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Leitfaden für Lehrer: Preisaufschlag und Preisnachlass

Lerne, wie Geschäfte Preise mit einem Aufschlag auf den Einkaufspreis festlegen und mit einem Rabatt senken, und wie du Prozentsatz, ursprünglichen Preis und mehrere Rabatte berechnest.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Prozentrechnung. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Einen Verkaufspreis aus Einkaufspreis und Aufschlag in Prozent berechnen
  • Einen reduzierten Preis aus ursprünglichem Preis und Rabatt in Prozent berechnen
  • Den Aufschlag oder Rabatt in Prozent aus zwei Preisen bestimmen und dabei den richtigen Grundwert verwenden
  • Den ursprünglichen Preis bestimmen, wenn reduzierter Preis und Rabatt bekannt sind
  • Erklären, warum sich mehrere Rabatte oder ein Aufschlag mit anschließendem Rabatt nicht einfach addieren
Voraussetzungen
  • • Prozent einer Zahl berechnen
  • • Prozentuale Zunahme und Abnahme (Faktoren 1 + p und 1 - d)
  • • Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren
Diskussionsstarter
  • 1. Ein Geschäft wirbt mit 20 % Rabatt plus noch einmal 10 %. Ist das dasselbe wie 30 % Rabatt? Wie würdest du einen Freund überzeugen?
  • 2. Warum schlagen Geschäfte überhaupt etwas auf den Einkaufspreis auf? Welche Kosten müssen damit bezahlt werden?
  • 3. Eine Ware wird um 25 % teurer und danach um 25 % reduziert. Ist das Geschäft wieder beim Anfangspreis?
  • 4. Ein Schild zeigt nur den reduzierten Preis und 30 % Rabatt. Wie kannst du den ursprünglichen Preis finden?
  • 5. Würdest du lieber zweimal 15 % Rabatt bekommen oder einmal 30 %? Warum?
Häufige Missverständnisse

Mehrere Rabatte kann man addieren (20 % + 10 % = 30 %)

Abhilfe: Nimm einen Preis von 100: Nach 20 % Rabatt sind es 80, und 10 % von 80 sind nur 8, also kostet die Ware 72. Das Balkendiagramm mit 200, 160, 144 und 140 zeigt den Unterschied.

Der ursprüngliche Preis ist der reduzierte Preis plus der Prozentsatz vom reduzierten Preis

Abhilfe: Lass die Lernenden ihre Antwort prüfen: 63 + 30 % von 63 = 81,90, aber 30 % Rabatt auf 81,90 ergeben 57,33, nicht 63. Zeige dann die Gleichung Ursprünglicher Preis × 0,70 = 63.

Ein Rabatt mit demselben Prozentsatz hebt einen Aufschlag auf

Abhilfe: Zeichne zwei Balkenmodelle mit verschiedenen Längen: 25 % vom längeren Verkaufspreis sind ein größeres Stück als 25 % vom Einkaufspreis.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Mit Preisen von 100 beginnen, damit Prozentsatz und Betrag dieselbe Zahl sind
  • • Balkenmodelle mit 10 gleichen Kästchen verwenden, um 10-%-Schritte zu zeigen
  • • Aufschläge und Rabatte zuerst getrennt üben, bevor sie gemischt werden

Für Schüler auf Niveau:

  • • Den Aufschlag oder Rabatt in Prozent aus zwei Preisen bestimmen
  • • Vom reduzierten Preis auf den ursprünglichen Preis zurückrechnen
  • • Zwei Rabatte hintereinander mit einem einzigen Rabatt vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Den Rabatt finden, der einen bestimmten Aufschlag genau aufhebt (25 % Aufschlag braucht 20 % Rabatt)
  • • Den Aufschlag auf den Einkaufspreis mit der Handelsspanne auf den Verkaufspreis vergleichen
  • • Den einen Rabatt finden, der drei Rabatten hintereinander entspricht
Standardausrichtung
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Proportionale Zusammenhänge nutzen, um mehrschrittige Verhältnis- und Prozentaufgaben zu lösen, etwa zu Aufschlägen, Rabatten, Steuern und Provisionen

  • 7.EE.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.3)

    Mehrschrittige Alltags- und Mathematikaufgaben mit positiven und negativen rationalen Zahlen in jeder Form lösen

Lektionsressourcen
  • visualBalkenmodelle für Einkaufspreis, Aufschlag und Rabatt

    Zeigt den Einkaufspreis als 100 % mit dem Aufschlag daneben und den ursprünglichen Preis als 100 % mit dem abgezogenen Rabatt

  • activityPreise für einen Klassenladen

    Gruppen kaufen Waren zu einem Einkaufspreis, wählen einen Aufschlag, planen dann einen Ausverkauf zum Saisonende und prüfen, ob sie noch Gewinn machen

  • worksheetWelches Angebot ist besser?

