Leitfaden für Lehrer: Dividieren in wissenschaftlicher Notation

Teile Zahlen in wissenschaftlicher Notation: Koeffizienten teilen, Exponenten subtrahieren und das Ergebnis normieren, sodass der Koeffizient zwischen 1 und 10 liegt.

Lektion präsentieren In Classroom teilen Schülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Wissenschaftliche Notation. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation dividieren, indem man die Koeffizienten teilt und die Exponenten subtrahiert
Einen Quotienten normieren, dessen Koeffizient kleiner als 1 ist
Das Potenzgesetz richtig anwenden, wenn ein oder beide Exponenten negativ sind
Einen nicht abbrechenden Koeffizienten auf eine vorgegebene Zahl gültiger Ziffern runden
Sachaufgaben (Laufzeit des Lichts, Bevölkerungsdichte, Anteil pro Kopf) durch Dividieren in wissenschaftlicher Notation lösen

Voraussetzungen

• Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreiben und in die Dezimalschreibweise zurückverwandeln
• Multiplizieren in wissenschaftlicher Notation (Koeffizienten multiplizieren, Exponenten addieren)
• Das Potenzgesetz für die Division: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
• Negative ganze Zahlen subtrahieren, z. B. $-4 - (-7) = 3$

Diskussionsstarter

1. Wenn du zwei Zahlen teilst, deren Koeffizienten beide zwischen 1 und 10 liegen: Was ist der größte und der kleinste Koeffizient, der herauskommen kann? Warum?
2. Das Licht der Sonne ist etwa 8 Minuten alt. Was würde das bedeuten, wenn die Sonne plötzlich erlöschen würde?
3. Warum wird das Ergebnis größer, wenn man durch eine Zahl mit negativem Exponenten teilt?
4. Eine Schlagzeile nennt Schulden von 2,4 Billionen. Warum ist eine Zahl pro Kopf oft aussagekräftiger?

Häufige Missverständnisse

Die Exponenten wie die Koeffizienten behandeln und dividieren ( $10^8 \div 10^2 = 10^4$ )

Abhilfe: Einen kleinen Fall ausschreiben: $10^5 \div 10^2$ als Bruch aus Zehnern schreiben und kürzen. Die Schüler sehen, dass drei Zehner übrig bleiben, die Exponenten werden also subtrahiert. Dann mit dem Taschenrechner prüfen: $10^5 \div 10^2 = 1000$ .

Glauben, $0{,}4 \times 10^3$ sei schon ein fertiges Ergebnis in wissenschaftlicher Notation

Abhilfe: Die Regel $1 \le a < 10$ sichtbar an der Tafel lassen und die Prüfung des Koeffizienten als festen letzten Schritt einführen. Die Schüler vergleichen $0{,}4 \times 10^3$ und $4 \times 10^2$ in Dezimalschreibweise und sehen, dass beide gleich sind.

Glauben, das Ergebnis einer Division müsse immer kleiner sein als die geteilte Zahl

Abhilfe: $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3$ zeigen. Teilen durch eine Zahl kleiner als 1 macht das Ergebnis größer, genau wie $6 \div 0{,}5 = 12$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Koeffizienten beginnen, die glatt aufgehen, und nur mit positiven Exponenten, z. B. $(8 \times 10^6) \div (2 \times 10^2)$
• Eine Tabelle mit zwei Spalten verwenden: links die Koeffizienten, rechts die Zehnerpotenzen
• $-4 - (-7)$ zuerst am Zahlenstrahl als $-4 + 7$ darstellen, bevor es als Exponent verwendet wird

Für Schüler auf Niveau:

• Aufgaben mischen, die normiert werden müssen, und solche, die es nicht müssen
• Negative Exponenten im Divisor, im Dividenden oder in beiden einbauen
• Sachaufgaben zur Laufzeit des Lichts und zur Bevölkerungsdichte lösen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Nicht abbrechende Quotienten auf eine vorgegebene Zahl gültiger Ziffern runden und über Genauigkeit sprechen
• Rechenarten kombinieren: $\frac{(3 \times 10^5)(4 \times 10^{-2})}{6 \times 10^7}$
• Echte Daten suchen (Entfernung zum Mars, BIP eines Landes) und Quotienten vor dem Rechnen abschätzen

