Leitfaden für Lehrer: Syllogismen

Lerne die vier kategorischen Aussagen und die Teile eines Syllogismus kennen und prüfe die Gültigkeit mit Venn-Diagrammen und dem Kettenschluss.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Logisches Denken. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Unterbegriff, Oberbegriff und Mittelbegriff sowie Obersatz und Untersatz eines Syllogismus bestimmen
Kategorische Aussagen als A, E, I oder O einordnen und jede mit Bereichen des Venn-Diagramms beschreiben
Die Gültigkeit eines kategorischen Syllogismus mit einem Venn-Diagramm aus drei Kreisen prüfen
Ungültige Formen wie den nicht verteilten Mittelbegriff und zwei partikuläre Prämissen erkennen
Ein gültiges von einem stichhaltigen Argument unterscheiden und den hypothetischen Syllogismus auf Ketten von Wenn-dann-Aussagen anwenden

Voraussetzungen

• Deduktives Denken: Prämissen, Schlussfolgerungen und die Idee eines gültigen Arguments
• Wenn-dann-Aussagen und die Kontraposition
• Venn-Diagramme mit zwei Mengen: Schnittmenge, Vereinigung und der Bereich außerhalb
• Einfache Teilbarkeitsregeln (2, 3, 4, 6, 12)

Diskussionsstarter

1. Kann ein Argument mit falscher Schlussfolgerung gültig sein? Kann ein Argument mit wahrer Schlussfolgerung ungültig sein? Nenne je ein Beispiel.
2. Warum schraffieren wir die Prämissen mit alle und kein, bevor wir das x für eine Prämisse mit einige setzen?
3. "Alle Hunde sind Tiere, alle Katzen sind Tiere, also sind alle Katzen Hunde" klingt albern. Warum kann dieselbe Form mit anderen Wörtern überzeugend klingen?
4. Wo hast du in einem Geometriebeweis schon eine Kette von Wenn-dann-Aussagen benutzt?

Häufige Missverständnisse

Wenn ich der Schlussfolgerung zustimme, ist das Argument gültig

Abhilfe: Gib Paare von Argumenten mit derselben Form, aber anderen Wörtern, eines mit glaubwürdiger und eines mit absurder Schlussfolgerung. Die Schüler sehen, dass die Form über die Gültigkeit entscheidet, nicht das Thema.

Einige bedeutet ein paar, aber nicht alle

Abhilfe: Vereinbart in der Klasse, dass einige mindestens eins bedeutet. Zeige, dass "einige Quadrate sind Rechtecke" wahr ist, obwohl alle Quadrate Rechtecke sind.

Das x für eine Prämisse mit einige darf irgendwo in die Überschneidung

Abhilfe: Bestehe darauf, zuerst die allgemeinen Prämissen zu schraffieren. Ist die Überschneidung danach noch in zwei nicht schraffierte Bereiche geteilt, kommt das x auf die Linie dazwischen. Die Lage ist dann unbekannt, und man kann nichts daraus ablesen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Diagrammen aus zwei Kreisen und einzelnen Aussagen, bevor ihr zu drei Kreisen übergeht
• Nutze konkrete Gruppen (Figuren, Tiere, Schul-AGs) und echte Gegenstände oder Namenskarten in Reifen
• Gib die nummerierte Bereichstabelle vor, damit die Schüler nur entscheiden müssen, welche Nummern sie schraffieren

Für Schüler auf Niveau:

• 8 bis 10 Syllogismen nur mit Buchstaben prüfen und notieren, welche Bereiche schraffiert sind
• Für jeden ungültigen Syllogismus ein Gegenbeispiel finden
• Venn-Zählaufgaben lösen, in denen Aussagen mit alle und kein einige Bereiche leeren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Erklären, warum mindestens eine Prämisse allgemein sein muss und warum aus zwei verneinten Prämissen nichts folgt
• Den Existenzanspruch untersuchen: Wann ergibt alle $M$ sind $P$ , alle $S$ sind $M$ die Aussage einige $S$ sind $P$ ?
• Einen kurzen Geometriebeweis als Kette hypothetischer Syllogismen schreiben

Standardausrichtung

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Tragfähige Argumente aufbauen und die Argumentation anderer kritisch beurteilen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Auf Genauigkeit achten
HSS.CP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.CP.A.1)
Ereignisse als Teilmengen eines Ergebnisraums mit Vereinigung, Schnitt und Komplement beschreiben

