Warum subtrahieren wir die Exponenten?

Weil $10^m$ bedeutet, dass $m$ Zehner multipliziert werden. Teilen durch $10^n$ kürzt $n$ dieser Zehner weg: $\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3$. Das ist das Potenzgesetz $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$.

Was ist, wenn beide Zahlen denselben Exponenten haben?

Dann kürzen sich die Exponenten zu $10^0 = 1$, und es zählen nur die Koeffizienten: $(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3$.

Wie viele gültige Ziffern soll ich behalten?

Meist so viele wie die ungenaueste Zahl der Aufgabe hat. Haben die Daten 2 oder 3 gültige Ziffern, rundest du den Koeffizienten ebenfalls auf 2 oder 3. Mehr Ziffern als die Daten hergeben täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt.

Lehrermaterialien

Dividieren in wissenschaftlicher Notation

Teile Zahlen in wissenschaftlicher Notation: Koeffizienten teilen, Exponenten subtrahieren und das Ergebnis normieren, sodass der Koeffizient zwischen 1 und 10 liegt.

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Definition

Um Zahlen in wissenschaftlicher Notation zu dividieren (auch wissenschaftliche Schreibweise genannt), zerlegst du die Aufgabe in zwei einfache Teile: Du teilst die Koeffizienten und du teilst die Zehnerpotenzen, indem du die Exponenten subtrahierst (Potenzgesetz

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Dann prüfst du den Koeffizienten. In wissenschaftlicher Notation muss

1 \le a < 10

gelten. Beim Dividieren kann der neue Koeffizient kleiner als 1 werden, dann musst du ihn normieren: Verschiebe das Komma um eine Stelle nach rechts (Koeffizient mal

10

) und ziehe

1

vom Exponenten ab.

\frac{1{,}2 \times 10^5}{3 \times 10^2} = 0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2

Auf zwei weitere Dinge musst du achten:

Negative Exponenten: Eine negative Zahl abziehen heißt addieren, also $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4-(-7)} = 10^3$ .
Quotienten ohne Ende: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ , also rundest du den Koeffizienten, zum Beispiel auf $3$ gültige Ziffern: $2{,}33$ .

Probier es gleich aus

Berechne

(6 \times 10^8) \div (2 \times 10^3)

Lösungsbeispiele

Berechne

(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)

Teile die Koeffizienten

8 \div 2 = 4

Subtrahiere die Exponenten (Potenzgesetz)

10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6

Setze zusammen und prüfe den Koeffizienten

4 \times 10^6

, und

1 \le 4 < 10

→ Schon normiert

Antwort: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Häufige Fehler

Die Exponenten dividieren: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Warum es falsch ist: Der Exponent zählt, wie viele Zehner miteinander multipliziert werden. Beim Dividieren kürzen sich Zehner weg, also ziehst du den Exponenten ab, du teilst ihn nicht.

Richtig: Subtrahieren: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (acht Zehner geteilt durch zwei Zehner ergibt sechs Zehner).

In der falschen Reihenfolge subtrahieren: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Warum es falsch ist: Bei der Division kommt es auf die Reihenfolge an. Der Exponent der Zahl, DURCH die du teilst, wird vom oberen Exponenten abgezogen.

Richtig: Immer oben minus unten: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$ , eine kleine Zahl, wie zu erwarten, wenn du durch etwas Größeres teilst.

In die falsche Richtung normieren: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Warum es falsch ist: Wenn der Koeffizient 10-mal größer wird, muss die Zehnerpotenz 10-mal kleiner werden, sonst ändert sich der Wert von $400$ auf $40\,000$ .

Richtig: Koeffizient eine Stelle hoch, Exponent eins runter: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ . Probe: beide sind $400$ .

Ein Vorzeichen bei negativen Exponenten verlieren: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Warum es falsch ist: Das zweite Minuszeichen ist verloren gegangen. $-3$ abziehen ist dasselbe wie $3$ addieren.

