Leitfaden für Lehrer: Muster erkennen

Lerne, die Regel hinter Zahlen- und Formenmustern zu finden, sie an jedem Glied zu prüfen und vorherzusagen, was als Nächstes kommt.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Logisches Denken. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Regel von Additions-, Subtraktions-, Multiplikations-, abwechselnden und wachsenden Zahlenmustern erkennen
Ein Muster fortsetzen, indem man die nächsten Glieder vorhersagt
Das 10. Glied eines Additionsmusters finden, ohne alle Glieder aufzuschreiben
Prüfen, ob eine vorgeschlagene Regel für jedes Glied eines Musters gilt
Muster auf Kalender, Fliesenmuster und das Sparen von Geld anwenden

Voraussetzungen

• Einführung in das logische Denken: der Unterschied zwischen induktivem und deduktivem Denken
• Deduktives Denken: eine allgemeine Regel auf einen bestimmten Fall anwenden
• Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen
• Division mit Rest

Diskussionsstarter

1. Wo siehst du Muster in deinem Alltag, zu Hause oder in der Schule?
2. Wenn dir jemand 2, 4, ... sagt und nach der nächsten Zahl fragt, wie viele verschiedene Antworten könnten richtig sein?
3. Warum reicht es nicht, eine Regel an den ersten zwei Gliedern zu prüfen?
4. Wie könntest du das 100. Glied von 3, 7, 11, 15 finden, ohne alle Glieder aufzuschreiben?
5. Kannst du ein Muster erfinden, das für deine Freundin oder deinen Freund schwer zu erraten ist? Was macht es schwer?

Häufige Missverständnisse

Jedes Zahlenmuster ist ein Additionsmuster

Abhilfe: Zeige $3, 6, 12, 24$ neben $3, 6, 9, 12$ . Lass die Kinder bei beiden die Differenzen berechnen und sehen, dass nur das zweite gleiche Differenzen hat.

Das n-te Glied ist das erste Glied plus n Schritte

Abhilfe: Nutze eine Leiter oder eine Stuhlreihe: Von Stuhl 1 zu Stuhl 10 sind es 9 Schritte. Prüfe die Methode an einem Glied, das du schon kennst, zum Beispiel am 3. Glied.

Eine Regel, die zu den ersten zwei Gliedern passt, ist bewiesen

Abhilfe: Spielt Errate meine Regel mit 1, 2, ... und zeigt dann 4 (Verdoppeln) oder 3 (plus 1). So lernen die Kinder, nach mehr Gliedern zu fragen und jedes Paar zu prüfen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne nur mit Additionsmustern und schreibe die Differenzen in einer anderen Farbe
• Lege jede Figur eines Fliesenmusters mit Plättchen oder Fliesen nach
• Gib die Regel vor und frage zuerst nur nach dem nächsten Glied, bevor du nach der Regel fragst

Für Schüler auf Niveau:

• Additions-, Multiplikations- und abwechselnde Muster auf einem Arbeitsblatt mischen
• Das 10. Glied von Additionsmustern finden und an einem bekannten Glied prüfen
• Kalender- und Sparaufgaben mit Mustern lösen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Das 50. oder 100. Glied eines Additionsmusters finden
• Mit Mustern arbeiten, deren Differenzen wachsen, zum Beispiel Quadratzahlen $1, 4, 9, 16$
• Eigene Musterrätsel mit einer versteckten Regel für die Klasse erfinden

Standardausrichtung

4.OA.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.C.5)
Ein Zahlen- oder Formenmuster nach einer gegebenen Regel erzeugen und Eigenschaften des Musters erkennen, die nicht ausdrücklich in der Regel stehen
5.OA.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.5.OA.B.3)
Zwei Zahlenmuster nach zwei gegebenen Regeln erzeugen und Beziehungen zwischen einander entsprechenden Gliedern erkennen
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Strukturen suchen und nutzen
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Regelmäßigkeiten in wiederholten Überlegungen suchen und ausdrücken

Lektionsressourcen

visualFolgen-Visualisierung
Ändere das erste Glied und den Schritt und beobachte, wie die Glieder und Balken wachsen
activityErrate meine Regel
Ein Kind wählt heimlich eine Regel und nennt die Glieder nacheinander; die Klasse errät die Regel und prüft sie am nächsten Glied
worksheetMuster-Detektive
Gemischte Muster, bei denen die Kinder die Differenzen aufschreiben, die Regel benennen und das 10. Glied finden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Muster ist eine Folge von Zahlen oder Formen, die einer Regel folgt. Jedes Element der Folge heißt Glied.