Lektionsressourcen

visualVorlage für drei Kreise
Ein druckbares Diagramm mit den nummerierten Bereichen 1 bis 8 zum Schraffieren der Prämissen und Setzen der x-Markierungen
activitySyllogismen sortieren
Gruppen sortieren 16 Argumentkarten in gültig und ungültig und benennen bei jedem ungültigen den Fehler
worksheetGültig, stichhaltig oder keins von beidem?
Die Schüler prüfen die Form mit einem Venn-Diagramm und beurteilen dann, ob die Prämissen wahr sind

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Syllogismus ist ein deduktives Argument mit genau zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung. Ein kategorischer Syllogismus spricht über Gruppen und verwendet genau drei Begriffe:

den Unterbegriff $S$ : das Subjekt der Schlussfolgerung
den Oberbegriff $P$ : das Prädikat der Schlussfolgerung
den Mittelbegriff $M$ : er kommt in beiden Prämissen vor, aber nie in der Schlussfolgerung

Die Prämisse mit

P

heißt Obersatz, die Prämisse mit

S

heißt Untersatz.

Jede Aussage in einem kategorischen Syllogismus hat eine von vier Formen (die Buchstaben A, E, I, O sind die traditionellen Kürzel, aus den lateinischen Wörtern *affirmo*, ich bejahe, und *nego*, ich verneine: A und I bejahen, E und O verneinen):

Kürzel	Aussage	Was sie über die Gruppen sagt
A	Alle $S$ sind $P$	kein Element von $S$ liegt außerhalb von $P$
E	Kein $S$ ist $P$	$S$ und $P$ haben kein gemeinsames Element
I	Einige $S$ sind $P$	mindestens ein Element liegt in $S$ und in $P$
O	Einige $S$ sind nicht $P$	mindestens ein Element von $S$ liegt außerhalb von $P$

Gültigkeit mit einem Venn-Diagramm prüfen. Zeichne drei sich überschneidende Kreise

S

M

und

P

. Sie bilden 8 Bereiche:

Bereich	Innerhalb	Außerhalb
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	keiner
8	keiner	$S$ , $M$ , $P$

Schraffiere (markiere als leer) zuerst jeden Bereich, den eine Prämisse mit alle oder kein ausschließt. Setze dann für jede Prämisse mit einige ein x, aber nur dort, wo das x in genau einen Bereich gezwungen wird. Der Syllogismus ist gültig, wenn das fertige Diagramm die Schlussfolgerung bereits zeigt, ohne dass du noch etwas einzeichnest.

Klassische gültige Form:

\text{Alle } M \text{ sind } P,\quad \text{alle } S \text{ sind } M \quad\Rightarrow\quad \text{alle } S \text{ sind } P

Dieselbe Kette funktioniert auch für Wenn-dann-Aussagen. Das ist der hypothetische Syllogismus (Kettenschluss):

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Lösungsbeispiele

Alle Vögel können fliegen. Alle Pinguine sind Vögel. Also können alle Pinguine fliegen. Nenne die drei Begriffe und die beiden Prämissen. Ist das Argument gültig? Ist die Schlussfolgerung wahr?

Finde Unter- und Oberbegriff in der Schlussfolgerung

Schlussfolgerung: Alle Pinguine (Subjekt) sind Tiere, die fliegen können (Prädikat) → $S$ = Pinguine, $P$ = Tiere, die fliegen können

Finde den Mittelbegriff

Der Begriff, der in beiden Prämissen, aber nicht in der Schlussfolgerung steht, ist Vögel → $M$ = Vögel

Benenne die Prämissen

Alle Vögel können fliegen enthält $P$ ; alle Pinguine sind Vögel enthält $S$ → Obersatz: Alle Vögel können fliegen. Untersatz: Alle Pinguine sind Vögel.

Schreibe die Form mit Buchstaben

Alle $M$ sind $P$ , alle $S$ sind $M$ , also sind alle $S$ $P$ → Die klassische gültige Form: Das Argument ist gültig

Prüfe, ob die Prämissen wahr sind

Der Obersatz ist falsch: Pinguine und Strauße sind Vögel, die nicht fliegen können → Gültig, aber nicht stichhaltig, und die Schlussfolgerung ist falsch

Antwort: $S$ = Pinguine, $P$ = Tiere, die fliegen können, $M$ = Vögel. Das Argument ist gültig (richtige Form), aber der Obersatz ist falsch. Es ist also nicht stichhaltig, und seine Schlussfolgerung ist falsch.

