Leitfaden für Lehrer: SWS-Kongruenz

Beweise die Kongruenz von Dreiecken mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, finde versteckte gleiche Teile und sieh, warum SSW nicht reicht.

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10 Fragen zu Kongruenz & Ähnlichkeit. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Den Kongruenzsatz SWS formulieren und den eingeschlossenen Winkel zweier Seiten bestimmen
Mit einem Gegenbeispiel erklären, warum SSW im Allgemeinen keine Kongruenz beweist
Versteckte gleiche Teile in Figuren finden: Scheitelwinkel, gemeinsame Seiten, Mittelpunkte und Winkelhalbierende
Nach SWS über entsprechende Teile unbekannte Seiten und Winkel bestimmen
Aus den gegebenen Angaben den passenden Kongruenzsatz (SSS, SWS, WSW, WWS) wählen

Voraussetzungen

• Einführung in die Kongruenz: was kongruente Figuren sind und das Zeichen für Kongruenz
• Kongruente Dreiecke: entsprechende Teile und Kongruenzaussagen
• WSW- und WWS-Kongruenz: anliegende und gegenüberliegende Teile
• Winkelsumme im Dreieck und Scheitelwinkel

Diskussionsstarter

1. Du kennst zwei Seitenlängen eines Dreiecks. Was musst du noch wissen, um genau ein Dreieck zeichnen zu können?
2. Warum ist es wichtig, ob der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt oder nicht?
3. Findest du Scheitelwinkel oder gemeinsame Seiten in deiner Umgebung, zum Beispiel bei einer Schere oder einem Fensterrahmen?
4. Wie könntest du die Breite eines Flusses messen, ohne ihn zu überqueren?

Häufige Missverständnisse

Zwei beliebige Seiten und ein beliebiger Winkel beweisen die Kongruenz

Abhilfe: Konstruiere den SSW-Fall mit dem Zirkel: Zeichne einen $30°$ -Winkel, trage $AB = 10$ ab und schlage von $B$ aus einen Kreis mit Radius $6$ . Die Schüler sehen, dass der Kreis den anderen Schenkel zweimal schneidet und zwei Dreiecke entstehen.

SWS und SSW sind dasselbe, nur anders geschrieben

Abhilfe: Betone, dass die Buchstaben Lagen beschreiben, keine bloße Liste. Bei SWS steht das W zwischen den beiden S, bei SSW nicht. Lass die Schüler die beiden Seiten farbig markieren und prüfen, ob der Winkel dort liegt, wo sie sich treffen.

Nur Teile mit angegebenen Zahlen zählen

Abhilfe: Zeige Figuren mit sich kreuzenden Strecken und gemeinsamen Seiten. Lass die Schüler jedes gleiche Paar markieren, bevor sie einen Kongruenzsatz nennen, auch die, die niemand aufgeschrieben hat.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Gib eine Checkliste: Finde die beiden Seiten, finde ihren gemeinsamen Punkt, liegt der Winkel an diesem Punkt?
• Markiere jedes Paar entsprechender Teile in einer eigenen Farbe
• Beginne mit gleich ausgerichteten Dreiecken, bevor gedrehte oder gespiegelte folgen

Für Schüler auf Niveau:

• Mische Fälle mit SSS, SWS, WSW, WWS und SSW und lass die Schüler sie sortieren
• Schreibe kurze Beweise, die Scheitelwinkel oder eine gemeinsame Seite verwenden
• Bestimme nach SWS fehlende Seiten und Winkel über entsprechende Teile

Für fortgeschrittene Schüler:

• Untersuche, wann SSW null, ein oder zwei Dreiecke ergibt, indem du die gegenüberliegende Seite mit der Höhe vergleichst
• Beweise mit SWS und der Winkelhalbierenden, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich groß sind
• Zeige mit SWS, dass in einem Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, gegenüberliegende Seiten gleich lang sind

