Syllogismen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Alle Rechtecke sind Parallelogramme. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also sind alle Quadrate Parallelogramme. Was ist der Mittelbegriff?
1. a)Vierecke
2. b)Rechtecke
3. c)Parallelogramme
4. d)Quadrate
Lösung: Rechtecke
Rechtecke kommen in beiden Prämissen vor und nicht in der Schlussfolgerung, also ist Rechtecke der Mittelbegriff $M$ . Quadrate ist der Unterbegriff $S$ und Parallelogramme der Oberbegriff $P$ .
2.
Ein Venn-Diagramm hat drei sich überschneidende Kreise $S$ , $M$ und $P$ . Wie viele Bereiche hat es, wenn du den Bereich außerhalb aller drei Kreise mitzählst?
Lösung: 8
Für jeden Kreis liegt ein Bereich entweder innen oder außen, also gibt es $2 \times 2 \times 2 = 8$ Bereiche: 3 Bereiche in genau einem Kreis, 3 in genau zwei, 1 in allen drei und 1 außerhalb von allen.
3.
Zur Erinnerung: A = alle $S$ sind $P$ , E = kein $S$ ist $P$ , I = einige $S$ sind $P$ , O = einige $S$ sind nicht $P$ . Welche Liste gibt die Kürzel dieser vier Aussagen in der richtigen Reihenfolge an? (1) Einige Rechtecke sind keine Quadrate. (2) Alle Quadrate sind Rechtecke. (3) Einige Rechtecke sind Quadrate. (4) Kein Dreieck ist ein Quadrat.
1. a)O, E, I, A
2. b)I, A, O, E
3. c)O, A, I, E
4. d)E, A, I, O
Lösung: O, A, I, E
Einige Rechtecke sind keine Quadrate ist O (einige, mit Verneinung), alle Quadrate sind Rechtecke ist A, einige Rechtecke sind Quadrate ist I, und kein Dreieck ist ein Quadrat ist E. Die Liste ist also O, A, I, E.
4.
Alle $14$ Mitglieder des Schachclubs sind auch in der Mathe-AG. Die Mathe-AG hat $25$ Mitglieder. Wie viele Mitglieder der Mathe-AG sind nicht im Schachclub?
Lösung: 11
Alle Mitglieder des Schachclubs liegen im Kreis der Mathe-AG, also sind $25 - 14 = 11$ Mitglieder der Mathe-AG nicht im Schachclub.
5.
Keine Primzahl größer als $2$ ist gerade. Alle Zahlen der Menge $T$ sind Primzahlen größer als $2$ . Welche Schlussfolgerung folgt?
1. a)Alle geraden Zahlen sind in $T$
2. b)Es folgt nichts
3. c)Einige Zahlen in $T$ sind gerade
4. d)Keine Zahl in $T$ ist gerade
Lösung: Keine Zahl in $T$ ist gerade
Mit $M$ = Primzahlen größer als $2$ , $P$ = gerade Zahlen und $S$ = Zahlen in $T$ lauten die Prämissen kein $M$ ist $P$ und alle $S$ sind $M$ . Diese gültige Form ergibt kein $S$ ist $P$ : Keine Zahl in $T$ ist gerade.
6.
Alle Vielfachen von $6$ sind Vielfache von $3$ . Alle Vielfachen von $12$ sind Vielfache von $6$ . Also sind alle Vielfachen von $12$ Vielfache von $3$ . Bestimme den Mittelbegriff und verfolge dann die Zahl $60$ (ein Vielfaches von $12$ ) durch die Kette. Was ist $60 \div 3$ ?
Lösung: 20
1. Welcher Buchstabe, $S$ , $M$ oder $P$ , steht für die Vielfachen von $6$ ? M
2. Was ist $60 \div 12$ ? 5
3. Was ist $60 \div 6$ ? 10
4. Was ist $60 \div 3$ ? 20
7.
Alle Dichter sind Träumer. Einige Träumer sind Ingenieure. Also sind einige Dichter Ingenieure. Wie beurteilst du dieses Argument?