Häufige Fehler

Ein Argument gültig nennen, weil seine Schlussfolgerung wahr ist

Warum es falsch ist: Gültigkeit hängt von der Form ab, nicht von den Tatsachen. "Alle Rosen sind Blumen. Einige Blumen verwelken schnell. Also verwelken einige Rosen schnell." hat eine glaubwürdige Schlussfolgerung, aber die Form ist ungültig: Die schnell verwelkenden Blumen könnten alle Tulpen sein.

Richtig: Ersetze die Wörter durch $S$ , $M$ , $P$ und prüfe die Form mit dem Venn-Diagramm. Erst danach fragst du, ob die Prämissen wahr sind.

Zwei Gruppen über einen Mittelbegriff verbinden, der nur als "sind $M$ " vorkommt (nicht verteilter Mittelbegriff)

Warum es falsch ist: Alle $S$ sind $M$ und alle $P$ sind $M$ setzen $S$ und $P$ nur irgendwo in $M$ . Sie können in ganz verschiedenen Teilen von $M$ liegen, wie Katzen und Hunde innerhalb der Säugetiere.

Richtig: Der Mittelbegriff muss mindestens einmal seine ganze Gruppe erfassen: Er muss Subjekt einer Aussage mit alle oder kein sein oder Prädikat einer Aussage mit kein oder einige nicht.

Aus zwei Prämissen mit einige etwas folgern

Warum es falsch ist: Einige $S$ sind $M$ und einige $M$ sind $P$ können von verschiedenen Elementen von $M$ handeln. Mit $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ sind beide Prämissen wahr, aber kein Element von $S$ liegt in $P$ .

Richtig: Mindestens eine Prämisse muss allgemein sein (alle oder kein). Aus zwei partikulären Prämissen oder aus zwei verneinten Prämissen folgt nie etwas.

Eine Aussage mit alle umdrehen

Warum es falsch ist: Alle Quadrate sind Rechtecke heißt nicht, dass alle Rechtecke Quadrate sind. Im Diagramm leert alle $S$ sind $P$ nur den Teil von $S$ außerhalb von $P$ ; der Teil von $P$ außerhalb von $S$ kann weiterhin Elemente haben.

Richtig: Aussagen mit kein und einige darf man umdrehen (kein $S$ ist $P$ bedeutet kein $P$ ist $S$ ; einige $S$ sind $P$ bedeutet einige $P$ sind $S$ ), Aussagen mit alle und einige nicht dagegen nicht.

Warum es wichtig ist

Syllogismen sind die kleinsten Bausteine jedes logischen Beweises, und sie stecken in vielen alltäglichen Argumenten:

Geometriebeweise: Jedes Quadrat ist ein Rechteck und jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, also ist jedes Quadrat ein Parallelogramm. Lange Beweise sind Ketten solcher Schritte.
Suchfilter und Datenbanken: Wenn jeder Artikel mit dem Etikett wasserdicht auch das Etikett Outdoor trägt, enthält eine Suche nach Outdoor-Artikeln bereits alle wasserdichten Artikel.
Regeln und Gesetze: Eine Regel (alle Besucher unter 12 brauchen eine erwachsene Begleitung) und eine Tatsache (Mia ist eine Besucherin unter 12) ergeben eine Schlussfolgerung über Mia.
Programmieren: Wenn jedes Square-Objekt ein Shape ist, dann kannst du alles, was mit einem Shape geht, auch mit einem Square machen.
Schlechte Argumente erkennen: Werbung und Debatten benutzen oft ungültige Formen wie "alle gesunden Snacks sind fettarm, unser Keks ist fettarm, also ist unser Keks gesund". Wer die Formen kennt, sieht die Lücke sofort.

Ein Venn-Diagramm macht aus einer Frage über Wörter eine Frage über schraffierte Bereiche. So kannst du ein Argument prüfen, statt dich darauf zu verlassen, wie es klingt.