Standardausrichtung

8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Mit Zahlen in wissenschaftlicher Notation rechnen, auch in Aufgaben, in denen Dezimalschreibweise und wissenschaftliche Notation gemischt vorkommen
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Zahlen als einstellige Zahl mal ganzzahlige Zehnerpotenz verwenden, um sehr große oder sehr kleine Größen abzuschätzen und zu vergleichen
8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Die Eigenschaften ganzzahliger Exponenten kennen und anwenden, um gleichwertige Zahlterme zu bilden

Lektionsressourcen

visualDividierer für wissenschaftliche Notation
Interaktives Werkzeug, das Schritt für Schritt die Koeffizienten teilt, die Exponenten subtrahiert und normiert, mit Schiebereglern für neue Zahlen
activityWie viel pro Person?
Die Schüler suchen eine nationale Zahl (Haushalt, Energieverbrauch, Wasserverbrauch) und die Einwohnerzahl heraus und dividieren in wissenschaftlicher Notation
worksheetNormieren oder nicht?
Zwanzig Quotienten: Die Schüler entscheiden, ob das Ergebnis normiert werden muss, und korrigieren den Exponenten

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Um Zahlen in wissenschaftlicher Notation zu dividieren (auch wissenschaftliche Schreibweise genannt), zerlegst du die Aufgabe in zwei einfache Teile: Du teilst die Koeffizienten und du teilst die Zehnerpotenzen, indem du die Exponenten subtrahierst (Potenzgesetz

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Dann prüfst du den Koeffizienten. In wissenschaftlicher Notation muss

1 \le a < 10

gelten. Beim Dividieren kann der neue Koeffizient kleiner als 1 werden, dann musst du ihn normieren: Verschiebe das Komma um eine Stelle nach rechts (Koeffizient mal

10

) und ziehe

1

vom Exponenten ab.

\frac{1{,}2 \times 10^5}{3 \times 10^2} = 0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2

Auf zwei weitere Dinge musst du achten:

Negative Exponenten: Eine negative Zahl abziehen heißt addieren, also $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4-(-7)} = 10^3$ .
Quotienten ohne Ende: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ , also rundest du den Koeffizienten, zum Beispiel auf $3$ gültige Ziffern: $2{,}33$ .

Lösungsbeispiele

Berechne

(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)

Teile die Koeffizienten

8 \div 2 = 4

Subtrahiere die Exponenten (Potenzgesetz)

10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6

Setze zusammen und prüfe den Koeffizienten

4 \times 10^6

, und

1 \le 4 < 10

→ Schon normiert

Antwort: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Häufige Fehler

Die Exponenten dividieren: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Warum es falsch ist: Der Exponent zählt, wie viele Zehner miteinander multipliziert werden. Beim Dividieren kürzen sich Zehner weg, also ziehst du den Exponenten ab, du teilst ihn nicht.

Richtig: Subtrahieren: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (acht Zehner geteilt durch zwei Zehner ergibt sechs Zehner).

In der falschen Reihenfolge subtrahieren: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Warum es falsch ist: Bei der Division kommt es auf die Reihenfolge an. Der Exponent der Zahl, DURCH die du teilst, wird vom oberen Exponenten abgezogen.

Richtig: Immer oben minus unten: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$ , eine kleine Zahl, wie zu erwarten, wenn du durch etwas Größeres teilst.

In die falsche Richtung normieren: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Warum es falsch ist: Wenn der Koeffizient 10-mal größer wird, muss die Zehnerpotenz 10-mal kleiner werden, sonst ändert sich der Wert von $400$ auf $40\,000$ .