    Zusätzliche Gutscheine mit einfachen Rabatten vergleichen und den echten Gesamtrabatt berechnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Geschäft kauft eine Ware zum Einkaufspreis und verkauft sie zu einem höheren Verkaufspreis. Der Betrag, der dazukommt, ist der Aufschlag. Später kann das Geschäft den Preis senken: Diese Senkung ist ein Preisnachlass (auch Rabatt genannt), und der neue Preis ist der reduzierte Preis.
Beide rechnest du mit einem Faktor:
Verkaufspreis=Einkaufspreis×(1+p)\text{Verkaufspreis} = \text{Einkaufspreis} \times (1 + p)
Reduzierter Preis=Urspru¨nglicher Preis×(1−d)\text{Reduzierter Preis} = \text{Ursprünglicher Preis} \times (1 - d)
Dabei ist pp der Aufschlagsatz und dd der Rabattsatz, beide als Dezimalzahl (25 % = 0,250{,}25).
Welcher Preis ist der Grundwert?
  • Ein Aufschlag in Prozent bezieht sich immer auf den Einkaufspreis.
  • Ein Rabatt in Prozent bezieht sich immer auf den ursprünglichen Preis (den Preis vor dem Ausverkauf).
Zwei Änderungen hintereinander werden multipliziert: 20 % und danach 10 % Rabatt ergeben 0,80×0,90=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72. Du zahlst also 72 % und sparst 28 %, nicht 30 %.

Lösungsbeispiele

Ein Sportgeschäft kauft einen Rucksack für 40 € ein und schlägt 35 % auf. Wie hoch ist der Verkaufspreis?

1

Berechne den Aufschlag (ein Prozentsatz des Einkaufspreises)

40×0,35=1440 \times 0{,}35 = 14 € → Aufschlag = 14 €

2

Addiere ihn zum Einkaufspreis

40+14=5440 + 14 = 54 €

3

Prüfe mit dem Faktor

40×1,35=5440 \times 1{,}35 = 54 → Gleiches Ergebnis

Häufige Fehler

Zwei Rabatte addieren: 20 % und dann 10 % Rabatt = 30 % Rabatt

Warum es falsch ist: Der zweite Rabatt wird vom bereits reduzierten Preis abgezogen. Der ist kleiner als der ursprüngliche Preis, also sparst du damit weniger.

Richtig: Multipliziere die Faktoren: 0,80×0,90=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}72. Du zahlst 72 %, der Rabatt beträgt insgesamt also 28 %.

Den ursprünglichen Preis berechnen, indem man den Prozentsatz zum reduzierten Preis addiert (63+30 %63 + 30\,\% von 63=81,9063 = 81{,}90)

Warum es falsch ist: Die 30 % waren ein Prozentsatz des ursprünglichen Preises, nicht des reduzierten Preises. Mit dem reduzierten Preis als Grundwert wird das Ergebnis zu klein.

Richtig: Teile durch den Faktor: 63:0,70=9063 : 0{,}70 = 90. Probe: 90×0,70=6390 \times 0{,}70 = 63.

Den Aufschlag durch den Verkaufspreis teilen (90340≈26 %\frac{90}{340} \approx 26\,\%)

Warum es falsch ist: Ein Aufschlag in Prozent wird immer am Einkaufspreis gemessen, also an dem Preis, den das Geschäft bezahlt hat.

Richtig: Aufschlag in Prozent =AufschlagEinkaufspreis×100 %= \frac{\text{Aufschlag}}{\text{Einkaufspreis}} \times 100\,\%, hier 90250=36 %\frac{90}{250} = 36\,\%.

