Induktives Denken

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches dieser Beispiele ist induktives Denken?
1. a)Wenn x + 3 = 7 ist, dann ist x = 4.
2. b)Alle Quadrate haben 4 Seiten. Diese Figur ist ein Quadrat, also hat sie 4 Seiten.
3. c)Jedes Vielfache von 10 endet auf 0. 70 ist ein Vielfaches von 10, also endet 70 auf 0.
4. d)Der Bus war diese Woche jeden Morgen zu spät, also ist er morgen wahrscheinlich auch zu spät.
Lösung: Der Bus war diese Woche jeden Morgen zu spät, also ist er morgen wahrscheinlich auch zu spät.
Das Busbeispiel nutzt mehrere einzelne Beobachtungen (die Morgen dieser Woche), um vorherzusagen, was wahrscheinlich passiert. Die anderen drei gehen von einer allgemeinen Regel oder einer Gleichung aus und kommen zu einer Schlussfolgerung, die wahr sein muss: Das ist deduktives Denken.
2.
Nutze die Vermutung "die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist $n^2$ ", um $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ zu berechnen, ohne Zahl für Zahl zu addieren.
Lösung: 36
Es sind $6$ ungerade Zahlen, also liefert die Vermutung $6^2 = 36$ . Das Addieren bestätigt es: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ .
3.
Punkte werden in Dreiecken angeordnet: Figur 1 hat $1$ Punkt, Figur 2 hat $3$ Punkte, Figur 3 hat $6$ Punkte und Figur 4 hat $10$ Punkte. Wie viele Punkte hat Figur 6, wenn sich das Muster fortsetzt?
Lösung: 21
1. Wie viele Punkte kommen von Figur 3 zu Figur 4 dazu? 4
2. Es kommen $2, 3, 4$ Punkte dazu. Wie viele Punkte hat Figur 5? 15
3. Wie viele Punkte hat Figur 6? 21
4.
Welche Zahl ist ein Gegenbeispiel zur Vermutung "alle Primzahlen sind ungerade"?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
Lösung: 2
$2$ ist eine Primzahl (ihre einzigen Teiler sind $1$ und $2$ ) und gerade, also widerlegt sie die Vermutung. $9$ und $15$ sind ungerade, aber keine Primzahlen, und $7$ ist eine ungerade Primzahl, also ist keine davon ein Gegenbeispiel.
5.
Vermutung: "Verdoppeln macht eine Zahl immer größer." Welche Zahl ist gleich ihrem Doppelten und damit ein Gegenbeispiel?
Lösung: 0
$2 \times 0 = 0$ , also wird $0$ durch Verdoppeln nicht größer. Ein Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass die Vermutung falsch ist. (Auch negative Zahlen widerlegen sie: $2 \times (-3) = -6$ , und das ist kleiner.)
6.
Eine Sonnenblume ist nach Woche 1 $2$ cm hoch, nach Woche 2 $5$ cm, nach Woche 3 $8$ cm und nach Woche 4 $11$ cm. Wie hoch ist sie nach Woche 8 (in cm), wenn sich das Muster fortsetzt?
Lösung: 23
1. Wie viele Zentimeter wächst die Sonnenblume pro Woche? 3
2. Wie hoch ist sie nach Woche 5? 14
3. Wie hoch ist sie nach Woche 8? 23
7.
Vermutung: Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist $n^2$ . Prüfe sie mit $n = 5$ und sage damit die Summe der ersten $20$ ungeraden Zahlen voraus.
Lösung: 400
1. Was ist $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ ? 25
2. $25$ ist das Quadrat welcher Zahl? 5
3. Was ist laut Vermutung die Summe der ersten 20 ungeraden Zahlen? 400
8.
Tom rechnet $1 + 5$ , $9 + 3$ und $15 + 7$ , erhält jedes Mal eine gerade Zahl und schließt: "Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade." Welche Denkweise hat Tom benutzt?
1. a)Zirkelschluss
2. b)Vollständige Induktion
3. c)Induktives Denken
4. d)Deduktives Denken
Lösung: Induktives Denken
Tom ist von drei einzelnen Fällen zu einer allgemeinen Schlussfolgerung gekommen: Das ist induktives Denken. Seine Vermutung stimmt zwar, aber drei Beispiele beweisen sie nicht. Die vollständige Induktion ist trotz ihres Namens ein deduktives Beweisverfahren.
9.
Ein Dreieck hat $0$ Diagonalen, ein Viereck $2$ , ein Fünfeck $5$ , ein Sechseck $9$ , ein Siebeneck $14$ und ein Achteck $20$ . Setze das Muster fort: Wie viele Diagonalen hat ein Neuneck?
Lösung: 27
Die Differenzen wachsen um $1$ : Die nächste ist $7$ , also $20 + 7 = 27$ . Die Formel $\frac{n(n - 3)}{2}$ stimmt damit überein: $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ .
10.
Sieh dir diese Produkte an: $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Stelle eine Vermutung auf und sage $11111 \times 11111$ voraus.
Lösung: 123454321
1. Was ist die mittlere (größte) Ziffer von $1234321$ ? 4
2. Welche mittlere Ziffer erwartest du bei fünf Einsen? 5
3. Schreibe das vorhergesagte Ergebnis von $11111 \times 11111$ auf. 123454321
11.
