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Leitfaden für Lehrer: Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen

Lerne, wie man positive und negative Zahlen mit Zahlenstrahl-Strategien und Regeln addiert und subtrahiert.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Negative Zahlen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Zwei ganze Zahlen mit gleichem Vorzeichen addieren
  • Zwei ganze Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen addieren
  • Ganze Zahlen subtrahieren, indem man die Gegenzahl addiert
  • Operationen mit ganzen Zahlen auf Alltagssituationen anwenden
  • Erklären, warum das Subtrahieren einer negativen Zahl eine Addition ergibt
Voraussetzungen
  • • Verständnis von positiven und negativen Zahlen
  • • Fähigkeit, ganze Zahlen auf einem Zahlenstrahl zu lokalisieren
  • • Kenntnis des Betrags (Absolutwerts)
  • • Vergleichen von ganzen Zahlen mit Ungleichheitszeichen
Diskussionsstarter
  • 1. Warum fühlt sich 'eine negative Zahl subtrahieren' zunächst kontraintuitiv an? Wie können wir es verständlich machen?
  • 2. Kannst du dir eine Situation vorstellen, in der du zwei negative Zahlen addieren müsstest?
  • 3. Wenn jemand sagt 'zwei Minuszeichen ergeben ein Plus', stimmt das immer? Wann gilt diese Regel?
  • 4. Wie würdest du 5−8=−35 - 8 = -3 einem jüngeren Schüler anhand einer Geschichte erklären?
Häufige Missverständnisse

Denken, dass 'zwei Minuszeichen immer ein Plus ergeben'

Abhilfe: Erkläre, dass diese Regel nur beim Multiplizieren oder Dividieren gilt, oder beim Subtrahieren einer negativen Zahl. (−3)+(−5)=−8(-3) + (-5) = -8, nicht positiv!

Verwechseln des Rechenzeichens mit dem Vorzeichen der Zahl

Abhilfe: Verwende konsequent Klammern. Schreibe 5+(−3)5 + (-3) nicht 5+−35 + -3. Zeige, dass das ++ die Operation ist und −3-3 eine negative Zahl.

Vergessen, die Vorzeichenregel beim Subtrahieren anzuwenden

Abhilfe: Wandle immer zuerst in Addition um. Übe: 'Behalten, Ändern, Ändern' - behalte die erste Zahl, ändere Subtraktion zu Addition, ändere das Vorzeichen der zweiten Zahl.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Verwende physische Zahlenstrahlen und Zähler/Chips
  • • Beginne nur mit einstelligen ganzen Zahlen
  • • Konzentriere dich auf eine Regel nach der anderen (zuerst gleiche Vorzeichen, dann verschiedene)
  • • Verwende die 'BAÄ'-Methode: Behalten-Ändern-Ändern für Subtraktion

Für Schüler auf Niveau:

  • • Arbeite mit zweistelligen ganzen Zahlen
  • • Löse mehrstufige Aufgaben mit gemischten Operationen
  • • Erstelle eigene Alltagsszenarien
  • • Übe ohne Zahlenstrahl-Unterstützung

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Arbeite mit drei oder mehr ganzen Zahlen in einem Ausdruck
  • • Erkunde Operationen mit ganzen Zahlen und Dezimalzahlen
  • • Löse Gleichungen mit Addition/Subtraktion ganzer Zahlen
  • • Untersuche Muster in Summen ganzer Zahlen
Standardausrichtung
  • 7.NS.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.1)

    Frühere Kenntnisse zur Addition und Subtraktion anwenden und erweitern, um rationale Zahlen zu addieren und subtrahieren

  • 7.NS.A.1.B (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.1.B)

    Verstehen, dass p + q die Zahl ist, die eine Entfernung |q| von p entfernt liegt, in positiver oder negativer Richtung

  • 7.NS.A.1.C (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.1.C)

    Verstehen, dass Subtraktion rationaler Zahlen das Addieren des additiven Inversen bedeutet, p - q = p + (-q)

Lektionsressourcen
  • visualInteraktiver Zahlenstrahl

    Schüler üben das Bewegen nach links (subtrahieren) und rechts (addieren)