Anwendungen im echten Leben

Schul-AGs und Umfragen

Wenn eine Schule AG-Mitglieder zählt, zeigen Aussagen wie "alle Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG", welche Bereiche des Venn-Diagramms leer sind. So zählst du niemanden doppelt.

Beispiel:

Kein Mitglied der Theater-AG ist in der Mathe-AG, und alle Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG. Nach dem Syllogismus (kein $M$ ist $P$ , alle $S$ sind $M$ ) ist kein Mitglied der Robotik-AG in der Theater-AG.

1Probiere es selbst

Eine Klasse hat $50$ Schüler. Alle $12$ Mitglieder der Robotik-AG sind in der Mathe-AG, die $30$ Mitglieder hat. Kein Mitglied der Theater-AG ( $9$ Schüler) ist in der Mathe-AG.

Wie viele Schüler sind in keiner der drei AGs?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Schüler ohne AG als einen Term:

Suchfilter in Onlineshops

Shopkategorien bilden Gruppen in Gruppen. Wenn jeder wasserdichte Artikel auch ein Outdoor-Artikel ist, enthält der Filter Outdoor bereits jeden wasserdichten Artikel. Hier arbeitet der Syllogismus alle $S$ sind $M$, alle $M$ sind $P$.

Beispiel:

Alle Regenjacken im Shop sind wasserdichte Artikel, und alle wasserdichten Artikel sind Outdoor-Artikel. Also erscheinen alle Regenjacken im Outdoor-Filter.

2Probiere es selbst

Ein Shop hat $120$ Outdoor-Artikel. Alle $45$ wasserdichten Artikel sind Outdoor-Artikel. $18$ der wasserdichten Artikel sind im Angebot, und $10$ Outdoor-Artikel, die nicht wasserdicht sind, sind im Angebot.

Wie viele Outdoor-Artikel sind im Angebot, und wie viele Outdoor-Artikel sind weder wasserdicht noch im Angebot?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der Outdoor-Artikel im Angebot als Summe:

E-Mail-Filter und Regelketten

E-Mail-Programme folgen Ketten von Wenn-dann-Regeln. Der hypothetische Syllogismus ($p \to q$, $q \to r$, also $p \to r$) sagt dir, wo eine Nachricht landet, ohne dass du jede Regel einzeln durchgehst.

Beispiel:

Wenn eine E-Mail einen Link von einem unbekannten Absender enthält, wird sie markiert. Wenn eine E-Mail markiert ist, kommt sie in die Quarantäne. Also kommt jede E-Mail mit einem Link von einem unbekannten Absender in die Quarantäne.

3Probiere es selbst

Eine Schule bekommt an einem Tag $200$ E-Mails. $35$ davon enthalten einen Link von einem unbekannten Absender, und jede solche E-Mail wird markiert. $15$ andere E-Mails werden wegen eines verdächtigen Anhangs markiert. Jede markierte E-Mail kommt in die Quarantäne, und nur markierte E-Mails kommen dorthin.

Wie viele E-Mails erreichen den Posteingang?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Anzahl der E-Mails im Posteingang als einen Term:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Syllogismus hat zwei Prämissen und eine Schlussfolgerung; ein kategorischer Syllogismus benutzt drei Begriffe: Unterbegriff $S$ , Oberbegriff $P$ und Mittelbegriff $M$
2Die vier Aussagetypen sind A (alle $S$ sind $P$ ), E (kein $S$ ist $P$ ), I (einige $S$ sind $P$ ) und O (einige $S$ sind nicht $P$ )
3Zum Prüfen der Gültigkeit schraffierst du die Bereiche, die Prämissen mit alle und kein leeren, setzt ein x für Prämissen mit einige und prüfst, ob das Diagramm die Schlussfolgerung schon zeigt
4Alle $M$ sind $P$ , alle $S$ sind $M$ , also alle $S$ sind $P$ ist gültig; alle $S$ sind $M$ , alle $P$ sind $M$ , also alle $S$ sind $P$ ist ungültig (nicht verteilter Mittelbegriff)
5Gültig bedeutet, dass die Schlussfolgerung wahr sein muss, wenn die Prämissen wahr sind; stichhaltig bedeutet gültig mit wahren Prämissen
6Der hypothetische Syllogismus (Kettenschluss) verknüpft Wenn-dann-Aussagen: aus $p \to q$ und $q \to r$ folgt $p \to r$

Häufig gestellte Fragen

Kann ein gültiger Syllogismus eine falsche Schlussfolgerung haben?