Um ein Muster zu erkennen, schaust du, wie sich jedes Glied in das nächste verwandelt:

Additionsmuster: Es wird immer dieselbe Zahl addiert. $5, 9, 13, 17$ (plus $4$ )
Subtraktionsmuster: Es wird immer dieselbe Zahl abgezogen. $30, 25, 20, 15$ (minus $5$ )
Multiplikationsmuster: Jedes Glied wird mit derselben Zahl multipliziert. $3, 6, 12, 24$ (mal $2$ )
Abwechselndes Muster: Zwei Schritte wechseln sich ab. $10, 13, 11, 14, 12$ (plus $3$ , minus $2$ )
Wachsendes Muster: Der Schritt selbst wird größer. $1, 2, 4, 7, 11$ (plus $1$ , dann $2$ , dann $3$ , dann $4$ )
Sich wiederholendes Muster: Ein Block wiederholt sich immer wieder, zum Beispiel Kreis, Quadrat, Dreieck, Kreis, Quadrat, Dreieck

Eine Regel zählt nur, wenn sie für jedes Glied gilt, nicht nur für die ersten zwei. Eine Regel aus Beispielen zu finden ist induktives Denken; sie an allen Gliedern zu prüfen, schützt dich vor Fehlern.

Lösungsbeispiele

Finde die Regel und die nächsten zwei Glieder: $5, 9, 13, 17, \ldots$

Bestimme die Änderung zwischen Nachbarn

$9 - 5 = 4$ , $13 - 9 = 4$ , $17 - 13 = 4$ → Die Differenz ist immer $4$

Formuliere die Regel

Jedes Glied ist um $4$ größer als das vorherige → Regel: Beginne bei $5$ , addiere $4$

Setze das Muster mit der Regel fort

$17 + 4 = 21$ , $21 + 4 = 25$ → $21$ und $25$

Antwort: Die Regel lautet plus $4$ . Die nächsten zwei Glieder sind $21$ und $25$ .

Häufige Fehler

Eine Regel wählen, nachdem man nur die ersten zwei Glieder angeschaut hat

Warum es falsch ist: Bei $2, 4, 8, 16$ ist der erste Sprung $+2$ , aber $4 + 2 = 6$ , nicht $8$ . Zu zwei Zahlen passen viele Regeln.

Richtig: Prüfe die Regel an jedem Paar von Nachbarn. Hier passt $\times 2$ zu allen: $2, 4, 8, 16$ .

Für das 10. Glied $10$ Sprünge verwenden

Warum es falsch ist: Das erste Glied ist schon da. Von Glied $1$ bis Glied $10$ sind es nur $9$ Sprünge.

Richtig: 10. Glied $=$ erstes Glied $+ 9 \times$ Schritt. Für $4, 7, 10, \ldots$ : $4 + 9 \times 3 = 31$ , nicht $4 + 10 \times 3 = 34$ .

Denken, dass jedes Muster dieselbe Zahl addiert

Warum es falsch ist: Bei $2, 6, 18, 54$ sind die Differenzen $4, 12, 36$ , also ist es kein Additionsmuster.

Richtig: Wenn die Differenzen nicht gleich sind, probiere Multiplizieren (hier $\times 3$ ), abwechselnde Schritte oder wachsende Differenzen.

Vergessen, wo man in einem abwechselnden Muster steht

Warum es falsch ist: Bei $10, 13, 11, 14, 12, 15$ hängt der nächste Schritt vom letzten ab. Noch einmal $+3$ ergibt $18$ , und das ist falsch.

Richtig: Schreibe die Änderungen unter die Glieder ( $+3, -2, +3, \ldots$ ) und setze den Wechsel fort: $15 - 2 = 13$ .

Warum es wichtig ist

Muster sind überall, und wer sie erkennt, spart Zeit:

Kalender: Jeder Montag eines Monats liegt $7$ Tage nach dem vorigen, so findest du jedes Datum, ohne Tag für Tag zu zählen
Fliesen und Bauen: Wenn jede neue Reihe eines Bodens $3$ Fliesen mehr braucht, kannst du planen, wie viele Fliesen du kaufen musst
Geld sparen: Wenn du jede Woche denselben Betrag in die Spardose legst, kannst du vorhersagen, wann du dein Ziel erreichst
Musik und Kunst: Rhythmen und Bordüren sind sich wiederholende Muster
Wissenschaft und Computer: Forschende suchen Muster in Daten, und Computer werden trainiert, Muster in Bildern und Geräuschen zu erkennen

Muster erkennen ist der erste Schritt des logischen Denkens: Du bemerkst eine Regel, prüfst sie und nutzt sie dann zum Vorhersagen.

Anwendungen im echten Leben

Kalender

Derselbe Wochentag kommt alle $7$ Tage wieder, deshalb bilden die Daten dieses Wochentags ein Additionsmuster.

Beispiel:

Wenn der erste Montag eines Monats der $3$ . ist, sind die Montage der $3$ ., $10$ ., $17$ ., $24$ . und $31$ .

1Probiere es selbst

Der erste Samstag eines Monats ist der $6$ . Schwimmunterricht ist an jedem Samstag.

Auf welches Datum fällt der 4. Samstag des Monats?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei $6$ und addiere $3$ Sprünge zu je $7$ Tagen:

Fliesen und Muster beim Bauen

Handwerker und Designer verwenden Fliesenmuster für Böden, Wege und Wände und müssen wissen, wie viele Fliesen jeder Teil braucht.