Standardausrichtung

HSG-CO.B.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.7)
Mit der Definition der Kongruenz über Kongruenzabbildungen zeigen, dass zwei Dreiecke genau dann kongruent sind, wenn entsprechende Seiten und Winkel kongruent sind
HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)
Erklären, wie die Kongruenzsätze (WSW, SWS und SSS) aus der Definition der Kongruenz über Kongruenzabbildungen folgen
HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze für Dreiecke nutzen, um Probleme zu lösen und Beziehungen in geometrischen Figuren zu beweisen

Lektionsressourcen

visualSWS-Dreieckspaar
Zwei Dreiecke mit markierten gleichen Seiten und eingeschlossenem Winkel; das zweite ist gedreht und gespiegelt
activityStrohhalme mit Scharnier
Die Schüler kleben zwei Strohhalme mit festem Winkel zusammen und vergleichen die dritte Seite, dann probieren sie SSW mit einem schwingenden Strohhalm
worksheetJagd auf versteckte Teile
Figuren mit Scheitelwinkeln und gemeinsamen Seiten; die Schüler markieren jedes gleiche Paar und benennen den Kongruenzsatz

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Der Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) besagt: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem Winkel zwischen diesen Seiten überein, dann sind die Dreiecke kongruent.

\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DEF

Der Winkel muss der eingeschlossene Winkel sein: der Winkel, den die beiden gegebenen Seiten bilden. Sein Scheitel ist der Punkt, den beide Seiten gemeinsam haben. Für die Seiten

AB

und

BC

ist das der Punkt

B

, also ist der eingeschlossene Winkel

\angle B

Warum es funktioniert: Stell dir zwei Stäbe vor, die durch ein Scharnier verbunden sind. Sobald die Längen der Stäbe und die Öffnung des Scharniers feststehen, ist auch der Abstand der freien Enden festgelegt. Die dritte Seite hat nur eine mögliche Länge, also gibt es nur ein mögliches Dreieck.

Vorsicht: Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt (SSW), beweisen im Allgemeinen keine Kongruenz. Die Seite gegenüber dem Winkel kann manchmal in zwei verschiedene Lagen schwingen, und es entstehen zwei verschiedene Dreiecke.

Lösungsbeispiele

\triangle ABC

AB = 6

cm,

\angle B = 50°

BC = 8

cm. Im

\triangle DEF

DE = 6

cm,

\angle E = 50°

EF = 8

cm. Sind die Dreiecke kongruent? Wie lang ist

DF

, wenn

AC \approx 6{,}2

cm ist?

Notiere die übereinstimmenden Teile

AB = DE = 6

cm,

BC = EF = 8

cm,

\angle B = \angle E = 50°

→ Zwei Seitenpaare und ein Winkelpaar

Prüfe, ob der Winkel eingeschlossen ist

Die Seiten

AB

und

BC

treffen sich in

B

; die Seiten

DE

und

EF

treffen sich in

E

→

\angle B

und

\angle E

sind die eingeschlossenen Winkel

Wende SWS an

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein →

\triangle ABC \cong \triangle DEF

Nutze die entsprechenden Teile

AC

entspricht

DF

(erster und dritter Buchstabe) →

DF = AC \approx 6{,}2

Antwort: Ja, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SWS, also ist $DF \approx 6{,}2$ cm.

Häufige Fehler

SWS verwenden, obwohl der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegt

Warum es falsch ist: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW) können zwei verschiedene Dreiecke beschreiben, wie das Beispiel mit $30°$ , $10$ und $6$ zeigt.

Richtig: Suche den Punkt, den beide Seiten gemeinsam haben. Nur der Winkel an diesem Scheitel darf für SWS verwendet werden.

Die Ecken in falscher Reihenfolge zuordnen

Warum es falsch ist: Wer $\triangle ABC \cong \triangle FED$ schreibt, obwohl $B$ zu $E$ und $A$ zu $D$ gehört, ordnet falsche Teile einander zu und zieht falsche Schlüsse.

Richtig: Schreibe die Ecken in passender Reihenfolge. Gilt $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ , dann schreibe $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

Denken, es fehlen Angaben, weil ein Teil nicht in der Aufgabe steht

Warum es falsch ist: Scheitelwinkel und gemeinsame Seiten sind gleich, auch wenn es niemand hinschreibt. Wer sie übersieht, gibt einen Beweis auf, der eigentlich funktioniert.