Richtig: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$ . Teilen durch eine winzige Zahl ergibt ein großes Ergebnis.

Interaktive Visualisierung

Teilen, Exponenten subtrahieren, dann 0,4 × 10³ normieren

Dividieren

(1{,}2 \times 10^{5}) \div (3 \times 10^{2})

1Fasse die Mantissen und die Zehnerpotenzen zusammen.
$\dfrac{1{,}2}{3} \times \dfrac{10^{5}}{10^{2}}$

Dividiere die Mantissen. Was kommt heraus?

Ein Quotient ohne Ende: auf 3 gültige Ziffern runden

Dividieren

(7 \times 10^{8}) \div (3 \times 10^{3})

1Fasse die Mantissen und die Zehnerpotenzen zusammen.
$\dfrac{7}{3} \times \dfrac{10^{8}}{10^{3}}$

Dividiere die Mantissen. Was kommt heraus?

Negative Exponenten: eine negative Zahl abziehen heißt addieren

Dividieren

(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7})

1Fasse die Mantissen und die Zehnerpotenzen zusammen.
$\dfrac{6}{2} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}$

Dividiere die Mantissen. Was kommt heraus?

Mantisse a6Exponent m−4Mantisse b2Exponent n−7

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Berechne

(6 \times 10^8) \div (2 \times 10^3)

Warum es wichtig ist

Division beantwortet Fragen wie "Wie lange?", "Wie viele pro ...?" und "Wie viel für jeden?". In Naturwissenschaft und Nachrichten sind die Zahlen in solchen Fragen oft riesig oder winzig:

Licht von der Sonne: Die Sonne ist etwa $1{,}5 \times 10^{11}$ m entfernt, und Licht legt pro Sekunde $3 \times 10^8$ m zurück. Die Division zeigt: Sonnenlicht ist etwa $500$ Sekunden alt, wenn es bei dir ankommt.
Bevölkerungsdichte: Die Einwohnerzahl eines Landes geteilt durch seine Fläche ergibt Einwohner pro km², die Zahl, mit der Geografen Länder vergleichen.
Anteil pro Kopf: Ein Staatshaushalt oder eine Staatsverschuldung geteilt durch die Einwohnerzahl zeigt, was das für eine einzelne Person bedeutet.
Biologie und Chemie: Die Masse eines Wassertropfens geteilt durch die Masse eines Moleküls ergibt, wie viele Moleküle darin sind (etwa $10^{21}$ ).

Ausgeschrieben müsstest du lange Reihen von Nullen zählen. In wissenschaftlicher Notation teilst du zwei kleine Zahlen, subtrahierst zwei Exponenten und bist fertig.

Anwendungen im echten Leben

Astronomie: Laufzeit des Lichts

Astronomen teilen eine Entfernung durch die Lichtgeschwindigkeit, um herauszufinden, wie lange das Licht unterwegs war. Deshalb sehen wir die Sonne so, wie sie vor ein paar Minuten war, und ferne Sterne so, wie sie vor Jahren waren.

Beispiel:

Der Mond ist etwa $3{,}84 \times 10^8$ m entfernt. Licht braucht $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ Sekunden bis dorthin.

1Probiere es selbst

Die Sonne ist etwa $1{,}5 \times 10^{11}$ m von der Erde entfernt, und Licht legt $3 \times 10^8$ m pro Sekunde zurück.

Wie viele Sekunden braucht das Licht von der Sonne zur Erde?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zeit = Strecke ÷ Geschwindigkeit:

Geografie: Bevölkerungsdichte

Die Bevölkerungsdichte ist die Einwohnerzahl geteilt durch die Fläche. Sie zeigt, wie dicht besiedelt ein Land oder eine Stadt ist, und so vergleichen Planer Orte sehr unterschiedlicher Größe.

Beispiel:

Deutschland hat etwa $8{,}4 \times 10^7$ Einwohner auf etwa $3{,}5 \times 10^5$ km². Dichte: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$ , also etwa $240$ Einwohner pro km².