Richtig: Koeffizient eine Stelle hoch, Exponent eins runter: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ . Probe: beide sind $400$ .

Ein Vorzeichen bei negativen Exponenten verlieren: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Warum es falsch ist: Das zweite Minuszeichen ist verloren gegangen. $-3$ abziehen ist dasselbe wie $3$ addieren.

Richtig: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$ . Teilen durch eine winzige Zahl ergibt ein großes Ergebnis.

Warum es wichtig ist

Division beantwortet Fragen wie "Wie lange?", "Wie viele pro ...?" und "Wie viel für jeden?". In Naturwissenschaft und Nachrichten sind die Zahlen in solchen Fragen oft riesig oder winzig:

Licht von der Sonne: Die Sonne ist etwa $1{,}5 \times 10^{11}$ m entfernt, und Licht legt pro Sekunde $3 \times 10^8$ m zurück. Die Division zeigt: Sonnenlicht ist etwa $500$ Sekunden alt, wenn es bei dir ankommt.
Bevölkerungsdichte: Die Einwohnerzahl eines Landes geteilt durch seine Fläche ergibt Einwohner pro km², die Zahl, mit der Geografen Länder vergleichen.
Anteil pro Kopf: Ein Staatshaushalt oder eine Staatsverschuldung geteilt durch die Einwohnerzahl zeigt, was das für eine einzelne Person bedeutet.
Biologie und Chemie: Die Masse eines Wassertropfens geteilt durch die Masse eines Moleküls ergibt, wie viele Moleküle darin sind (etwa $10^{21}$ ).

Ausgeschrieben müsstest du lange Reihen von Nullen zählen. In wissenschaftlicher Notation teilst du zwei kleine Zahlen, subtrahierst zwei Exponenten und bist fertig.

Anwendungen im echten Leben

Astronomie: Laufzeit des Lichts

Astronomen teilen eine Entfernung durch die Lichtgeschwindigkeit, um herauszufinden, wie lange das Licht unterwegs war. Deshalb sehen wir die Sonne so, wie sie vor ein paar Minuten war, und ferne Sterne so, wie sie vor Jahren waren.

Beispiel:

Der Mond ist etwa $3{,}84 \times 10^8$ m entfernt. Licht braucht $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ Sekunden bis dorthin.

1Probiere es selbst

Die Sonne ist etwa $1{,}5 \times 10^{11}$ m von der Erde entfernt, und Licht legt $3 \times 10^8$ m pro Sekunde zurück.

Wie viele Sekunden braucht das Licht von der Sonne zur Erde?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zeit = Strecke ÷ Geschwindigkeit:

Geografie: Bevölkerungsdichte

Die Bevölkerungsdichte ist die Einwohnerzahl geteilt durch die Fläche. Sie zeigt, wie dicht besiedelt ein Land oder eine Stadt ist, und so vergleichen Planer Orte sehr unterschiedlicher Größe.

Beispiel:

Deutschland hat etwa $8{,}4 \times 10^7$ Einwohner auf etwa $3{,}5 \times 10^5$ km². Dichte: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$ , also etwa $240$ Einwohner pro km².

2Probiere es selbst

Eine Großstadt hat $3{,}6 \times 10^6$ Einwohner auf $9 \times 10^2$ km².

Wie viele Menschen leben auf einem Quadratkilometer?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Dichte = Einwohner ÷ Fläche:

Wirtschaft: Anteil pro Kopf

Nachrichten nennen nationale Zahlen (Haushalte, Schulden, Gesamtausgaben) in Milliarden oder Billionen. Teilt man sie durch die Einwohnerzahl, erhält man einen Betrag pro Person, den man sich gut vorstellen kann.

Beispiel:

Ein Land mit $4 \times 10^7$ Einwohnern gibt im Jahr $1{,}2 \times 10^{11}$ € für Lebensmittel aus: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$ , also etwa 3000 € pro Person.

3Probiere es selbst

Die Staatsverschuldung eines Landes beträgt $2{,}4 \times 10^{12}$ €, und dort leben $3 \times 10^8$ Menschen.

