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Leitfaden für Lehrer: Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen

Lerne die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division positiver und negativer Zahlen.

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Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Negative Zahlen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Vorzeichenregeln anwenden, um Ganzzahlen korrekt zu multiplizieren
  • Vorzeichenregeln anwenden, um Ganzzahlen korrekt zu dividieren
  • Das Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten vor der Berechnung bestimmen
  • Reale Probleme lösen, die Ganzzahl-Multiplikation und -Division beinhalten
Voraussetzungen
  • • Verständnis von negativen Zahlen und dem Zahlenstrahl
  • • Addition und Subtraktion von Ganzzahlen
  • • Grundlegende Multiplikations- und Divisionskenntnisse
Diskussionsstarter
  • 1. Warum haben Mathematiker wohl entschieden, dass negativ mal negativ positiv sein sollte?
  • 2. Kannst du dir eine reale Situation vorstellen, in der du eine negative Zahl mit einer negativen multiplizierst?
  • 3. Welche Muster bemerkst du, wenn du drei oder mehr negative Zahlen multiplizierst?
  • 4. Wie kannst du schnell feststellen, ob ein Produkt mehrerer Ganzzahlen positiv oder negativ sein wird?
Häufige Missverständnisse

Zwei negative Zahlen ergeben immer eine positive

Abhilfe: Kläre, dass dies nur für Multiplikation und Division gilt, NICHT für Addition. (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7 ist immer noch negativ!

Divisionsregeln für Vorzeichen unterscheiden sich von der Multiplikation

Abhilfe: Betone, dass dieselben Vorzeichenregeln für beide Operationen gelten. Erstelle eine einheitliche Vorzeichenregel-Tabelle.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Verwende Farbcodierung: grün für positive Ergebnisse, rot für negative
  • • Beginne nur mit einstelligen Ganzzahlen
  • • Stelle für jede Aufgabe eine Vorzeichenregel-Referenzkarte bereit

Für Schüler auf Niveau:

  • • Füge gemischte Multiplikations- und Divisionsaufgaben hinzu
  • • Ergänze Textaufgaben mit Temperatur- und Geldkontexten
  • • Übe mit Produkten aus zwei und drei Ganzzahlen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Erkunde Muster mit längeren Multiplikationsketten
  • • Führe Division mit Rest ein
  • • Fordere mit algebraischen Ausdrücken mit Variablen heraus
Standardausrichtung
  • 7.NS.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2)

    Bisherige Kenntnisse der Multiplikation und Division sowie von Brüchen anwenden und erweitern, um rationale Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren

  • 7.NS.A.2a (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2a)

    Verstehen, dass die Multiplikation von Brüchen auf rationale Zahlen erweitert wird, indem die Eigenschaften der Operationen weiterhin erfüllt werden

Lektionsressourcen
  • visualVorzeichenregel-Tabelle

    Farbcodierte Übersicht aller Vorzeichenkombinationen

  • activityGanzzahl-Produkt-Spiel

    Ordne Ausdrücke ihren korrekten Produkten zu

  • worksheetTemperatur-Textaufgaben

    Wende Ganzzahl-Operationen auf reale Szenarien an

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Beim Multiplizieren oder Dividieren von ganzen Zahlen hängt das Vorzeichen des Ergebnisses von den Vorzeichen der beteiligten Zahlen ab.
Die Vorzeichenregeln:
OperationErgebnis
(+)×(+)(+) \times (+)Positiv
(−)×(−)(-) \times (-)Positiv
(+)×(−)(+) \times (-)Negativ
(−)×(+)(-) \times (+)Negativ
Dieselben Regeln gelten für die Division!
Einfache Regel:
  • Gleiche Vorzeichen → Positives Ergebnis
  • Verschiedene Vorzeichen → Negatives Ergebnis
(−3)×(−4)=12(gleiche Vorzeichen = positiv)(-3) \times (-4) = 12 \quad \text{(gleiche Vorzeichen = positiv)}
(−3)×4=−12(verschiedene Vorzeichen = negativ)(-3) \times 4 = -12 \quad \text{(verschiedene Vorzeichen = negativ)}

Lösungsbeispiele

Berechne: (−6)×(−4)(-6) \times (-4)
1

Bestimme die Vorzeichen

Beide Zahlen sind negativ: (−6)(-6) und (−4)(-4) → Gleiche Vorzeichen
2

Wende die Vorzeichenregel an

Gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis → Ergebnis wird positiv
3

Multipliziere die Beträge

6×4=246 \times 4 = 24
4

Wende das Vorzeichen an

Positives Ergebnis → +24+24

Häufige Fehler

Denken, dass (−3)×(−4)=−12(-3) \times (-4) = -12 ist

Warum es falsch ist: Schüler vergessen, dass die Multiplikation zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis liefert.

Richtig: Gleiche Vorzeichen → positiv: (−3)×(−4)=+12(-3) \times (-4) = +12

Verwechseln von (−5)×3(-5) \times 3 mit 5×(−3)5 \times (-3)

Warum es falsch ist: Beide ergeben das gleiche Ergebnis! Verschiedene Vorzeichen → negativ in beiden Fällen.

