Leitfaden für Lehrer: Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen

Lerne die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division positiver und negativer Zahlen.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Negative Zahlen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Vorzeichenregeln anwenden, um Ganzzahlen korrekt zu multiplizieren
Vorzeichenregeln anwenden, um Ganzzahlen korrekt zu dividieren
Das Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten vor der Berechnung bestimmen
Reale Probleme lösen, die Ganzzahl-Multiplikation und -Division beinhalten

Voraussetzungen

• Verständnis von negativen Zahlen und dem Zahlenstrahl
• Addition und Subtraktion von Ganzzahlen
• Grundlegende Multiplikations- und Divisionskenntnisse

Diskussionsstarter

1. Warum haben Mathematiker wohl entschieden, dass negativ mal negativ positiv sein sollte?
2. Kannst du dir eine reale Situation vorstellen, in der du eine negative Zahl mit einer negativen multiplizierst?
3. Welche Muster bemerkst du, wenn du drei oder mehr negative Zahlen multiplizierst?
4. Wie kannst du schnell feststellen, ob ein Produkt mehrerer Ganzzahlen positiv oder negativ sein wird?

Häufige Missverständnisse

Zwei negative Zahlen ergeben immer eine positive

Divisionsregeln für Vorzeichen unterscheiden sich von der Multiplikation

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Verwende Farbcodierung: grün für positive Ergebnisse, rot für negative
• Beginne nur mit einstelligen Ganzzahlen
• Stelle für jede Aufgabe eine Vorzeichenregel-Referenzkarte bereit

Für Schüler auf Niveau:

• Füge gemischte Multiplikations- und Divisionsaufgaben hinzu
• Ergänze Textaufgaben mit Temperatur- und Geldkontexten
• Übe mit Produkten aus zwei und drei Ganzzahlen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Erkunde Muster mit längeren Multiplikationsketten
• Führe Division mit Rest ein
• Fordere mit algebraischen Ausdrücken mit Variablen heraus

Standardausrichtung

7.NS.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2)
Bisherige Kenntnisse der Multiplikation und Division sowie von Brüchen anwenden und erweitern, um rationale Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren
7.NS.A.2a (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2a)
Verstehen, dass die Multiplikation von Brüchen auf rationale Zahlen erweitert wird, indem die Eigenschaften der Operationen weiterhin erfüllt werden

Lektionsressourcen

visualVorzeichenregel-Tabelle
Farbcodierte Übersicht aller Vorzeichenkombinationen
activityGanzzahl-Produkt-Spiel
Ordne Ausdrücke ihren korrekten Produkten zu
worksheetTemperatur-Textaufgaben
Wende Ganzzahl-Operationen auf reale Szenarien an

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Beim Multiplizieren oder Dividieren von ganzen Zahlen hängt das Vorzeichen des Ergebnisses von den Vorzeichen der beteiligten Zahlen ab.

Die Vorzeichenregeln:

Operation	Ergebnis
	Positiv
	Positiv
	Negativ
	Negativ

Dieselben Regeln gelten für die Division!

Einfache Regel:

Gleiche Vorzeichen → Positives Ergebnis
Verschiedene Vorzeichen → Negatives Ergebnis

Lösungsbeispiele

Berechne:

Bestimme die Vorzeichen

Beide Zahlen sind negativ: und → Gleiche Vorzeichen

Wende die Vorzeichenregel an

Gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis → Ergebnis wird positiv

Multipliziere die Beträge

→

Wende das Vorzeichen an

Positives Ergebnis →

Antwort:

Häufige Fehler

Denken, dass ist

Warum es falsch ist: Schüler vergessen, dass die Multiplikation zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis liefert.

Richtig: Gleiche Vorzeichen → positiv:

Verwechseln von mit

Warum es falsch ist: Beide ergeben das gleiche Ergebnis! Verschiedene Vorzeichen → negativ in beiden Fällen.

