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Leitfaden für Lehrer: Prozentualer Fehler

Lerne zu messen, wie weit eine Messung oder Schätzung vom tatsächlichen Wert entfernt ist, ausgedrückt in Prozent des tatsächlichen Werts.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Prozentrechnung. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Den absoluten Fehler zwischen einem Messwert und einem tatsächlichen Wert berechnen
  • Den prozentualen Fehler berechnen, indem der absolute Fehler durch den tatsächlichen Wert geteilt und mit 100 multipliziert wird
  • Erklären, warum der prozentuale Fehler durch den tatsächlichen Wert teilt und den Betrag verwendet
  • Einen prozentualen Fehler richtig runden und die Anzahl der Nachkommastellen angeben
  • Mit dem prozentualen Fehler Laborergebnisse, Schätzungen und Messgeräte beurteilen, auch bei Fehlern über 100 %
Voraussetzungen
  • • Einführung in Prozentrechnung (Dezimalzahlen in Prozent umwandeln)
  • • Prozent einer Zahl berechnen
  • • Prozentuale Zunahme und Abnahme (prozentuale Änderung)
  • • Betrag einer Zahl
  • • Dezimalzahlen runden
Diskussionsstarter
  • 1. Zwei Schüler liegen jeweils 2 cm daneben: Einer hat einen Bleistift gemessen, der andere eine Tür. Wer hat den größeren Fehler gemacht? Warum?
  • 2. Warum teilen wir durch den tatsächlichen Wert und nicht durch den Messwert?
  • 3. Ist ein Fehler von 3 % gut oder schlecht? Wovon hängt das ab?
  • 4. Kann eine Schätzung um mehr als 100 % danebenliegen? Geht das auch, wenn die Schätzung zu niedrig ist?
  • 5. Die prozentuale Änderung behält das Minuszeichen, der prozentuale Fehler nicht. Warum behandeln die beiden Formeln das Vorzeichen unterschiedlich?
Häufige Missverständnisse

Prozentualer Fehler und absoluter Fehler sind dasselbe

Abhilfe: Vergleiche 2 cm Fehler bei einem 10-cm-Bleistift (20 %) mit 2 cm Fehler bei einer 200-cm-Tür (1 %). Gleicher absoluter Fehler, sehr unterschiedlicher prozentualer Fehler. Zeige das Balkendiagramm mit den drei Gegenständen.

Es ist egal, ob man durch den Messwert oder den tatsächlichen Wert teilt

Abhilfe: Nimm das Konzertbeispiel: Schätzung 300, tatsächlich 120. Durch 120 geteilt ergibt 150 %, durch 300 geteilt ergibt 60 %. Frage, welche Zahl den Fehler ehrlich beschreibt: Die Bezugsgröße muss der wahre Wert sein.

Ein prozentualer Fehler kann nie größer als 100 % sein

Abhilfe: Schüler verwechseln ihn mit der prozentualen Abnahme, die bei 100 % endet. Zeige, dass eine Überschätzung beliebig groß sein kann: 50 statt 20 ergibt 150 %. Nur eine Unterschätzung bleibt bei höchstens 100 %.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Beginne mit tatsächlichen Werten wie 10, 100 oder 1000, damit die Division leicht ist
  • • Nutze eine Checkliste mit drei Schritten: subtrahieren und Vorzeichen weglassen, durch den tatsächlichen Wert teilen, mit 100 multiplizieren
  • • Trage beide Werte auf einem Zahlenstrahl ein und miss den Abstand, bevor gerechnet wird

Für Schüler auf Niveau:

  • • Prozentuale Fehler aus echten Labordaten mit Dezimalzahlen berechnen und auf zwei Nachkommastellen runden
  • • Die prozentualen Fehler mehrerer Schätzungen in einem Schätzwettbewerb vergleichen
  • • In Worten erklären, warum derselbe absolute Fehler unterschiedliche prozentuale Fehler ergeben kann

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Rückwärts rechnen: Aus tatsächlichem Wert und prozentualem Fehler beide möglichen Messwerte bestimmen
  • • Untersuchen, warum eine Unterschätzung nie einen prozentualen Fehler über 100 % haben kann
  • • Die zulässige Toleranz eines echten Messgeräts recherchieren und entscheiden, ob ein Ergebnis innerhalb davon liegt
Standardausrichtung
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Mit proportionalen Zusammenhängen mehrschrittige Verhältnis- und Prozentaufgaben lösen, auch zum prozentualen Fehler