Richtig: (−5)×3=−15(-5) \times 3 = -15 und 5×(−3)=−155 \times (-3) = -15. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Das Vorzeichen vergessen, wenn das Ergebnis positiv ist

Warum es falsch ist: Wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden, schreiben Schüler aus Gewohnheit oft −12-12.

Richtig: Immer prüfen: gleiche Vorzeichen = positiv, verschiedene Vorzeichen = negativ.

Warum es wichtig ist

Das Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen kommt überall vor:
  • Temperaturänderungen: Wenn die Temperatur pro Stunde um 3 Grad sinkt, beträgt die Änderung nach 5 Stunden (−3)×5=−15(-3) \times 5 = -15 Grad
  • Finanzen: Eine monatliche Schuldenzahlung von 200€ über 6 Monate bedeutet (−200)×6=−1200€(-200) \times 6 = -1200€ insgesamt
  • Gaming: 5 Punkte Verlust pro falscher Antwort bei 4 Fragen ergibt (−5)×4=−20(-5) \times 4 = -20 Punkte
  • Höhenänderung: 10 Meter Abstieg pro Minute über 8 Minuten bedeutet (−10)×8=−80(-10) \times 8 = -80 Meter
Diese Operationen helfen uns, wiederholte Gewinne oder Verluste genau zu berechnen!

Anwendungen im echten Leben

Temperaturänderungen über die Zeit

Meteorologen berechnen Temperaturänderungen mit Ganzzahl-Multiplikation.

Beispiel:

Wenn die Temperatur jede Stunde um 2 Grad sinkt, beträgt die Änderung nach 6 Stunden (−2)×6=−12(-2) \times 6 = -12 Grad.

1Probiere es selbst

Ein Gefrierschrank kühlt Lebensmittel, indem er alle 10 Minuten um 5 Grad abkühlt. Wie stark ändert sich die Temperatur in 40 Minuten?

Wie groß ist die gesamte Temperaturänderung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: (−5)×(-5) \times Anzahl der 10-Minuten-Perioden

Börsenveränderungen

Investoren verfolgen tägliche Gewinne und Verluste über mehrere Tage.

Beispiel:

Eine Aktie verliert 3€ pro Tag über 5 Tage: (−3)×5=−15€(-3) \times 5 = -15€ Gesamtverlust.

2Probiere es selbst

Ein Investor macht einen schlechten Handel rückgängig. Er hebt einen Verlust von 8€ auf, der 3 Mal aufgetreten ist. Was ist der Nettoeffekt?

Wie groß ist die Gesamtänderung beim Rückgängigmachen dieser Verluste?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Rückgängig machen eines Verlusts ist wie: (−1)×(−8)×3(-1) \times (-8) \times 3

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Gleiche Vorzeichen (beide positiv oder beide negativ) → positives Ergebnis
  • 2Verschiedene Vorzeichen (eines positiv, eines negativ) → negatives Ergebnis
  • 3Diese Regeln gelten sowohl für Multiplikation ALS AUCH für Division
  • 4Bei der Multiplikation mehrerer Ganzzahlen: ungerade Anzahl von Minuszeichen → negativ, gerade → positiv
  • 5Berechne immer zuerst mit den Beträgen, dann wende die Vorzeichenregel an

Häufig gestellte Fragen

Warum ergibt negativ mal negativ positiv?

Stell es dir als Umkehrung einer Umkehrung vor. Wenn Rückwärtsgehen (−-) negativ ist, dann bedeutet Rückwärtsgehen während man rückwärts schaut (−×−- \times -), dass man tatsächlich vorwärts geht (positiv)!

Spielt die Reihenfolge beim Multiplizieren von Ganzzahlen eine Rolle?

Nein! Multiplikation ist kommutativ. (−3)×5=5×(−3)=−15(-3) \times 5 = 5 \times (-3) = -15. Die Vorzeichenregeln geben in jedem Fall das gleiche Ergebnis.

Was ist mit Null?

Null mal jede Ganzzahl ist Null: 0×(−5)=00 \times (-5) = 0. Null hat kein Vorzeichen, also ist das Ergebnis einfach 00.

Glossar

Ganze Zahl
Eine Zahl ohne Nachkommastellen, die positiv, negativ oder null sein kann
Betrag
Der Abstand von Null, immer positiv. ∣−7∣=7|-7| = 7
Produkt
Das Ergebnis einer Multiplikation
Quotient
Das Ergebnis einer Division
Vorzeichenregel
Die Regel, die bestimmt, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist, basierend auf den Vorzeichen der Operanden

Formelkarte

Positiv × Positiv

(+)×(+)=+(+) \times (+) = +

Positiv mal positiv ergibt positiv

Negativ × Negativ

(−)×(−)=+(-) \times (-) = +

Negativ mal negativ ergibt positiv

Positiv × Negativ

(+)×(−)=−(+) \times (-) = -

Positiv mal negativ ergibt negativ

Negativ × Positiv

(−)×(+)=−(-) \times (+) = -

Negativ mal positiv ergibt negativ

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