1. a)Gültig, aber eine Prämisse ist falsch
2. b)Gültig und stichhaltig
3. c)Ungültig, weil ein Syllogismus das Wort einige nicht benutzen darf
4. d)Ungültig: Die Dichter und die Ingenieure können verschiedene Träumer sein
Lösung: Ungültig: Die Dichter und die Ingenieure können verschiedene Träumer sein
Der Mittelbegriff Träumer erfasst nie seine ganze Gruppe: Die Dichter sind einige der Träumer, und die Ingenieure können andere Träumer sein. Im Diagramm kann das x für einige Träumer sind Ingenieure außerhalb des Dichterkreises liegen, also ist das Argument ungültig (nicht verteilter Mittelbegriff).
8.
Eine Klasse hat $60$ Schüler. Kein Mitglied des Schwimmteams ist im Fußballteam. Das Schwimmteam hat $16$ Mitglieder und das Fußballteam $22$ . Wie viele Schüler sind in keinem der beiden Teams?
Lösung: 22
Kein Schwimmer ist Fußballer, also ist die Überschneidung leer und $16 + 22 = 38$ Schüler sind in einem Team. In keinem Team: $60 - 38 = 22$ .
9.
Eine Klasse hat $32$ Schüler. Alle $8$ Mitglieder des Schachclubs sind in der Mathe-AG, die $15$ Mitglieder hat. Kein Mitglied der Mathe-AG ist in der Theater-AG, die $10$ Mitglieder hat. Wie viele Schüler sind in keiner der drei Gruppen?
Lösung: 7
1. Wie viele Mitglieder des Schachclubs sind in der Theater-AG? 0
2. Wie viele Schüler sind in mindestens einer Gruppe? 25
3. Wie viele Schüler sind in keiner Gruppe? 7
10.
Alle Vielfachen von $4$ sind gerade. Alle Vielfachen von $6$ sind gerade. Also sind alle Vielfachen von $6$ Vielfache von $4$ . Zeige mit einem Gegenbeispiel, dass das Argument ungültig ist. Was ist das kleinste positive Vielfache von $6$ , das kein Vielfaches von $4$ ist?
Lösung: 6
1. Welcher Buchstabe, $S$ , $M$ oder $P$ , steht für die geraden Zahlen? M
2. Welcher Rest bleibt, wenn du $6$ durch $4$ teilst? 2
3. Was ist das kleinste positive Vielfache von $6$ , das kein Vielfaches von $4$ ist? 6
11.
Alle Vielfachen von $4$ sind Vielfache von $8$ . $12$ ist ein Vielfaches von $4$ . Also ist $12$ ein Vielfaches von $8$ . Welche Beschreibung ist richtig?
1. a)Gültig, aber nicht stichhaltig: Die erste Prämisse ist falsch
2. b)Ungültig, weil die Schlussfolgerung falsch ist
3. c)Ungültig: nicht verteilter Mittelbegriff
4. d)Gültig und stichhaltig
Lösung: Gültig, aber nicht stichhaltig: Die erste Prämisse ist falsch
Die Form alle $M$ sind $P$ , $x$ ist ein $M$ , also ist $x$ ein $P$ ist gültig. Aber die erste Prämisse ist falsch: $4$ ist ein Vielfaches von $4$ , aber nicht von $8$ . Das Argument ist also gültig, aber nicht stichhaltig, und seine Schlussfolgerung ist falsch ( $12 \div 8 = 1{,}5$ ).
12.
Ein Orchester hat $24$ Mitglieder. Alle $9$ Schüler, die Geige spielen, sind im Orchester. $4$ der Geiger singen im Chor, und $7$ andere Orchestermitglieder singen auch im Chor. Wie viele Orchestermitglieder singen nicht im Chor?
Lösung: 13
Alle Geiger sind im Orchester und einige Geiger singen im Chor, also singen einige Orchestermitglieder im Chor, nämlich $4 + 7 = 11$ . Die übrigen singen nicht: $24 - 11 = 13$ .
13.
Prüfe den Syllogismus kein $M$ ist $P$ , einige $S$ sind $M$ , also sind einige $S$ nicht $P$ mit dem Diagramm mit 8 Bereichen (Bereich 4 = nur in $S$ und $M$ , Bereich 6 = nur in $M$ und $P$ , Bereich 7 = in allen dreien). Welches Kürzel hat die Schlussfolgerung?
