Wenn-dann-Aussagen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Voraussetzung der Aussage "Wenn es regnet, dann wird das Fußballspiel abgesagt"?
1. a)Es regnet
2. b)Das Fußballspiel wird abgesagt
3. c)Das Spiel wird nicht abgesagt
4. d)Es regnet nicht
Lösung: Es regnet
Die Voraussetzung ist die Bedingung nach "wenn": es regnet. "Das Fußballspiel wird abgesagt" ist die Folgerung.
2.
Ergänze die Wenn-dann-Aussage so, dass sie wahr ist: Wenn $x = 4$ , dann ist $3x - 2 = \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 10
$3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$ , die wahre Aussage lautet also: Wenn $x = 4$ , dann ist $3x - 2 = 10$ .
3.
Prüfe die Aussage "Wenn $x = 6$ , dann ist $2x + 3 = 15$ ", indem du $2x + 3$ für $x = 6$ berechnest.
Lösung: 15
1. Was ist $2 \times 6$ ? 12
2. Was ist $12 + 3$ ? 15
4.
Welcher Satz ist "Alle Quadrate sind Rechtecke" in Wenn-dann-Form?
1. a)Wenn eine Figur vier Seiten hat, dann ist sie ein Quadrat
2. b)Wenn eine Figur ein Rechteck ist, dann ist sie ein Quadrat
3. c)Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck
4. d)Wenn eine Figur kein Quadrat ist, dann ist sie kein Rechteck
Lösung: Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck
Der Satz geht von Quadraten aus, also ist die Voraussetzung "eine Figur ist ein Quadrat" und die Folgerung "sie ist ein Rechteck". Die zweite Antwort vertauscht die beiden Teile, das ergibt eine andere (und falsche) Aussage.
5.
Die Wahrheitstabelle von $p \to q$ hat 4 Zeilen. In wie vielen dieser Zeilen ist $p \to q$ falsch?
Lösung: 1
Nur die Zeile mit $p$ wahr und $q$ falsch ergibt eine falsche Implikation. Die anderen 3 Zeilen sind wahr.
6.
Die Regel eines Shops: Wenn deine Bestellung mindestens 30 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos. Du kaufst ein Buch für 12 € und ein Spiel für 15 €. Wie viele Euro musst du noch ausgeben, damit der Versand kostenlos ist?
Lösung: 3
1. Wie hoch ist deine Summe bisher in Euro? 27
2. Wie viele Euro fehlen bis 30? 3
7.
In welchem Fall ist die Implikation $p \to q$ falsch?
1. a) $p$ falsch, $q$ wahr
2. b) $p$ wahr, $q$ falsch
3. c) $p$ wahr, $q$ wahr
4. d) $p$ falsch, $q$ falsch
Lösung: $p$ wahr, $q$ falsch
Eine Implikation ist nur gebrochen, wenn die Voraussetzung eintritt und die Folgerung nicht: $p$ wahr und $q$ falsch. Wenn $p$ falsch ist, ist die Implikation wahr, egal was $q$ ist.
8.
Die Aussage "Wenn eine natürliche Zahl größer als 5 ist, dann ist sie größer als 8" ist falsch. Was ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Gegenbeispiel ist?
Lösung: 6
Ein Gegenbeispiel macht die Voraussetzung wahr ( $n > 5$ ) und die Folgerung falsch ( $n \leq 8$ ). Das tun die Zahlen 6, 7 und 8, die kleinste ist 6.
9.
Behauptung: Wenn eine natürliche Zahl durch 2 teilbar ist, dann ist sie durch 4 teilbar. Finde das kleinste positive Gegenbeispiel.
Lösung: 2
1. Was ist die kleinste positive natürliche Zahl, die durch 2 teilbar ist? 2
2. Welchen Rest erhältst du, wenn du 2 durch 4 teilst? 2
3. Welche Zahl ist also das kleinste Gegenbeispiel? 2
10.
Mia sagt: "Wenn ich meine Hausaufgaben fertig mache, dann gehe ich ins Kino." Sie hat ihre Hausaufgaben nicht fertig gemacht, ist aber trotzdem ins Kino gegangen. Ist ihre Aussage wahr oder falsch?
1. a)Das kann man nicht sagen, denn die Voraussetzung ist falsch
2. b)Falsch, denn sie hat ihre Hausaufgaben nicht fertig gemacht
3. c)Wahr, denn die Voraussetzung ist falsch, also ist das Versprechen nicht gebrochen
4. d)Falsch, denn sie ist ins Kino gegangen
Lösung: Wahr, denn die Voraussetzung ist falsch, also ist das Versprechen nicht gebrochen
Die Voraussetzung "ich mache meine Hausaufgaben fertig" ist falsch und die Folgerung "ich gehe ins Kino" ist wahr. Das ist der Fall F → W, und in diesem Fall ist eine Implikation wahr. Mia hat nur versprochen, was passiert, wenn sie fertig ist.