Richtig: und . Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Das Vorzeichen vergessen, wenn das Ergebnis positiv ist

Warum es falsch ist: Wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden, schreiben Schüler aus Gewohnheit oft .

Richtig: Immer prüfen: gleiche Vorzeichen = positiv, verschiedene Vorzeichen = negativ.

Warum es wichtig ist

Das Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen kommt überall vor:

Temperaturänderungen: Wenn die Temperatur pro Stunde um 3 Grad sinkt, beträgt die Änderung nach 5 Stunden Grad
Finanzen: Eine monatliche Schuldenzahlung von 200€ über 6 Monate bedeutet insgesamt
Gaming: 5 Punkte Verlust pro falscher Antwort bei 4 Fragen ergibt Punkte
Höhenänderung: 10 Meter Abstieg pro Minute über 8 Minuten bedeutet Meter

Diese Operationen helfen uns, wiederholte Gewinne oder Verluste genau zu berechnen!

Anwendungen im echten Leben

Temperaturänderungen über die Zeit

Meteorologen berechnen Temperaturänderungen mit Ganzzahl-Multiplikation.

Beispiel:

Wenn die Temperatur jede Stunde um 2 Grad sinkt, beträgt die Änderung nach 6 Stunden Grad.

1Probiere es selbst

Ein Gefrierschrank kühlt Lebensmittel, indem er alle 10 Minuten um 5 Grad abkühlt. Wie stark ändert sich die Temperatur in 40 Minuten?

Wie groß ist die gesamte Temperaturänderung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: Anzahl der 10-Minuten-Perioden

Börsenveränderungen

Investoren verfolgen tägliche Gewinne und Verluste über mehrere Tage.

Beispiel:

Eine Aktie verliert 3€ pro Tag über 5 Tage: Gesamtverlust.

2Probiere es selbst

Ein Investor macht einen schlechten Handel rückgängig. Er hebt einen Verlust von 8€ auf, der 3 Mal aufgetreten ist. Was ist der Nettoeffekt?

Wie groß ist die Gesamtänderung beim Rückgängigmachen dieser Verluste?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Rückgängig machen eines Verlusts ist wie:

Wichtige Erkenntnisse

1Gleiche Vorzeichen (beide positiv oder beide negativ) → positives Ergebnis
2Verschiedene Vorzeichen (eines positiv, eines negativ) → negatives Ergebnis
3Diese Regeln gelten sowohl für Multiplikation ALS AUCH für Division
4Bei der Multiplikation mehrerer Ganzzahlen: ungerade Anzahl von Minuszeichen → negativ, gerade → positiv
5Berechne immer zuerst mit den Beträgen, dann wende die Vorzeichenregel an

Häufig gestellte Fragen

Warum ergibt negativ mal negativ positiv?

Stell es dir als Umkehrung einer Umkehrung vor. Wenn Rückwärtsgehen () negativ ist, dann bedeutet Rückwärtsgehen während man rückwärts schaut (), dass man tatsächlich vorwärts geht (positiv)!

Spielt die Reihenfolge beim Multiplizieren von Ganzzahlen eine Rolle?

Nein! Multiplikation ist kommutativ. . Die Vorzeichenregeln geben in jedem Fall das gleiche Ergebnis.

Was ist mit Null?

Null mal jede Ganzzahl ist Null: . Null hat kein Vorzeichen, also ist das Ergebnis einfach .

Glossar

Ganze Zahl: Eine Zahl ohne Nachkommastellen, die positiv, negativ oder null sein kann
Betrag: Der Abstand von Null, immer positiv.
Produkt: Das Ergebnis einer Multiplikation
Quotient: Das Ergebnis einer Division
Vorzeichenregel: Die Regel, die bestimmt, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist, basierend auf den Vorzeichen der Operanden

Formelkarte

Positiv × Positiv

Positiv mal positiv ergibt positiv

Negativ × Negativ

Negativ mal negativ ergibt positiv

Positiv × Negativ

Positiv mal negativ ergibt negativ

Negativ × Positiv

Negativ mal positiv ergibt negativ

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