SWS-Kongruenz

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Winkel im $\triangle ABC$ wird von den Seiten $AB$ und $BC$ eingeschlossen?
1. a)Keiner davon
2. b) $\angle A$
3. c) $\angle C$
4. d) $\angle B$
Lösung: $\angle B$
$AB$ und $BC$ treffen sich in $B$ , also ist der eingeschlossene Winkel $\angle B$ .
2.
Welche Angaben beweisen $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SWS?
1. a) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $CA = FD$
2. b) $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
3. c) $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $AB = DE$
4. d) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle A = \angle D$
Lösung: $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
$AB$ und $BC$ treffen sich in $B$ , $DE$ und $EF$ in $E$ , also ist $\angle B = \angle E$ der eingeschlossene Winkel. Die zweite Antwort ist SSW, die dritte WSW und die vierte SSS.
3.
Für $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ gilt $AB = DE = 5$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ und $BC = EF = 12$ cm. Im $\triangle ABC$ ist $AC = 13$ cm. Wie lang ist $DF$ , in cm?
Lösung: 13
Die rechten Winkel liegen zwischen den gleichen Seiten, also gilt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SWS. $DF$ entspricht $AC$ , also ist $DF = 13$ cm.
4.
Die Strecken $AE$ und $BD$ schneiden sich in $C$ . Es ist $\angle ACB = 48°$ . Wie groß ist $\angle DCE$ , in Grad?
Lösung: 48
$\angle ACB$ und $\angle DCE$ sind Scheitelwinkel, also gleich groß: $\angle DCE = 48°$ . Das ist der versteckte Winkel, den SWS-Beweise mit sich kreuzenden Strecken nutzen.
5.
Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seitenpaaren und einem Winkelpaar überein, aber der Winkel liegt nicht zwischen den gleichen Seiten. Was kannst du folgern?
1. a)Kongruent nach WSW
2. b)Nichts Sicheres: das ist SSW
3. c)Kongruent nach SWS
4. d)Kongruent nach SSS
Lösung: Nichts Sicheres: das ist SSW
Das ist SSW, im Allgemeinen kein Kongruenzsatz: Dieselben Angaben können zwei verschiedene Dreiecke ergeben. Sicher ist nichts.
6.
Für $\triangle PQR$ und $\triangle XYZ$ gilt: $PQ = XY$ , $\angle Q = \angle Y$ und $\angle R = \angle Z$ . Welcher Kongruenzsatz beweist $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ ?
1. a)SSS
2. b)WSW
3. c)WWS
4. d)SWS
Lösung: WWS
Die Seite zwischen $\angle Q$ und $\angle R$ wäre $QR$ , bekannt ist aber $PQ$ . Zwei Winkel und eine nicht anliegende Seite: WWS.
7.
Für $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ gilt: $AB = DE$ , $AC = DF$ und $\angle A = \angle D$ . Welche Aussage ist richtig?
1. a) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SWS
2. b) $\triangle ABC \cong \triangle EDF$ nach SWS
3. c) $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ nach SWS
4. d)Zu wenig Angaben: das ist SSW
Lösung: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SWS
$AB$ und $AC$ treffen sich in $A$ , also ist $\angle A$ eingeschlossen: Das ist SWS, nicht SSW. Mit $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ (aus $AB = DE$ ) und $C \leftrightarrow F$ folgt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .
8.
Im Viereck $ABCD$ gilt $AB = CB$ und $\angle ABD = \angle CBD$ . Wie groß ist $\angle BCD$ in Grad, wenn $\angle BAD = 95°$ ist?
Lösung: 95
$AB = CB$ , $\angle ABD = \angle CBD$ und die gemeinsame Seite $BD$ ergeben $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ nach SWS. $\angle BCD$ entspricht $\angle BAD$ , also beträgt er $95°$ .
9.
Die Strecken $AE$ und $BD$ schneiden sich in $C$ , dem Mittelpunkt beider Strecken. Es ist $AB = 3x + 1$ und $ED = 2x + 6$ (in cm). Bestimme $x$ .
Lösung: 5
$AC = CE$ , $BC = CD$ und die Scheitelwinkel bei $C$ ergeben $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ nach SWS, also $AB = ED$ : $3x + 1 = 2x + 6$ , also $x = 5$ (beide Seiten sind dann 16 cm lang).
10.
Wie viele verschiedene Dreiecke $ABC$ gibt es mit $\angle A = 30°$ , $AB = 12$ und $BC = 8$ ?