Ja, wenn mindestens eine Prämisse falsch ist. "Alle Vögel können fliegen, alle Pinguine sind Vögel, also können alle Pinguine fliegen" ist gültig, hat aber eine falsche Schlussfolgerung. Unmöglich ist nur ein gültiges Argument mit wahren Prämissen und falscher Schlussfolgerung.

Bedeutet "einige" so viel wie "nicht alle"?

Nein. In der Logik bedeutet einige

S

sind

P

, dass mindestens ein

S

ein

P

ist, und die Aussage bleibt wahr, wenn alle

S

P

sind. Aus einige

S

sind

P

folgt nicht einige

S

sind nicht

P

Darf ich aus alle $M$ sind $P$ und alle $S$ sind $M$ folgern, dass einige $S$ $P$ sind?

Nur wenn du weißt, dass

S

mindestens ein Element hat. In der modernen Logik behauptet alle

S

sind

P

nicht, dass es überhaupt ein

S

gibt (alle Einhörner sind Tiere ist wahr, obwohl es keine Einhörner gibt). Das Venn-Diagramm zeigt das: Die Prämissen schraffieren Bereiche, setzen aber kein x.

Wie viele gültige kategorische Syllogismen gibt es?

Jede der drei Aussagen hat einen der vier Typen (

4 \times 4 \times 4 = 64

Kombinationen), und der Mittelbegriff kann an vier verschiedenen Stellen stehen. Das ergibt

64 \times 4 = 256

Formen. Nur

15

davon sind in der modernen Logik gültig (

24

, wenn man annimmt, dass jede Gruppe mindestens ein Element hat). Deshalb ist eine Prüfung mit dem Diagramm sicherer, als sich darauf zu verlassen, wie ein Argument klingt.

Glossar

Syllogismus: Ein deduktives Argument mit genau zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung
Kategorische Aussage: Eine Aussage der Form alle $S$ sind $P$ , kein $S$ ist $P$ , einige $S$ sind $P$ oder einige $S$ sind nicht $P$
Mittelbegriff: Der Begriff, der in beiden Prämissen, aber nicht in der Schlussfolgerung vorkommt; er verbindet die beiden anderen Begriffe
Obersatz und Untersatz: Der Obersatz enthält das Prädikat $P$ der Schlussfolgerung, der Untersatz ihr Subjekt $S$
Nicht verteilter Mittelbegriff: Eine ungültige Form, in der der Mittelbegriff nie seine ganze Gruppe erfasst, zum Beispiel alle $S$ sind $M$ , alle $P$ sind $M$
Hypothetischer Syllogismus: Der Kettenschluss für Wenn-dann-Aussagen: aus $p \to q$ und $q \to r$ folgt $p \to r$

Formelkarte

Klassische gültige Form

Alle

M

sind

P

, alle

S

sind

M

\Rightarrow

alle

S

sind

P

Der Mittelbegriff verbindet die beiden Gruppen wie eine Kette

Gültige Form mit kein

Kein

M

ist

P

, alle

S

sind

M

\Rightarrow

kein

S

ist

P

Wenn $S$ in $M$ liegt und $M$ nichts mit $P$ gemeinsam hat, dann hat auch $S$ nichts mit $P$ gemeinsam

Gültige Form mit einige

Alle

M

sind

P

, einige

S

sind

M

\Rightarrow

einige

S

sind

P

Das x für einige wird in den Bereich gedrängt, der in $S$, $M$ und $P$ liegt

Nicht verteilter Mittelbegriff (ungültig)

Alle

S

sind

M

, alle

P

sind

M

\not\Rightarrow

alle

S

sind

P

In derselben großen Gruppe zu liegen verbindet zwei kleinere Gruppen nicht

Hypothetischer Syllogismus

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Ketten von Wenn-dann-Aussagen; mit der Kontraposition auch $\neg r \to \neg p$

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Schul-AGs und Umfragen

Suchfilter in Onlineshops

E-Mail-Filter und Regelketten

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Klassische gültige Form

Gültige Form mit kein

Gültige Form mit einige

Nicht verteilter Mittelbegriff (ungültig)

Hypothetischer Syllogismus

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