Richtig: Suche vor der Entscheidung nach sich kreuzenden Strecken (Scheitelwinkel) und nach einer Seite, die zu beiden Dreiecken gehört (gemeinsame Seite).

Entsprechende Teile gleichsetzen, bevor die Kongruenz bewiesen ist

Warum es falsch ist: Entsprechende Teile sind nur gleich, weil die Dreiecke kongruent sind. Ohne diesen Nachweis setzt du voraus, was du beweisen willst.

Richtig: Beweise zuerst $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (zum Beispiel mit SWS) und folgere dann die übrigen gleichen Teile.

Warum es wichtig ist

SWS gehört zu den meistgenutzten Werkzeugen in Geometriebeweisen, weil die nötigen Angaben oft gratis mitgeliefert werden:

Scheitelwinkel: Wenn sich zwei Strecken kreuzen, sind gegenüberliegende Winkel gleich, also hast du den Winkel schon
Gemeinsame Seiten: Wenn zwei Dreiecke eine Seite teilen, ist diese Seite zu sich selbst kongruent
Mittelpunkte und Winkelhalbierende: Ein Mittelpunkt liefert zwei gleiche Strecken, eine Winkelhalbierende zwei gleiche Winkel

Sobald SWS zwei Dreiecke als kongruent beweist, sind auch alle anderen entsprechenden Teile gleich (entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent). So messen Landvermesser über einen Teich, den sie nicht durchqueren können, und so wissen Handwerker, dass zwei Klappgestelle mit gleichem Öffnungswinkel identisch sind.

Anwendungen im echten Leben

Klappgestelle

Böcke, Leitern und Staffeleien bestehen aus zwei Beinen, die durch ein Scharnier verbunden sind. Die Beinlängen und der Öffnungswinkel bestimmen die ganze Form.

Beispiel:

Zwei Staffeleien haben jeweils Beine von 150 cm, die am Scharnier um $25°$ geöffnet sind. Nach SWS sind die entstehenden Dreiecke kongruent, also stehen ihre Füße gleich weit auseinander.

1Probiere es selbst

Ein Tischler baut zwei Arbeitsböcke. Jeder hat zwei Beine von 90 cm, und beide sind so arretiert, dass der Winkel am Scharnier $30°$ beträgt.

Welcher Kongruenzsatz garantiert, dass die beiden Böcke identisch sind?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle den Kongruenzsatz:

Über einen Teich messen

Landvermesser nutzen SWS, um eine Strecke zu bestimmen, die sie nicht abgehen können: Sie bauen eine kongruente Kopie des Dreiecks auf trockenem Boden.

Beispiel:

Um $AB$ über einen Teich zu messen, wählt man einen Punkt $C$ an Land. Man verlängert $AC$ über $C$ hinaus bis $D$ mit $CD = AC$ und $BC$ über $C$ hinaus bis $E$ mit $CE = BC$ . Die Winkel bei $C$ sind Scheitelwinkel, also gilt $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ nach SWS und $DE = AB$ .

2Probiere es selbst

Eine Vermesserin misst vom Punkt $C$ aus $AC = 30$ m und $BC = 24$ m. Sie markiert $D$ und $E$ wie beschrieben und misst dann $DE = 42$ m.

Wie breit ist der Teich von $A$ bis $B$ , in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib die Länge von $AB$ in Metern ein:

Uhrzeiger

Die beiden Zeiger einer Uhr sind zwei Seiten mit fester Länge, und die Uhrzeit legt den Winkel zwischen ihnen fest.

Beispiel:

Um 2:00 Uhr und um 10:00 Uhr beträgt der Winkel zwischen den Zeigern beide Male $60°$ , also sind die Zeigerspitzen nach SWS zu beiden Zeiten gleich weit voneinander entfernt.

3Probiere es selbst

Eine Uhr hat einen Stundenzeiger von 3 cm und einen Minutenzeiger von 4 cm. Um 3:00 Uhr bilden die Zeiger einen rechten Winkel, und ihre Spitzen sind 5 cm voneinander entfernt.