11.
Die Regel eines Ladens: Wenn du mindestens 3 Hefte kaufst, dann kostet jedes Heft 2 € statt 3 €. Du kaufst 4 Hefte. Wie viele Euro zahlst du insgesamt?
Lösung: 8
$4 \geq 3$ , die Voraussetzung ist also wahr und die Folgerung gilt: Jedes Heft kostet 2 €. $4 \times 2 = 8$ €.
12.
Aussage: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 6 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 3. Prüfe die Aussage für die Zahl 42: Teile 42 zuerst durch 6, dann durch 3. Was ist $42 \div 3$ ?
Lösung: 14
1. Prüfe die Voraussetzung: Was ist $42 \div 6$ ? 7
2. Die Voraussetzung ist wahr. Prüfe jetzt die Folgerung: Was ist $42 \div 3$ ? 14
13.
Regel: Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein. Um 7:00 Uhr hat der Raum 23 °C, und die Temperatur sinkt jede Stunde um 2 °C. Nach wie vielen vollen Stunden schaltet sich die Heizung zum ersten Mal ein?
Lösung: 3
1. Wie hoch ist die Temperatur nach 1 Stunde, in °C? 21
2. Wie hoch ist die Temperatur nach 2 Stunden, in °C? 19
3. Wie hoch ist die Temperatur nach 3 Stunden, in °C? 17
4. Nach wie vielen Stunden liegt die Temperatur zum ersten Mal unter 18 °C? 3
14.
Welche Zahl ist ein Gegenbeispiel zur Aussage "Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann ist sie ungerade"?
1. a)3
2. b)2
3. c)15
4. d)9
Lösung: 2
2 ist eine Primzahl, denn ihre einzigen Teiler sind 1 und 2, die Voraussetzung ist also wahr. Aber 2 ist gerade, also ist die Folgerung falsch. 3 ist eine Primzahl und ungerade, 9 und 15 sind keine Primzahlen, also widerlegt keine von ihnen die Aussage.
15.
Behauptung: Wenn $n$ eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann ist $n^2 + n + 1$ eine Primzahl. Was ist das kleinste Gegenbeispiel $n$ ?
Lösung: 4
$n = 2$ : $4 + 2 + 1 = 7$ , Primzahl. $n = 3$ : $9 + 3 + 1 = 13$ , Primzahl. $n = 4$ : $16 + 4 + 1 = 21 = 3 \times 7$ , keine Primzahl. Also macht $n = 4$ die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch.
16.
Behauptung: Wenn $n$ eine positive natürliche Zahl ist, dann ist $2^n + 1$ eine Primzahl. Teste $n = 1, 2, 3$ und finde das kleinste Gegenbeispiel.
Lösung: 3
1. Was ist $2^1 + 1$ ? 3
2. Was ist $2^2 + 1$ ? 5
3. Was ist $2^3 + 1$ ? 9
4. 3 und 5 sind Primzahlen, 9 aber nicht. Für welches $n$ ist die Folgerung falsch? 3
17.
Aussage: Wenn $x > 2$ , dann ist $x^2 > 9$ . Welche der natürlichen Zahlen 3, 4 und 5 ist ein Gegenbeispiel?
Lösung: 3
1. Alle drei Zahlen sind größer als 2, die Voraussetzung ist also für jede wahr. Was ist $3^2$ ? 9
2. Was ist $4^2$ ? 16
3. Was ist $5^2$ ? 25
4. Welche der Zahlen 3, 4 und 5 ergibt ein Quadrat, das NICHT größer als 9 ist? 3
18.
Vier Karten haben auf einer Seite eine Zahl und auf der anderen eine Farbe. Du siehst: 4, 7, rot, blau. Regel: Wenn eine Karte auf einer Seite eine gerade Zahl hat, dann ist ihre andere Seite rot. Welche Karten musst du umdrehen, um die Regel zu prüfen, und wie viele sind es?
Lösung: 2
1. Nur eine gerade Zahl macht die Voraussetzung wahr. Welche Zahlenkarte musst du umdrehen? Gib ihre Zahl ein. 4
2. Eine blaue Karte bricht die Regel, wenn sie eine gerade Zahl versteckt. Mit der 4 und der blauen Karte: Wie viele Karten musst du umdrehen? 2