Lena behauptet: "Quadrieren macht eine Zahl immer größer." Prüfe ihre Behauptung mit $\frac{1}{2}$ : Was ist $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Schreibe die Antwort als Bruch.
Lösung: 1/4
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , und $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ . Also ist $\frac{1}{2}$ ein Gegenbeispiel: Quadrieren macht eine Zahl zwischen $0$ und $1$ kleiner.
12.
Der Term $n^2 + n + 41$ liefert für jedes $n$ von $0$ bis $39$ eine Primzahl. Für $n = 40$ ergibt er $1681$ . Welche Aussage ist richtig?
1. a)Die Vermutung ist bewiesen, weil sie für n = 0 bis 39 gestimmt hat
2. b)Ein Gegenbeispiel reicht nicht, um die Vermutung zu verwerfen
3. c)1681 ist eine Primzahl, also gilt die Vermutung weiter
4. d)1681 = 41 × 41, also ist n = 40 ein Gegenbeispiel
Lösung: 1681 = 41 × 41, also ist n = 40 ein Gegenbeispiel
$40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41$ , und das ist keine Primzahl. Also ist $n = 40$ ein Gegenbeispiel, und ein Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass "immer eine Primzahl" falsch ist, egal wie viele Fälle vorher gestimmt haben.
13.
Auf einer Party gibt jeder jedem anderen genau einmal die Hand. Bei $2$ Personen gibt es $1$ Handschlag, bei $3$ Personen $3$ und bei $4$ Personen $6$ Handschläge. Wie viele Handschläge gibt es bei $10$ Personen?
Lösung: 45
1. Die Differenzen sind $2$ und $3$ . Wie viele Handschläge gibt es bei $5$ Personen? 10
2. Wie viele Handschläge gibt es bei $6$ Personen? 15
3. Die Vermutung $\frac{n(n - 1)}{2}$ passt zu allen diesen Fällen. Nutze sie für $n = 10$ . 45
14.
Prüfe die Vermutung " $n^2 + n + 41$ ist immer eine Primzahl" Schritt für Schritt und finde den Wert, der sie bei $n = 40$ widerlegt.
Lösung: 1681
1. Was ergibt $n^2 + n + 41$ für $n = 1$ ? 43
2. Was ergibt $n^2 + n + 41$ für $n = 5$ ? 71
3. Was ergibt $n^2 + n + 41$ für $n = 40$ ? 1681
4. Was ist $1681 \div 41$ ? 41
15.
Aus den Fällen $0, 2, 5, 9$ (Vielecke mit $3$ bis $6$ Ecken) haben wir vermutet, dass ein Vieleck mit $n$ Ecken $\frac{n(n - 3)}{2}$ Diagonalen hat. Nutze das: Wie viele Diagonalen hat ein Vieleck mit $12$ Ecken?
Lösung: 54
$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$ . Diese Vermutung ist auch deduktiv bewiesen: Von jeder der $n$ Ecken gehen $n - 3$ Diagonalen aus, und jede Diagonale wird doppelt gezählt.
16.
Sam bemerkt: $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , alles Primzahlen. Er vermutet: "Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist $2^p - 1$ eine Primzahl." Welcher Wert von $p$ ist ein Gegenbeispiel?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
Lösung: p = 11
$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ ist keine Primzahl, also widerlegt $p = 11$ die Vermutung. Die anderen liefern Primzahlen: $2^{13} - 1 = 8191$ , $2^{17} - 1 = 131071$ , $2^{19} - 1 = 524287$ . Vier passende Fälle reichten nicht aus.
17.
Setze Punkte auf einen Kreis und verbinde jedes Punktepaar mit einer Strecke. Zähle die Gebiete im Kreis: $1$ Punkt ergibt $1$ Gebiet, $2$ Punkte ergeben $2$ , $3$ Punkte $4$ , $4$ Punkte $8$ , $5$ Punkte $16$ . Eine sorgfältige Zeichnung mit $6$ Punkten, so gesetzt, dass sich nie drei Strecken in einem Punkt schneiden, zeigt $31$ Gebiete. Prüfe die Verdopplungs-Vermutung: Um wie viele Gebiete liegt ihre Vorhersage daneben?
Lösung: 1
1. Mit welcher Zahl wird jede Anzahl multipliziert, um die nächste zu erhalten? 2
2. Was sagt die Verdopplungs-Vermutung für $6$ Punkte voraus? 32
3. Die Zeichnung zeigt $31$ Gebiete. Um wie viele Gebiete liegt die Vorhersage daneben? 1
18.
Vermutung: "Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist immer das $3$ -Fache der mittleren Zahl." Prüfe sie induktiv und nutze dann die deduktive Version, um $49 + 50 + 51$ zu bestimmen.
Lösung: 150
1. Was ist $4 + 5 + 6$ ? 15
2. Was ist $15 \div 3$ ? (Vergleiche mit der mittleren Zahl.) 5
3. Prüfe einen weiteren Fall: Was ist $20 + 21 + 22$ ? 63
4. Deduktiv: $(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ . Bestimme damit $49 + 50 + 51$ . 150