Wie weit, in cm, sind die Spitzen um 9:00 Uhr voneinander entfernt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den Abstand in cm ein:

Wichtige Erkenntnisse

1SWS: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, dann sind sie kongruent
2Der eingeschlossene Winkel liegt am gemeinsamen Punkt der beiden Seiten: Für $AB$ und $BC$ ist es $\angle B$
3SSW ist im Allgemeinen kein Kongruenzsatz: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel können zwei verschiedene Dreiecke ergeben
4Achte auf versteckte gleiche Teile: Scheitelwinkel an Kreuzungen, eine gemeinsame Seite, Mittelpunkte und Winkelhalbierende
5Nach dem Kongruenzbeweis gilt: entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent, so findest du die übrigen Seiten und Winkel
6Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, WWS. Keine Kongruenzsätze: SSW (allgemein) und WWW

Häufig gestellte Fragen

Warum ist SSW kein Kongruenzsatz?

Weil die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel wie ein Zirkel schwingen und die dritte Seite in zwei Punkten treffen kann. Mit

\angle A = 30°

AB = 10

und

BC = 6

erhältst du zwei Dreiecke, eines mit

AC \approx 5{,}34

und eines mit

AC \approx 11{,}98

Funktioniert SSW manchmal doch?

Ja, in einem Sonderfall: Liegt der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüber, ist nur ein Dreieck möglich. Das ist der Kongruenzsatz SsW, den du vielleicht aus dem Unterricht kennst. Ein bekanntes Beispiel ist ein rechter Winkel gegenüber der Hypotenuse. Ohne diese Bedingung darfst du SSW nicht verwenden.

Ist SWS ein Axiom oder ein Satz?

Viele Lehrbücher nehmen SWS als Axiom (Grundregel ohne Beweis) und beweisen damit WSW und SSS. Euklid hat ihn als Proposition 4 bewiesen, indem er ein Dreieck auf das andere legte. In jedem Fall darfst du ihn in Beweisen benutzen.

Wie wähle ich zwischen SSS, SWS, WSW und WWS?

Zähle, was du kennst. Drei Seiten: SSS. Zwei Seiten: Prüfe, ob der bekannte Winkel zwischen ihnen liegt (SWS) oder nicht (SSW, im Allgemeinen keine Aussage). Zwei Winkel: Prüfe, ob die bekannte Seite zwischen ihnen liegt (WSW) oder nicht (WWS).

Glossar

SWS-Kongruenz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
Eingeschlossener Winkel: Der Winkel, den zwei gegebene Seiten bilden; sein Scheitel ist ihr gemeinsamer Endpunkt
SSW: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel; im Allgemeinen kein Kongruenzsatz, weil zwei verschiedene Dreiecke möglich sind
Scheitelwinkel: Die gegenüberliegenden Winkel an zwei sich schneidenden Geraden; sie sind immer gleich groß
Gemeinsame Seite: Eine Seite, die zu zwei Dreiecken gleichzeitig gehört; sie ist zu sich selbst kongruent
Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke: Sind zwei Dreiecke als kongruent bewiesen, dann sind alle einander entsprechenden Seiten und Winkel gleich

Formelkarte

Kongruenzsatz SWS

AB = DE,\ \angle B = \angle E,\ BC = EF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen

Kongruenzsätze

\text{SSS},\ \text{SWS},\ \text{WSW},\ \text{WWS}

Jeder legt genau ein Dreieck fest

Keine Kongruenzsätze

\text{SSW},\ \text{WWW}

SSW kann zwei Dreiecke ergeben; WWW legt die Form fest, aber nicht die Größe

Entsprechende Teile

\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AC = DF,\ \angle A = \angle D,\ \angle C = \angle F

Erst nach bewiesener Kongruenz verwenden

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Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Klappgestelle

Über einen Teich messen

Uhrzeiger

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Kongruenzsatz SWS

Kongruenzsätze

Keine Kongruenzsätze

Entsprechende Teile

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