2Probiere es selbst

Eine Großstadt hat $3{,}6 \times 10^6$ Einwohner auf $9 \times 10^2$ km².

Wie viele Menschen leben auf einem Quadratkilometer?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Dichte = Einwohner ÷ Fläche:

Wirtschaft: Anteil pro Kopf

Nachrichten nennen nationale Zahlen (Haushalte, Schulden, Gesamtausgaben) in Milliarden oder Billionen. Teilt man sie durch die Einwohnerzahl, erhält man einen Betrag pro Person, den man sich gut vorstellen kann.

Beispiel:

Ein Land mit $4 \times 10^7$ Einwohnern gibt im Jahr $1{,}2 \times 10^{11}$ € für Lebensmittel aus: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$ , also etwa 3000 € pro Person.

3Probiere es selbst

Die Staatsverschuldung eines Landes beträgt $2{,}4 \times 10^{12}$ €, und dort leben $3 \times 10^8$ Menschen.

Wie groß ist der Anteil jeder Person an den Schulden, in Euro?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Anteil = Schulden ÷ Einwohner:

Wichtige Erkenntnisse

1Teile Koeffizienten und Zehnerpotenzen getrennt: $\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$
2Potenzgesetz: Exponenten subtrahieren, immer oben minus unten ( $10^3 \div 10^7 = 10^{-4}$ )
3Ist der neue Koeffizient kleiner als 1, normierst du: Komma eine Stelle nach rechts, Exponent minus 1 ( $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ )
4Einen negativen Exponenten abziehen heißt addieren: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{3}$
5Geht die Division der Koeffizienten nicht auf, rundest du den Koeffizienten (zum Beispiel auf 3 gültige Ziffern) und schreibst $\approx$
6Division beantwortet Fragen nach "wie lange", "wie viele pro" und "wie viel für jeden": Laufzeit des Lichts, Bevölkerungsdichte, Anteil pro Kopf

Häufig gestellte Fragen

Nein. Beide Koeffizienten liegen zwischen 1 und 10, also ist ihr Quotient immer größer als

0{,}1

und kleiner als

10

. Deshalb musst du beim Dividieren nur in eine Richtung normieren: Ein Koeffizient unter 1 rückt eine Stelle nach rechts, und der Exponent wird um 1 kleiner.

Glossar

Koeffizient (Vorfaktor): Die Zahl $a$ in $a \times 10^n$ ; in wissenschaftlicher Notation gilt $1 \le a < 10$
Quotient: Das Ergebnis einer Division, zum Beispiel $4 \times 10^2$ bei $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$
Potenzgesetz für die Division: Potenzen mit gleicher Basis dividiert man, indem man die Exponenten subtrahiert: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
Normieren: Ein Ergebnis so umschreiben, dass der Koeffizient zwischen 1 und 10 liegt, ohne den Wert zu ändern, z. B. $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$
Gültige Ziffern: Die Ziffern einer Zahl, die etwas über ihre Genauigkeit aussagen; $2{,}33$ hat 3 gültige Ziffern

Formelkarte

Dividieren in wissenschaftlicher Notation

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Koeffizienten teilen, Exponenten subtrahieren (oben minus unten).

Potenzgesetz für die Division

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

Gilt auch für negative Exponenten: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4+7} = 10^3$.

Einen kleinen Koeffizienten normieren

c \times 10^k = (10c) \times 10^{k-1}

Verwende es, wenn der Koeffizient $c$ kleiner als 1 ist: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$.

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Teilen, Exponenten subtrahieren, dann 0,4 × 10³ normieren

Ein Quotient ohne Ende: auf 3 gültige Ziffern runden

Negative Exponenten: eine negative Zahl abziehen heißt addieren

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Astronomie: Laufzeit des Lichts

Geografie: Bevölkerungsdichte

Wirtschaft: Anteil pro Kopf

Wichtige Erkenntnisse

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Einen kleinen Koeffizienten normieren

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