Induktives Denken

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches dieser Beispiele ist induktives Denken?
1. a)Wenn x + 3 = 7 ist, dann ist x = 4.
2. b)Alle Quadrate haben 4 Seiten. Diese Figur ist ein Quadrat, also hat sie 4 Seiten.
3. c)Jedes Vielfache von 10 endet auf 0. 70 ist ein Vielfaches von 10, also endet 70 auf 0.
4. d)Der Bus war diese Woche jeden Morgen zu spät, also ist er morgen wahrscheinlich auch zu spät.
2.
Nutze die Vermutung "die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist $n^2$ ", um $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ zu berechnen, ohne Zahl für Zahl zu addieren.
3.
Punkte werden in Dreiecken angeordnet: Figur 1 hat $1$ Punkt, Figur 2 hat $3$ Punkte, Figur 3 hat $6$ Punkte und Figur 4 hat $10$ Punkte. Wie viele Punkte hat Figur 6, wenn sich das Muster fortsetzt?
4.
Welche Zahl ist ein Gegenbeispiel zur Vermutung "alle Primzahlen sind ungerade"?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
5.
Vermutung: "Verdoppeln macht eine Zahl immer größer." Welche Zahl ist gleich ihrem Doppelten und damit ein Gegenbeispiel?
6.
Eine Sonnenblume ist nach Woche 1 $2$ cm hoch, nach Woche 2 $5$ cm, nach Woche 3 $8$ cm und nach Woche 4 $11$ cm. Wie hoch ist sie nach Woche 8 (in cm), wenn sich das Muster fortsetzt?
7.
Vermutung: Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist $n^2$ . Prüfe sie mit $n = 5$ und sage damit die Summe der ersten $20$ ungeraden Zahlen voraus.
8.
Tom rechnet $1 + 5$ , $9 + 3$ und $15 + 7$ , erhält jedes Mal eine gerade Zahl und schließt: "Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade." Welche Denkweise hat Tom benutzt?
1. a)Zirkelschluss
2. b)Vollständige Induktion
3. c)Induktives Denken
4. d)Deduktives Denken
9.
Ein Dreieck hat $0$ Diagonalen, ein Viereck $2$ , ein Fünfeck $5$ , ein Sechseck $9$ , ein Siebeneck $14$ und ein Achteck $20$ . Setze das Muster fort: Wie viele Diagonalen hat ein Neuneck?
10.
Sieh dir diese Produkte an: $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Stelle eine Vermutung auf und sage $11111 \times 11111$ voraus.
11.
Lena behauptet: "Quadrieren macht eine Zahl immer größer." Prüfe ihre Behauptung mit $\frac{1}{2}$ : Was ist $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Schreibe die Antwort als Bruch.
12.
Der Term $n^2 + n + 41$ liefert für jedes $n$ von $0$ bis $39$ eine Primzahl. Für $n = 40$ ergibt er $1681$ . Welche Aussage ist richtig?
1. a)Die Vermutung ist bewiesen, weil sie für n = 0 bis 39 gestimmt hat
2. b)Ein Gegenbeispiel reicht nicht, um die Vermutung zu verwerfen
3. c)1681 ist eine Primzahl, also gilt die Vermutung weiter
4. d)1681 = 41 × 41, also ist n = 40 ein Gegenbeispiel
13.
Auf einer Party gibt jeder jedem anderen genau einmal die Hand. Bei $2$ Personen gibt es $1$ Handschlag, bei $3$ Personen $3$ und bei $4$ Personen $6$ Handschläge. Wie viele Handschläge gibt es bei $10$ Personen?
14.
Prüfe die Vermutung " $n^2 + n + 41$ ist immer eine Primzahl" Schritt für Schritt und finde den Wert, der sie bei $n = 40$ widerlegt.
15.
Aus den Fällen $0, 2, 5, 9$ (Vielecke mit $3$ bis $6$ Ecken) haben wir vermutet, dass ein Vieleck mit $n$ Ecken $\frac{n(n - 3)}{2}$ Diagonalen hat. Nutze das: Wie viele Diagonalen hat ein Vieleck mit $12$ Ecken?
16.
Sam bemerkt: $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , alles Primzahlen. Er vermutet: "Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist $2^p - 1$ eine Primzahl." Welcher Wert von $p$ ist ein Gegenbeispiel?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
17.
Setze Punkte auf einen Kreis und verbinde jedes Punktepaar mit einer Strecke. Zähle die Gebiete im Kreis: $1$ Punkt ergibt $1$ Gebiet, $2$ Punkte ergeben $2$ , $3$ Punkte $4$ , $4$ Punkte $8$ , $5$ Punkte $16$ . Eine sorgfältige Zeichnung mit $6$ Punkten, so gesetzt, dass sich nie drei Strecken in einem Punkt schneiden, zeigt $31$ Gebiete. Prüfe die Verdopplungs-Vermutung: Um wie viele Gebiete liegt ihre Vorhersage daneben?
18.
Vermutung: "Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist immer das $3$ -Fache der mittleren Zahl." Prüfe sie induktiv und nutze dann die deduktive Version, um $49 + 50 + 51$ zu bestimmen.