  • activityGanzzahl-Chip-Modell

    Verwende zweifarbige Chips, um Addition und Subtraktion zu modellieren

  • gameKartenspiel: Ganzzahl-Krieg

    Schüler ziehen Karten und berechnen Summen/Differenzen

  • worksheetPraxisnahe Ganzzahl-Aufgaben

    Temperatur-, Höhen- und Geldszenarien

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ganze Zahlen addieren bedeutet, positive und negative Zahlen zu kombinieren. Ganze Zahlen subtrahieren bedeutet, die Differenz zu finden, was wir als Addition der Gegenzahl umschreiben können.
Der Betrag ∣a∣|a| ist der Abstand von aa zu null: ∣−5∣=5|-5| = 5 und ∣5∣=5|5| = 5.

Wichtige Regeln

Addieren von ganzen Zahlen

  • Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge, behalte das Vorzeichen
  • 5+3=85 + 3 = 8 (beide positiv)
  • (−5)+(−3)=−8(-5) + (-3) = -8 (beide negativ)
  • Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren, behalte das Vorzeichen des größeren
  • 5+(−3)=25 + (-3) = 2 (positiv gewinnt)
  • (−5)+3=−2(-5) + 3 = -2 (negativ gewinnt)

Subtrahieren von ganzen Zahlen

  • Subtrahieren ist Addieren der Gegenzahl: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
  • 5−3=5+(−3)=25 - 3 = 5 + (-3) = 2
  • 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8
  • (−5)−3=(−5)+(−3)=−8(-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8

Lösungsbeispiele

Berechne (−4)+(−7)(-4) + (-7)
1

Bestimme die Vorzeichen

Beide Zahlen sind negativ → Gleiche Vorzeichen
2

Addiere die Beträge

∣−4∣+∣−7∣=4+7=11|-4| + |-7| = 4 + 7 = 11 → Summe ist 11
3

Wende das gemeinsame Vorzeichen an

Beide negativ, also ist das Ergebnis negativ → −11-11

Häufige Fehler

Denken, dass 5−(−3)=25 - (-3) = 2 statt 88 ist

Warum es falsch ist: Vergessen, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl das Addieren ihrer Gegenzahl bedeutet: Rechenzeichen minus und Vorzeichen minus werden zusammen zu einem Plus.

Richtig: 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8. Subtrahieren von −3-3 ist dasselbe wie Addieren von 33.

(−4)+(−6)=−2(-4) + (-6) = -2 statt −10-10 schreiben

Warum es falsch ist: Fälschlicherweise subtrahieren statt addieren, wenn beide Zahlen negativ sind.

Richtig: Gleiche Vorzeichen bedeutet ADDIERE die Beträge: 4+6=104 + 6 = 10, dann behalte das Minuszeichen: −10-10.

Das falsche Vorzeichen beim Subtrahieren bekommen, z.B. 3−8=53 - 8 = 5

Warum es falsch ist: Vergessen zu prüfen, welche Zahl den größeren Betrag hat.

Richtig: 3−8=3+(−8)=−53 - 8 = 3 + (-8) = -5, weil 8>38 > 3 und wir das negative Vorzeichen behalten.

Verwechseln von −5+3-5 + 3 mit −5−3-5 - 3

Warum es falsch ist: Das Rechenzeichen nicht sorgfältig lesen.

Richtig: −5+3=−2-5 + 3 = -2 (nach rechts auf dem Zahlenstrahl), aber −5−3=−8-5 - 3 = -8 (nach links).

Warum es wichtig ist

Operationen mit ganzen Zahlen sind im Alltag unverzichtbar:
  • Temperaturänderungen: Wenn es −3°C-3°C sind und es um 5 Grad kälter wird: −3+(−5)=−8°C-3 + (-5) = -8°C
  • Geld und Schulden: Du schuldest 50€ und leihst dir weitere 30€: (−50)+(−30)=−80(-50) + (-30) = -80, also 80€ Schulden
  • Aufzüge: Von Etage 2 fünf Stockwerke nach unten: 2+(−5)=−32 + (-5) = -3 (Untergeschoss 3)
  • American Football: Ein Team gewinnt 8 Yards, verliert dann 12: 8+(−12)=−48 + (-12) = -4 Yards insgesamt
Das Verständnis dieser Operationen ist die Grundlage für Algebra!

