) und (5,9)(5, 9).
1

Koordinaten identifizieren

(x1,y1)=(2,3)(x_1, y_1) = (2, 3) und (x2,y2)=(5,9)(x_2, y_2) = (5, 9) → Punkte beschriftet
2

Höhenänderung berechnen (Änderung in y)

y2−y1=9−3=6y_2 - y_1 = 9 - 3 = 6 → Höhenänderung = 6
3

Horizontale Änderung berechnen (Änderung in x)

x2−x1=5−2=3x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3 → Horizontale Änderung = 3
4

Steigung berechnen

m=Ho¨hena¨nderunghorizontale A¨nderung=63=2m = \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}} = \frac{6}{3} = 2 → m=2m = 2

Häufige Fehler

Höhenänderung und horizontale Änderung in der Formel vertauschen

Warum es falsch ist: Schüler berechnen manchmal horizontale A¨nderungHo¨hena¨nderung\frac{\text{horizontale Änderung}}{\text{Höhenänderung}} statt Ho¨hena¨nderunghorizontale A¨nderung\frac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}}.

Richtig: Merke: Steigung = Ho¨hena¨nderunghorizontale A¨nderung\frac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}} = y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Die y-Werte stehen oben!

Koordinaten in unterschiedlicher Reihenfolge subtrahieren

Warum es falsch ist: (y2−y1)(y_2 - y_1) verwenden, aber (x1−x2)(x_1 - x_2) ergibt das falsche Vorzeichen.

Richtig: Immer in der gleichen Reihenfolge subtrahieren: wenn du y2−y1y_2 - y_1 rechnest, musst du auch x2−x1x_2 - x_1 rechnen.

Sagen, dass vertikale Geraden Steigung = 0 haben

Warum es falsch ist: Verwechslung von "keine Steigung" mit "Steigung null".

Richtig: Horizontale Geraden haben Steigung = 0. Vertikale Geraden haben eine undefinierte Steigung (Division durch null nicht möglich).

Das negative Vorzeichen vergessen

Warum es falsch ist: Nicht bemerken, wenn die Gerade abfällt.

Richtig: Wenn die Gerade von links nach rechts fällt, ist die Steigung negativ. Überprüfe immer das Vorzeichen!

Interaktive Visualisierung

Lineare Funktion erkunden

y = x
Steigung (m)1
Y-Achsenabschnitt (b)0
b
Lauf
Anstieg
xy
-2-2
-1-1
00
11
22

Funktionsgraph

024680510xy(2 | 3)(5 | 9)Δx = 3Δy = 6

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = 2x - 1
  • Steigung von (2 | 3) – (5 | 9): m = 6/3 = 2

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was misst die Steigung?

Warum es wichtig ist

Die Steigung begegnet uns überall im Alltag:
  • Straßen: Eine Straße mit 6% Steigung steigt 6 Meter auf 100 Meter Strecke
  • Rampen: Rollstuhlrampen dürfen höchstens eine Steigung von 112\frac{1}{12} haben
  • Wirtschaft: Die Steigung eines Kostengraphen zeigt den Preis pro Einheit
  • Physik: Die Geschwindigkeit ist die Steigung im Zeit-Weg-Diagramm
Die Steigung zu verstehen hilft dir, Graphen zu interpretieren, Trends vorherzusagen und reale Probleme zu lösen!

Anwendungen im echten Leben

Straßensteigung und Autobahnen

Verkehrsschilder zeigen die Steigung in Prozent an, also die Höhenänderung pro 100 Einheiten horizontaler Strecke.

Beispiel:

Eine 7%-Steigung bedeutet, dass die Straße 7 Meter auf 100 Meter horizontaler Strecke steigt: Steigung = 7100=0,07\frac{7}{100} = 0{,}07

1Probiere es selbst

Eine Bergstraße hat eine Steigung von 12%. Ein Radfahrer fährt 500 Meter horizontal.

Wie viele Höhenmeter hat der Radfahrer überwunden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

12% bedeutet Höhenänderung = 0,12 mal horizontale Strecke:

Handy-Datenverbrauch

Dein Handytarif berechnet einen konstanten Preis pro Gigabyte. Die Steigung deines Rechnungsgraphen ist der Preis pro GB.