Lösung: O
1. Wie viele der 8 Bereiche schraffiert kein $M$ ist $P$ ? 2
2. Die Überschneidung von $S$ und $M$ sind die Bereiche 4 und 7. Wie viele davon sind noch nicht schraffiert? 1
3. In welchen Bereich muss das x für einige $S$ sind $M$ ? Gib seine Nummer an. 4
4. Bereich 4 liegt in $S$ und außerhalb von $P$ . Welches Kürzel (A, E, I oder O) hat die Schlussfolgerung einige $S$ sind nicht $P$ ? O
14.
Im Venn-Diagramm mit drei Kreisen für $S$ , $M$ und $P$ schraffierst du die Prämissen alle $S$ sind $M$ und kein $M$ ist $P$ . Wie viele der 8 Bereiche sind insgesamt schraffiert?
Lösung: 4
Alle $S$ sind $M$ schraffiert die Bereiche 1 und 5 (in $S$ , außerhalb von $M$ ). Kein $M$ ist $P$ schraffiert die Bereiche 6 und 7 (in $M$ und $P$ ). Kein Bereich kommt in beiden Listen vor, also sind $2 + 2 = 4$ Bereiche schraffiert. Da die Bereiche 5 und 7 schraffiert sind, zeigt das Diagramm auch kein $S$ ist $P$ .
15.
Die Aussagen $p \to q$ und $q \to r$ sind wahr, und $r$ ist falsch. Welche Aussage muss wahr sein?
1. a) $q$
2. b) $p$
3. c) $\neg p$
4. d) $r \to p$
Lösung: $\neg p$
Der Kettenschluss ergibt $p \to r$ . Die Kontraposition davon ist $\neg r \to \neg p$ . Da $r$ falsch ist, ist $\neg r$ wahr, also ist $\neg p$ wahr. $q$ kann nicht wahr sein (sonst wäre $r$ wahr), und $r \to p$ folgt nicht.
16.
Prämissen: Wenn $n$ durch $20$ teilbar ist, dann ist $n$ durch $10$ teilbar. Wenn $n$ durch $10$ teilbar ist, dann ist die letzte Ziffer von $n$ eine $0$ . Wenn die letzte Ziffer von $n$ eine $0$ ist, dann ist $n$ durch $5$ teilbar. Der Kettenschluss ergibt: Wenn $n$ durch $20$ teilbar ist, dann ist $n$ durch $5$ teilbar. Prüfe das mit $n = 140$ und zeige dann, dass die Umkehrung nicht folgt. Was ist die kleinste positive Zahl, die durch $5$ , aber nicht durch $20$ teilbar ist?
Lösung: 5
1. Was ist $140 \div 20$ ? 7
2. Was ist die letzte Ziffer von $140$ ? 0
3. Was ist $140 \div 5$ ? 28
4. Was ist die kleinste positive Zahl, die durch $5$ , aber nicht durch $20$ teilbar ist? 5
17.
Ein Sportverein hat $70$ Mitglieder, und $45$ davon schwimmen. Alle $20$ Tennisspieler sind Schwimmer. $12$ Tennisspieler laufen auch, $8$ Schwimmer, die kein Tennis spielen, laufen, und $15$ Mitglieder, die nicht schwimmen, laufen. Wie viele Mitglieder schwimmen nicht und laufen auch nicht?
Lösung: 10
1. Wie viele Schwimmer spielen kein Tennis? 25
2. Wie viele Mitglieder laufen insgesamt? 35
3. Wie viele Mitglieder schwimmen nicht und laufen nicht? 10
18.
Zeige, dass einige $S$ sind $M$ , einige $M$ sind $P$ , also einige $S$ sind $P$ ungültig ist. Nimm $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ und $P = \{3, 4\}$ . Wie viele gemeinsame Elemente haben $S$ und $P$ ?
Lösung: 0
1. Wie viele gemeinsame Elemente haben $S$ und $M$ ? 1
2. Wie viele gemeinsame Elemente haben $M$ und $P$ ? 1
3. Wie viele gemeinsame Elemente haben $S$ und $P$ ? 0