Lösung: 2
Die Höhe ist $12 : 2 = 6$ . Wegen $6 < 8 < 12$ trifft die Seite $BC$ die Gerade $AC$ in zwei Punkten: 2 Dreiecke. Deshalb ist SSW im Allgemeinen kein Kongruenzsatz.
11.
$\triangle ABC$ : $AB = BC = 7$ cm und $\angle B = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = EF = 7$ cm und $\angle E = 40°$ . Bestimme $\angle D$ .
Lösung: 70
1. An welcher Ecke liegt der Winkel zwischen den Seiten AB und BC? B
2. Welcher Kongruenzsatz beweist die Kongruenz? SWS
3. Wegen AB = BC sind die Winkel bei A und C gleich groß. Wie groß ist ∠A in Grad? 70
4. ∠D entspricht ∠A. Wie groß ist ∠D in Grad? 70
12.
Die Strecken $AE$ und $BD$ schneiden sich in $C$ , mit $AC = CE = 6$ cm und $BC = CD = 4$ cm. Wie lang ist $DE$ , wenn $AB = 8$ cm ist?
Lösung: 8
1. Sind ∠ACB und ∠ECD gleich groß? ja
2. Welcher Kongruenzsatz beweist △ACB ≅ △ECD? SWS
3. Wie lang ist DE in cm? 8
13.
Im Viereck $ABCD$ gilt: $AB = AD$ , $\angle BAC = \angle DAC = 32°$ und $\angle ABC = 118°$ . Bestimme $\angle BCD$ .
Lösung: 60
1. Welche Seite haben △ABC und △ADC gemeinsam? AC
2. Wie groß ist ∠ACB in Grad? 30
3. △ABC ≅ △ADC nach SWS. Wie groß ist ∠ACD in Grad? 30
4. Wie groß ist ∠BCD in Grad? 60
14.
Für $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ gilt $AB = DE = 6$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ und $BC = EF = 8$ cm. Bestimme den Umfang von $\triangle DEF$ .
Lösung: 24
1. Welcher Kongruenzsatz beweist △ABC ≅ △DEF? SWS
2. Wie lang ist AC in cm? 10
3. Wie lang ist DF in cm? 10
4. Wie groß ist der Umfang von △DEF in cm? 24
15.
Für $\triangle PQR$ und $\triangle STU$ gilt $PQ = ST = 10$ und $\angle Q = \angle T = 55°$ . Außerdem ist $QR = 2y + 3$ und $TU = 15$ . Für welches $y$ sind die Dreiecke nach SWS kongruent?
Lösung: 6
1. Welche Seite von △PQR muss gleich TU sein? QR
2. Welchen Wert muss QR haben? 15
3. Löse 2y + 3 = 15. Wie groß ist y? 6
16.
Zwei verschiedene Dreiecke haben $\angle A = 30°$ , $AB = 8$ und $BC = 5$ . Um wie viel ist $AC$ im größeren Dreieck länger als im kleineren?
Lösung: 6
1. Wie groß ist die Höhe von B über der Geraden AC? 4
2. Wie viele verschiedene Dreiecke sind möglich? 2
3. Wie weit ist jeder mögliche Punkt C vom Höhenfußpunkt entfernt? 3
4. Um wie viel ist das größere AC länger als das kleinere? 6
17.
Die Diagonalen $AC$ und $BD$ des Vierecks $ABCD$ schneiden sich in $M$ , dem Mittelpunkt beider Diagonalen. $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 8$ cm und $BC = 5$ cm. Bestimme den Umfang von $ABCD$ .
Lösung: 26
1. Wie lang ist CM in cm? 4.5
2. Welcher Kongruenzsatz beweist △AMB ≅ △CMD? SWS
3. Wie lang ist CD in cm? 8
4. Genauso gilt △BMC ≅ △DMA. Wie lang ist AD in cm? 5
5. Wie groß ist der Umfang von ABCD in cm? 26
18.
Unten werden vier Dreieckspaare beschrieben. Entscheide für jedes Paar, ob die Dreiecke sicher kongruent sind, und zähle dann, wie viele Paare es sind.
Lösung: 2
1. Paar 1: Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen sind gleich. Sicher kongruent? ja
2. Paar 2: Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, sind gleich. Sicher kongruent? nein
3. Paar 3: Alle drei Winkel sind gleich. Sicher kongruent? nein
4. Paar 4: Zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt, sind gleich. Sicher kongruent? ja
5. Wie viele der vier Paare sind sicher kongruent? 2