  • 7.NS.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.3)

    Alltags- und Mathematikaufgaben mit den vier Grundrechenarten für rationale Zahlen lösen

  • HSN.Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)

    Eine Genauigkeit wählen, die zu den Grenzen der Messung passt, wenn Größen angegeben werden

Lektionsressourcen
  • visualFehler auf dem Zahlenstrahl

    Zeigt den Messwert, den tatsächlichen Wert und den Abstand dazwischen (den absoluten Fehler)

  • activitySchätzglas

    Die Schüler schätzen die Anzahl der Gegenstände in einem Glas, berechnen dann ihre prozentualen Fehler und ordnen sie

  • activityPendelversuch

    Die Schüler stoppen die Schwingungsdauer eines Pendels, berechnen g und vergleichen mit 9,81 m/s² über den prozentualen Fehler

  • worksheetÜbungen zum prozentualen Fehler

    Aufgaben aus Labor, Schätzung und Qualitätskontrolle, mit Runden und Fehlern über 100 %

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Der prozentuale Fehler (auch relativer Fehler in Prozent) gibt an, wie weit ein Messwert oder Schätzwert vom tatsächlichen Wert entfernt ist, ausgedrückt in Prozent des tatsächlichen Werts.
Prozentualer Fehler=∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣tatsa¨chlicher Wert×100 %\text{Prozentualer Fehler} = \frac{|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|}{\text{tatsächlicher Wert}} \times 100\,\%
Die Rechnung hat drei Teile:
  1. 1.Absoluter Fehler: der Abstand zwischen den beiden Werten, ∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|. Die Betragsstriche machen ihn positiv, denn nur die Größe des Fehlers zählt.
  2. 2.Durch den tatsächlichen Wert teilen: So vergleichst du den Fehler mit der wahren Größe dessen, was du gemessen hast.
  3. 3.Mit 100 multiplizieren: So wird aus der Dezimalzahl ein Prozentwert.
Beispiel: Du schätzt, dass in einem Glas 450 Gummibärchen sind, in Wirklichkeit sind es 500.
∣450−500∣500×100 %=50500×100 %=10 %\frac{|450 - 500|}{500} \times 100\,\% = \frac{50}{500} \times 100\,\% = 10\,\%
Der tatsächliche Wert heißt auch wahrer Wert, Literaturwert oder theoretischer Wert. Der Messwert heißt auch experimenteller Wert oder Schätzwert.
In Prozentuale Zunahme und Abnahme hast du durch den Ausgangswert geteilt und das Vorzeichen behalten (+ für Wachstum, −- für einen Rückgang). Der prozentuale Fehler ist ähnlich, aber er teilt immer durch den tatsächlichen Wert und ist nie negativ: Er beantwortet nur die Frage "Wie groß war der Fehler?"

Lösungsbeispiele

Beim Schulfest schätzt du, dass in einem Glas 450 Gummibärchen sind. Tatsächlich sind es 500. Wie groß ist dein prozentualer Fehler?

1

Bestimme den absoluten Fehler

∣450−500∣=∣−50∣=50|450 - 500| = |-50| = 50 → Absoluter Fehler = 50 Gummibärchen

2

Teile durch den tatsächlichen Wert

50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1

3

Multipliziere mit 100

0,1×100 %=10 %0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%

Häufige Fehler

Durch den Messwert statt durch den tatsächlichen Wert teilen: ∣9,6−9,81∣9,6\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}

Warum es falsch ist: Der prozentuale Fehler vergleicht deinen Fehler mit der WAHREN Größe. Der Messwert ist genau der Wert, der falsch sein kann, also kann er nicht die Bezugsgröße sein.

Richtig: Teile immer durch den tatsächlichen Wert (Literaturwert): ∣9,6−9,81∣9,81×100 %≈2,14 %\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%

Den Betrag vergessen und einen negativen prozentualen Fehler angeben, zum Beispiel −10 %-10\,\%

Warum es falsch ist: Der prozentuale Fehler misst die Größe des Fehlers, nicht seine Richtung. 50 zu wenig ist ein genauso großer Fehler wie 50 zu viel.

Richtig: Rechne mit ∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|. Bei einer Schätzung von 450 und einem tatsächlichen Wert von 500: ∣450−500∣=50|450 - 500| = 50, prozentualer Fehler 10 %10\,\%.