Glauben, dass 25 % Rabatt einen Aufschlag von 25 % rückgängig machen

Warum es falsch ist: Der Rabatt wird vom größeren Verkaufspreis abgezogen und nimmt deshalb mehr weg, als der Aufschlag dazugegeben hat: 80×1,25=10080 \times 1{,}25 = 100, dann 100×0,75=75100 \times 0{,}75 = 75.

Richtig: Der Preis endet 5 unter dem Einkaufspreis von 80. Um von 100 wieder auf 80 zu kommen, brauchst du 20 % Rabatt: 100×0,80=80100 \times 0{,}80 = 80.

Warum es wichtig ist

In der Lektion Prozentuale Zunahme und Abnahme hast du die Faktoren 1+p1 + p und 1−d1 - d kennengelernt. Bei Aufschlag und Rabatt geht es mit diesen Faktoren um echtes Geld:
  • Geschäfte schlagen einen Betrag auf, um Miete, Personal und Gewinn zu bezahlen, bevor eine Ware ins Regal kommt.
  • Ausverkäufe wie 40 % Rabatt sind Preisnachlässe auf den ursprünglichen Preis.
  • Zusätzliche Gutscheine (noch einmal 15 % an der Kasse) sind mehrere Rabatte hintereinander, und sie sparen immer weniger als die Summe der beiden Prozentsätze.
  • Preisschilder zeigen oft nur den reduzierten Preis, deshalb ist es nützlich, den ursprünglichen Preis zurückzurechnen.
  • Kleine Betriebe müssen wissen, ob ein reduzierter Preis noch über dem Einkaufspreis liegt.
Mit diesen Fähigkeiten kannst du jedes Preisschild prüfen und erkennen, welches Angebot wirklich günstiger ist.

Anwendungen im echten Leben

Preise im Modegeschäft

Modegeschäfte schlagen auf neue Ware oft viel auf und reduzieren sie am Ende der Saison. Die Frage ist, ob der reduzierte Preis die Kosten noch deckt.

Beispiel:

Ein Hemd, das für 20 € eingekauft und mit 100 % Aufschlag verkauft wird, kostet 20×2=4020 \times 2 = 40 €. Zum halben Preis kostet es später 20 €: überhaupt kein Gewinn.

1Probiere es selbst

Ein Geschäft kauft ein Kleid für 60 € ein und schlägt 50 % auf. Am Saisonende wird das Kleid um 30 % reduziert.

Wie hoch ist der endgültige reduzierte Preis in Euro?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wende erst den Aufschlag, dann den Rabatt an:

Zusätzliche Gutscheine an Aktionstagen

An großen Aktionstagen bieten Geschäfte oft einen Rabatt und zusätzlich einen Gutschein an der Kasse an. Der Gutschein wird vom bereits reduzierten Preis abgezogen.

Beispiel:

50 % Rabatt und dann noch einmal 50 % sind nicht gratis: 0,5×0,5=0,250{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25, du zahlst also immer noch 25 % des Preises.

2Probiere es selbst

Ein Fernseher kostet 500 €. Er ist um 20 % reduziert, und ein Gutschein zieht vom reduzierten Preis noch einmal 15 % ab.

Wie viel Prozent beträgt der Rabatt insgesamt? (Gib nur die Zahl ein.)

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Vergleiche den Endpreis mit dem ursprünglichen Preis:

Ein Preisschild lesen

Outlet-Geschäfte zeigen oft nur den reduzierten Preis und den Rabatt. Wenn du zurückrechnest, kennst du den ursprünglichen Preis und weißt, wie viel du wirklich sparst.

Beispiel:

Auf einem Schild steht 25 % Rabatt, jetzt 30 €. Der ursprüngliche Preis war 30:0,75=4030 : 0{,}75 = 40 €.

3Probiere es selbst

Ein Paar Turnschuhe hat ein Schild: 40 % Rabatt, jetzt 48 €.