Wie groß ist der Anteil jeder Person an den Schulden, in Euro?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Anteil = Schulden ÷ Einwohner:

Wichtige Erkenntnisse

1Teile Koeffizienten und Zehnerpotenzen getrennt: $\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$
2Potenzgesetz: Exponenten subtrahieren, immer oben minus unten ( $10^3 \div 10^7 = 10^{-4}$ )
3Ist der neue Koeffizient kleiner als 1, normierst du: Komma eine Stelle nach rechts, Exponent minus 1 ( $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ )
4Einen negativen Exponenten abziehen heißt addieren: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{3}$
5Geht die Division der Koeffizienten nicht auf, rundest du den Koeffizienten (zum Beispiel auf 3 gültige Ziffern) und schreibst $\approx$
6Division beantwortet Fragen nach "wie lange", "wie viele pro" und "wie viel für jeden": Laufzeit des Lichts, Bevölkerungsdichte, Anteil pro Kopf

Häufig gestellte Fragen

Kann der Koeffizient beim Dividieren größer als 10 werden?

Nein. Beide Koeffizienten liegen zwischen 1 und 10, also ist ihr Quotient immer größer als

0{,}1

und kleiner als

10

. Deshalb musst du beim Dividieren nur in eine Richtung normieren: Ein Koeffizient unter 1 rückt eine Stelle nach rechts, und der Exponent wird um 1 kleiner.

Warum subtrahieren wir die Exponenten?

Weil

10^m

bedeutet, dass

m

Zehner multipliziert werden. Teilen durch

10^n

kürzt

n

dieser Zehner weg:

\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3

. Das ist das Potenzgesetz

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

Was ist, wenn beide Zahlen denselben Exponenten haben?

Dann kürzen sich die Exponenten zu

10^0 = 1

, und es zählen nur die Koeffizienten:

(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3

Wie viele gültige Ziffern soll ich behalten?

Meist so viele wie die ungenaueste Zahl der Aufgabe hat. Haben die Daten 2 oder 3 gültige Ziffern, rundest du den Koeffizienten ebenfalls auf 2 oder 3. Mehr Ziffern als die Daten hergeben täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt.

Glossar

Koeffizient (Vorfaktor): Die Zahl $a$ in $a \times 10^n$ ; in wissenschaftlicher Notation gilt $1 \le a < 10$
Quotient: Das Ergebnis einer Division, zum Beispiel $4 \times 10^2$ bei $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$
Potenzgesetz für die Division: Potenzen mit gleicher Basis dividiert man, indem man die Exponenten subtrahiert: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
Normieren: Ein Ergebnis so umschreiben, dass der Koeffizient zwischen 1 und 10 liegt, ohne den Wert zu ändern, z. B. $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$
Gültige Ziffern: Die Ziffern einer Zahl, die etwas über ihre Genauigkeit aussagen; $2{,}33$ hat 3 gültige Ziffern

Formelkarte

Dividieren in wissenschaftlicher Notation

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Koeffizienten teilen, Exponenten subtrahieren (oben minus unten).

Potenzgesetz für die Division

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

Gilt auch für negative Exponenten: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4+7} = 10^3$.

Einen kleinen Koeffizienten normieren

c \times 10^k = (10c) \times 10^{k-1}

Verwende es, wenn der Koeffizient $c$ kleiner als 1 ist: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$.

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Dividieren in wissenschaftlicher Notation

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Astronomie: Laufzeit des Lichts

Geografie: Bevölkerungsdichte

Wirtschaft: Anteil pro Kopf

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Dividieren in wissenschaftlicher Notation

Potenzgesetz für die Division

Einen kleinen Koeffizienten normieren

Mehr zu diesem Thema

Wissenschaftliche Notation

Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreiben

Von der wissenschaftlichen Notation in die Dezimalschreibweise

Zahlen in wissenschaftlicher Notation vergleichen