Vergessen, mit 100 zu multiplizieren, und 0,10{,}1 als prozentualen Fehler angeben

Warum es falsch ist: 50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1 ist eine Dezimalzahl, kein Prozentwert. 0,1 %0{,}1\,\% würde einen 100-mal kleineren Fehler bedeuten.

Richtig: Multipliziere mit 100: 0,1×100 %=10 %0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%.

Zu früh runden oder nicht angeben, auf wie viele Nachkommastellen gerundet wurde

Warum es falsch ist: Wenn du 0,219,81\frac{0{,}21}{9{,}81} zuerst auf 0,020{,}02 rundest, erhältst du 2 %2\,\% statt 2,14 %2{,}14\,\%. Und eine Antwort wie 2,1 %2{,}1\,\% ohne Rundungsangabe kann niemand überprüfen.

Richtig: Behalte alle Stellen bis zum letzten Schritt, runde dann einmal und sage, wie: "2,14 %2{,}14\,\%, gerundet auf zwei Nachkommastellen".

Warum es wichtig ist

Jede Messung hat einen gewissen Fehler, und der prozentuale Fehler zeigt dir, ob dieser Fehler klein oder ernst ist:
  • Physik- und Chemielabor: Du misst die Erdbeschleunigung als 9,6 m/s29{,}6\ \text{m/s}^2, der Literaturwert ist aber 9,81 m/s29{,}81\ \text{m/s}^2. Ist dein Versuch gut? Der prozentuale Fehler sagt: Er liegt etwa 2 % daneben.
  • Schätzen: Schätzspiele, Besucherzahlen und Zeitpläne für Projekte lassen sich mit dem prozentualen Fehler bewerten.
  • Qualitätskontrolle: Fabriken prüfen, ob Waagen, Maßstäbe und Maschinen innerhalb eines festen prozentualen Fehlers bleiben, zum Beispiel 1 %.
  • Medizin und Kochen: Eine kleine Dosis oder eine kleine Menge Salz braucht eine viel genauere Messung als eine große.
Derselbe absolute Fehler kann winzig oder riesig sein: 2 cm daneben bei einer Tür ist in Ordnung, 2 cm daneben bei einem Bleistift ist ein großer Fehler. Der prozentuale Fehler macht diesen Vergleich fair.

Anwendungen im echten Leben

Labor: Dichte von Aluminium

Wissenschaftler beurteilen einen Versuch, indem sie ihr Ergebnis mit dem Literaturwert vergleichen. Ein prozentualer Fehler unter etwa 5 % ist im Schullabor meist ein gutes Ergebnis.

Beispiel:

Eine Klasse misst die Schallgeschwindigkeit als 330 m/s330\ \text{m/s}. Der Literaturwert ist 343 m/s343\ \text{m/s}, also beträgt der prozentuale Fehler 13343×100 %≈3,79 %\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%.

1Probiere es selbst

Du misst die Dichte eines Aluminiumklotzes als 2,646 g/cm32{,}646\ \text{g/cm}^3. Der Literaturwert für Aluminium ist 2,70 g/cm32{,}70\ \text{g/cm}^3.

Wie groß ist der prozentuale Fehler deiner Messung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung oder das Ergebnis (in %):

Schätzwettbewerbe

Schätzspiele, Besucherzählungen und Zeitpläne sind alles Schätzungen. Der prozentuale Fehler zeigt, wie gut eine Schätzung war, egal wie groß die Zahlen sind.

Beispiel:

Wenn du 90 Bonbons schätzt und es 100 sind, beträgt dein prozentualer Fehler 10100×100 %=10 %\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%.

2Probiere es selbst

In einem großen Glas auf dem Jahrmarkt sind 1.250 Murmeln. Du schätzt 1.000 Murmeln.

Wie groß ist dein prozentualer Fehler?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung oder das Ergebnis (in %):

Eine Küchenwaage prüfen

Geschäfte, Apotheken und Fabriken prüfen ihre Waagen mit Prüfgewichten, deren Masse genau bekannt ist. Der prozentuale Fehler zeigt, ob die Waage noch benutzt werden darf.

Beispiel:

Eine Apothekenwaage zeigt 101 g für ein 100-g-Prüfgewicht: Der prozentuale Fehler beträgt 1100×100 %=1 %\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%.

3Probiere es selbst

Du legst ein Prüfgewicht von genau 500 g auf eine Küchenwaage. Die Waage zeigt 508 g.