Wie hoch war der ursprüngliche Preis in Euro?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile den reduzierten Preis durch den Faktor:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Verkaufspreis = Einkaufspreis × (1 + Aufschlagsatz); der Aufschlag in Prozent bezieht sich auf den Einkaufspreis
  • 2Reduzierter Preis = ursprünglicher Preis × (1 - Rabattsatz); der Rabatt in Prozent bezieht sich auf den ursprünglichen Preis
  • 3Aufschlag in Prozent = Aufschlag : Einkaufspreis × 100 %; Rabatt in Prozent = Rabatt : ursprünglicher Preis × 100 %
  • 4Den ursprünglichen Preis aus dem reduzierten Preis findest du, indem du durch den Faktor teilst (63 : 0,70 = 90), nie durch Zurückaddieren des Prozentsatzes
  • 5Mehrere Rabatte werden multipliziert: 20 % und dann 10 % Rabatt ergeben 0,80 × 0,90 = 0,72, also 28 % Rabatt, nicht 30 %
  • 6Ein Aufschlag und danach ein Rabatt mit demselben Prozentsatz enden unter dem Anfangspreis: 1,25 × 0,75 = 0,9375

Häufig gestellte Fragen

Ist der Aufschlag dasselbe wie die Gewinnspanne?

Nein. Der Aufschlag ist ein Prozentsatz des Einkaufspreises, die Gewinnspanne (Handelsspanne) ein Prozentsatz des Verkaufspreises. Eine Ware, die für 80 eingekauft und für 100 verkauft wird, hat 25 % Aufschlag (20 von 80), aber 20 % Spanne (20 von 100).

Kann ein Aufschlag mehr als 100 % betragen?

Ja. Ein Aufschlag von 100 % verdoppelt den Einkaufspreis, und bei 200 % Aufschlag ist der Verkaufspreis dreimal so hoch wie der Einkaufspreis. Manche Geschäfte rechnen bei billigen Waren mit so großen Aufschlägen.

Kann ein Rabatt mehr als 100 % betragen?

Nein. Bei 100 % Rabatt ist der Preis bereits 0. Ein Geschäft kann nicht mehr als den ganzen Preis abziehen.

Spielt die Reihenfolge von zwei Rabatten eine Rolle?

Nein. Beim Multiplizieren ist die Reihenfolge egal: 0,80×0,90=0,90×0,80=0,720{,}80 \times 0{,}90 = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72. Erst 20 % und dann 10 % Rabatt ergibt denselben Preis wie erst 10 % und dann 20 %.

Glossar

Einkaufspreis
Der Preis, den ein Geschäft für eine Ware bezahlt
Verkaufspreis
Der Preis, den ein Geschäft von der Kundschaft verlangt: Einkaufspreis plus Aufschlag
Aufschlag
Der Betrag (oder Prozentsatz des Einkaufspreises), den ein Geschäft auf den Einkaufspreis aufschlägt
Preisnachlass (Rabatt)
Der Betrag (oder Prozentsatz des ursprünglichen Preises), der von einem Preis abgezogen wird
Reduzierter Preis
Der Preis nach einem Rabatt
Faktor
Die Zahl, mit der du multiplizierst, um eine prozentuale Änderung anzuwenden, zum Beispiel 1,35 für 35 % Aufschlag oder 0,60 für 40 % Rabatt

Formelkarte

Verkaufspreis

Verkaufspreis=Einkaufspreis×(1+p)\text{Verkaufspreis} = \text{Einkaufspreis} \times (1 + p)

Einen Aufschlag mit dem Satz p auf den Einkaufspreis anwenden

Reduzierter Preis

Reduzierter Preis=Urspru¨nglicher Preis×(1−d)\text{Reduzierter Preis} = \text{Ursprünglicher Preis} \times (1 - d)

Einen Rabatt mit dem Satz d auf den ursprünglichen Preis anwenden

Aufschlag in Prozent

Verkaufspreis−EinkaufspreisEinkaufspreis×100 %\frac{\text{Verkaufspreis} - \text{Einkaufspreis}}{\text{Einkaufspreis}} \times 100\,\%

Der Grundwert ist der Einkaufspreis

Rabatt in Prozent

Urspru¨nglicher Preis−Reduzierter PreisUrspru¨nglicher Preis×100 %\frac{\text{Ursprünglicher Preis} - \text{Reduzierter Preis}}{\text{Ursprünglicher Preis}} \times 100\,\%

Der Grundwert ist der ursprüngliche Preis

Ursprünglicher Preis

Urspru¨nglicher Preis=Reduzierter Preis1−d\text{Ursprünglicher Preis} = \frac{\text{Reduzierter Preis}}{1 - d}

Vom reduzierten Preis zurückrechnen

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