Beispiel:

Wenn deine Rechnung von 20€ auf 35€ steigt, wenn du 3 GB mehr verbrauchst, ist die Steigung 35−203=5\frac{35-20}{3} = 5€ pro GB.

2Probiere es selbst

Bei 2 GB Verbrauch beträgt deine Rechnung 15€. Bei 6 GB sind es 35€.

Wie hoch sind die Kosten pro Gigabyte?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne die Steigung: Kostena¨nderungDatena¨nderung\frac{\text{Kostenänderung}}{\text{Datenänderung}}

Ein Schwimmbecken füllen

Wenn ein Becken mit konstanter Geschwindigkeit gefüllt wird, zeigt die Steigung des Wasserstandsgraphen die Füllrate in Zentimetern pro Minute.

Beispiel:

Wenn der Wasserstand in 20 Minuten von 50 cm auf 90 cm steigt, ist die Steigung 4020=2\frac{40}{20} = 2 cm pro Minute.

3Probiere es selbst

Ein Becken startet bei 30 cm Wasserstand. Nach 45 Minuten steht es bei 120 cm.

Wie schnell füllt sich das Becken (cm pro Minute)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Steigung = Wasserstandsa¨nderungZeit\frac{\text{Wasserstandsänderung}}{\text{Zeit}}

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die Steigung misst die Steilheit: m=Ho¨hena¨nderunghorizontale A¨nderung=y2−y1x2−x1m = \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • 2Positive Steigung: die Gerade steigt von links nach rechts
  • 3Negative Steigung: die Gerade fällt von links nach rechts
  • 4Steigung null: horizontale Gerade (keine Höhenänderung)
  • 5Undefinierte Steigung: vertikale Gerade (keine horizontale Änderung, Division durch null)
  • 6Die Steigung repräsentiert die Änderungsrate in realen Situationen

Häufig gestellte Fragen

Nein! Du kannst jeden der beiden Punkte als Punkt 1 wählen. Sei nur konsequent: subtrahiere in der gleichen Reihenfolge für x und y.
Nein! Du kannst jeden der beiden Punkte als Punkt 1 wählen. Sei nur konsequent: subtrahiere in der gleichen Reihenfolge für x und y.
Das ist völlig in Ordnung! Eine Steigung von 23\frac{2}{3} bedeutet "2 nach oben, 3 nach rechts". Du kannst es als Bruch lassen oder in eine Dezimalzahl umwandeln (etwa 0,67).
Das hängt vom Kontext ab! Ein steilerer Hügel ist schwerer zu erklimmen. Eine steilere Sparrate bedeutet, dass du schneller sparst. Interpretiere die Steigung basierend auf dem, was der Graph darstellt.

Glossar

Steigung
Ein Maß dafür, wie steil eine Gerade ist, berechnet als Höhenänderung geteilt durch horizontale Änderung
Höhenänderung
Die vertikale Änderung zwischen zwei Punkten (Änderung in y)
Horizontale Änderung
Die horizontale Änderung zwischen zwei Punkten (Änderung in x)
Änderungsrate
Wie schnell sich eine Größe relativ zu einer anderen ändert; die Steigung ist eine Änderungsrate
Positive Steigung
Eine Gerade, die von links nach rechts ansteigt
Negative Steigung
Eine Gerade, die von links nach rechts abfällt
Steigung null
Eine horizontale Gerade, bei der die Höhenänderung null ist
Undefinierte Steigung
Eine vertikale Gerade, bei der die horizontale Änderung null ist (Division durch null nicht möglich)

Formelkarte

Steigung (Höhenänderung/horizontale Änderung)

m=Ho¨hena¨nderunghorizontale A¨nderungm = \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}}

Steigung gleich vertikale Änderung geteilt durch horizontale Änderung

Steigung (Koordinatenform)

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Berechne die Steigung mit zwei Punkten auf der Geraden

Steigung (Delta-Notation)

m=ΔyΔxm = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Delta bedeutet Änderung von; dies ist dasselbe wie Höhenänderung durch horizontale Änderung

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einführung in lineare Funktionen

Mittelstufe25 Min

Steigungsform (y = mx + b)

Fortgeschritten20 Min

Punkt-Steigungs-Form

Mittelstufe25 Min

Allgemeine Form linearer Gleichungen

Mittelstufe25 Min