Wie groß ist der prozentuale Fehler der Waage?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Rechnung oder das Ergebnis (in %):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Prozentualer Fehler =∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣tatsa¨chlicher Wert×100 %= \frac{|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|}{\text{tatsächlicher Wert}} \times 100\,\%
  • 2Der absolute Fehler ∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}| ist die Größe des Fehlers in der ursprünglichen Einheit; der prozentuale Fehler vergleicht ihn mit dem tatsächlichen Wert
  • 3Teile immer durch den tatsächlichen Wert (Literaturwert), nie durch den Messwert
  • 4Der prozentuale Fehler ist nie negativ: Gleich viel zu hoch und gleich viel zu niedrig ergeben denselben prozentualen Fehler
  • 5Behalte alle Stellen bis zum Ende, runde dann einmal und gib an, auf wie viele Nachkommastellen
  • 6Der prozentuale Fehler kann über 100 % liegen, wenn eine Schätzung mehr als doppelt so groß ist wie der tatsächliche Wert

Häufig gestellte Fragen

Kann der prozentuale Fehler negativ sein?

Nicht mit der Formel aus dieser Lektion: Der Betrag macht ihn 0 oder positiv. Manche Naturwissenschaftslehrer lassen den Betrag weg, um zu zeigen, ob ein Ergebnis zu hoch (+) oder zu niedrig (−-) war. Bei einem prozentualen Fehler mit Vorzeichen bleibt die Größe gleich, es kommt nur die Richtung dazu.

Kann der prozentuale Fehler über 100 % liegen?

Ja. Wenn der tatsächliche Wert 20 ist und du 50 schätzt, ist der absolute Fehler 30, und 3020×100 %=150 %\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%. Jede Schätzung, die mehr als doppelt so groß ist wie der tatsächliche Wert, ergibt einen prozentualen Fehler über 100 %.

Was ist ein guter prozentualer Fehler?

Das hängt von der Aufgabe ab. Im Schullabor ist unter 5 % meist gut und unter 1 % ausgezeichnet. Bei einem Schätzspiel ist eine Abweichung unter 10 % toll, während eine Medikamentendosis oder eine Präzisionsmaschine unter 0,1 % liegen muss.

Was ist der Unterschied zwischen prozentualem Fehler und prozentualer Änderung?

Die prozentuale Änderung vergleicht einen neuen Wert mit dem Ausgangswert und behält das Vorzeichen: +25 %+25\,\% ist ein Wachstum, −15 %-15\,\% ein Rückgang. Der prozentuale Fehler vergleicht eine Messung mit dem tatsächlichen Wert und verwendet den Betrag, deshalb ist er nie negativ. Bei beiden teilst du durch den Bezugswert und multiplizierst mit 100.

Glossar

Messwert
Der Wert, den du durch eine Messung, einen Versuch oder eine Schätzung erhalten hast (auch experimenteller Wert oder Schätzwert)
Tatsächlicher Wert
Der wahre oder anerkannte Wert, mit dem die Messung verglichen wird (auch wahrer Wert, Literaturwert oder theoretischer Wert)
Absoluter Fehler
Der Abstand zwischen Messwert und tatsächlichem Wert, ∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|, in der ursprünglichen Einheit
Prozentualer Fehler
Der absolute Fehler geteilt durch den tatsächlichen Wert, mal 100 %
Betrag
Der Abstand einer Zahl von null, immer 0 oder positiv: ∣−3∣=3|-3| = 3

Formelkarte

Prozentualer Fehler

Prozentualer Fehler=∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣tatsa¨chlicher Wert×100 %\text{Prozentualer Fehler} = \frac{|\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|}{\text{tatsächlicher Wert}} \times 100\,\%

Wie groß der Fehler ist, in Prozent des tatsächlichen Werts

Absoluter Fehler

Absoluter Fehler=∣Messwert−tatsa¨chlicher Wert∣\text{Absoluter Fehler} = |\text{Messwert} - \text{tatsächlicher Wert}|

Die Größe des Fehlers in der ursprünglichen Einheit (cm, g, Personen)

Rückwärts rechnen

Messwert=tatsa¨chlicher Wert±tatsa¨chlicher Wert×prozentualer Fehler100\text{Messwert} = \text{tatsächlicher Wert} \pm \text{tatsächlicher Wert} \times \frac{\text{prozentualer Fehler}}{100}

Nimm +, wenn die Messung zu hoch war, und $-$, wenn sie zu niedrig war

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