Anwendungen im echten Leben

Banktransaktionen

Banken verwenden Operationen mit ganzen Zahlen, um Einzahlungen (positiv) und Abhebungen (negativ) zu verfolgen.

Beispiel:

Wenn auf deinem Konto 120€ sind, du 85€ abhebst und dann 40€ einzahlst: 120+(−85)+40=75120 + (-85) + 40 = 75€.

1Probiere es selbst

Dein Bankkonto zeigt −45-45€ an (Überziehung). Du zahlst 80€ ein.

Was ist dein neuer Kontostand?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: −45+80-45 + 80

Höhe und Tiefe

Piloten und Taucher verwenden ganze Zahlen, um die Höhe über dem Meeresspiegel (positiv) oder die Tiefe darunter (negativ) zu verfolgen.

Beispiel:

Ein U-Boot bei −80-80 Metern taucht 25 Meter tiefer: −80+(−25)=−105-80 + (-25) = -105 Meter.

2Probiere es selbst

Ein U-Boot befindet sich bei −120-120 Metern. Es steigt 75 Meter zur Oberfläche auf.

Was ist die neue Tiefe?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: −120+75-120 + 75

Spielpunkte

Viele Spiele verfolgen Gewinne und Verluste als positive und negative Punkte.

Beispiel:

In einem Quiz-Spiel gewinnst du 50 Punkte, verlierst 30, dann gewinnst du 45: 50+(−30)+45=6550 + (-30) + 45 = 65 Punkte.

3Probiere es selbst

Dein Spielstand ist −15-15 Punkte (im Negativen). Du antwortest richtig und bekommst 40 Punkte, dann falsch und verlierst 10.

Was ist dein Endstand?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: −15+40+(−10)-15 + 40 + (-10)

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge und behalte das gemeinsame Vorzeichen (−4+(−3)=−7-4 + (-3) = -7)
  • 2Verschiedene Vorzeichen: Subtrahiere die Beträge und behalte das Vorzeichen des größeren (−4+7=3-4 + 7 = 3)
  • 3Subtrahieren = Addieren der Gegenzahl: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
  • 4Doppeltes Minus: a−(−b)=a+ba - (-b) = a + b
  • 5Benutze einen Zahlenstrahl: rechts ist positiv, links ist negativ

Häufig gestellte Fragen

Warum ergibt Subtrahieren einer negativen Zahl etwas Positives?

Stell dir vor, du entfernst eine Schuld. Wenn du 5€ schuldest (−5-5) und jemand diese Schuld streicht (subtrahiert −5-5), gewinnst du 5€. 0−(−5)=0+5=50 - (-5) = 0 + 5 = 5. Negativ subtrahieren = positiv addieren!

Woher weiß ich, welches Vorzeichen die Antwort haben wird?

Bei Addition mit verschiedenen Vorzeichen hat die Antwort das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. −8+5=−3-8 + 5 = -3, weil ∣−8∣=8>5=∣5∣|-8| = 8 > 5 = |5|, also ist die Antwort negativ.

Gibt es einen schnellen Trick für das Subtrahieren von ganzen Zahlen?

Ja! Wandle die Subtraktion in eine Addition um und ändere das Vorzeichen der zweiten Zahl. Dann folge den Additionsregeln. Beispiel: 7−(−3)7 - (-3) wird zu 7+3=107 + 3 = 10.

Glossar

Ganze Zahl
Eine Zahl ohne Dezimalstellen, die positiv, negativ oder null sein kann (z.B. −5-5, 00, 1212)
Betrag (Absolutwert)
Der Abstand einer Zahl von null, nie negativ (z.B. ∣−7∣=7|-7| = 7, ∣0∣=0|0| = 0)
Gegenzahl
Eine Zahl, die den gleichen Abstand von null hat, aber auf der anderen Seite liegt (z.B. Gegenzahl von −3-3 ist 33)
Additives Inverses
Ein anderer Name für die Gegenzahl; eine Zahl plus ihr additives Inverses ergibt null (5+(−5)=05 + (-5) = 0)

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