Beispiel:

Ein Weg, bei dem jeder neue Abschnitt $2$ Fliesen mehr braucht, verwendet $6, 8, 10, 12, \ldots$ Fliesen. So lässt sich jeder Abschnitt vorhersagen, ohne ihn zu zeichnen.

2Probiere es selbst

Ein Fliesenmuster hat $5$ Fliesen in Figur 1, $8$ Fliesen in Figur 2 und $11$ Fliesen in Figur 3.

Wie viele Fliesen hat Figur 6?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei $5$ und addiere $5$ Sprünge zu je $3$ :

Geld sparen

Wer jede Woche denselben Betrag spart, lässt den Inhalt der Spardose in einem Additionsmuster wachsen.

Beispiel:

Mit 10 € am Anfang und 4 € pro Woche sind es nach den Wochen 1 bis 4 insgesamt 14 €, 18 €, 22 € und 26 €.

3Probiere es selbst

Nora hat 15 € in ihrer Spardose. Sie legt jede Woche 5 € dazu.

Wie viel Geld hat sie nach 8 Wochen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei $15$ und addiere $8$ Sprünge zu je $5$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Muster folgt einer Regel, und jedes Element darin heißt Glied
2Schau zuerst auf die Differenzen zwischen Nachbarn: Gleiche Differenzen bedeuten ein Additions- oder Subtraktionsmuster
3Wenn die Differenzen nicht gleich sind, probiere Multiplizieren, abwechselnde Schritte oder wachsende Differenzen
4Eine Regel ist nur richtig, wenn sie für jedes Glied gilt, nicht nur für die ersten zwei
5Für das 10. Glied eines Additionsmusters addierst du $9$ Schritte zum ersten Glied
6Bei einem sich wiederholenden Muster teilst du die Position durch die Länge des Blocks und nutzt den Rest

Häufig gestellte Fragen

Wie fange ich an, wenn ich ein neues Muster sehe?

Schreibe die Differenz zwischen je zwei benachbarten Gliedern unter die Folge. Sind alle gleich, hast du ein Additions- oder Subtraktionsmuster. Wenn nicht, probiere Multiplizieren oder suche ein Muster in den Differenzen.

Kann ein Muster mehr als eine Regel haben?

Bei nur zwei oder drei Gliedern ja, dann können mehrere Regeln passen. Deshalb brauchst du genug Glieder und musst deine Regel an allen prüfen. Zu

2, 4

passt

+2

oder

\times 2

, aber zu

2, 4, 8

passt nur

\times 2

Warum addiere ich für das 10. Glied 9 Schritte und nicht 10?

Das erste Glied ist schon da. Um von Glied

1

zu Glied

10

zu kommen, machst du

9

Sprünge, so wie du von der 1. zur 10. Sprosse einer Leiter steigst.

Wie finde ich die 20. Form in einem sich wiederholenden Muster?

Zähle die Formen in einem Block. Bei Kreis, Quadrat, Dreieck hat der Block

3

Formen.

20 \div 3 = 6

Rest

2

, also ist die 20. Form die 2. Form des Blocks: ein Quadrat.

Glossar

Muster: Eine Folge von Zahlen oder Formen, die einer Regel folgt
Glied: Ein Element eines Musters; das 1. Glied ist das erste Element, das 2. Glied das nächste und so weiter
Regel: Die Anweisung, wie man von einem Glied zum nächsten kommt, zum Beispiel plus $4$ oder mal $2$
Differenz: Das Ergebnis, wenn man ein Glied vom nächsten abzieht, zum Beispiel $9 - 5 = 4$
Abwechselndes Muster: Ein Muster, bei dem sich zwei verschiedene Schritte abwechseln, zum Beispiel $+3$ , $-2$ , $+3$ , $-2$
Sich wiederholendes Muster: Ein Muster, bei dem sich derselbe Block wiederholt, zum Beispiel rot, blau, rot, blau

Formelkarte

Differenzen prüfen

\text{Differenz} = \text{nächstes Glied} - \text{Glied}

Sind alle Differenzen gleich, addiert (oder subtrahiert) das Muster diese Zahl

10. Glied eines Additionsmusters

\text{10. Glied} = \text{1. Glied} + 9 \times \text{Schritt}

Vom 1. bis zum 10. Glied sind es 9 Sprünge

Position in einem sich wiederholenden Muster

\text{Position} \div \text{Blocklänge} = \ldots \text{ Rest } r

Der Rest $r$ sagt dir, welches Element des Blocks es ist; Rest $0$ bedeutet das letzte Element

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Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Kalender

Fliesen und Muster beim Bauen

Geld sparen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Differenzen prüfen

10. Glied eines Additionsmusters

Position in einem sich wiederholenden Muster

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Deduktives Denken

Wenn-dann-Aussagen

Umkehrung und Inversion