Parabeln in Scheitelpunktform

Lerne, quadratische Funktionen in Scheitelpunktform y = a(x - h)² + k zu schreiben, zu zeichnen und zu analysieren.

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Definition

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist:
y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k
wobei:
  • (h,k)(h, k) der Scheitelpunkt der Parabel ist
  • aa die Breite und Öffnungsrichtung bestimmt
  • Die Symmetrieachse die vertikale Gerade x=hx = h ist
Wichtige Eigenschaften:
  • Wenn a>0a > 0: Parabel öffnet sich nach oben (Scheitelpunkt ist Minimum)
  • Wenn a<0a < 0: Parabel öffnet sich nach unten (Scheitelpunkt ist Maximum)
  • Wenn ∣a∣>1|a| > 1: Parabel ist schmaler als y=x2y = x^2
  • Wenn ∣a∣<1|a| < 1: Parabel ist breiter als y=x2y = x^2

Probier es gleich aus

Was ist der Scheitelpunkt von y=(x−4)2+3y = (x - 4)^2 + 3?

Lösungsbeispiele

Für y=2(x−3)2−5y = 2(x - 3)^2 - 5: Finde den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und die Öffnungsrichtung.
1

Bestimme hh aus (x−h)(x - h)

(x−3)(x - 3) bedeutet h=3h = 3
2

Bestimme kk als Konstante

k=−5k = -5
3

Schreibe den Scheitelpunkt

Scheitelpunkt = (h,k)(h, k) → (3,−5)(3, -5)
4

Finde die Symmetrieachse

x=hx = h → x=3x = 3
5

Bestimme die Richtung aus aa

a=2>0a = 2 > 0 → Öffnet nach oben

Häufige Fehler

Scheitelpunkt als (h,k)(h, k) schreiben, wenn die Gleichung (x+h)(x + h) enthält

Warum es falsch ist: Wenn du (x+2)2(x + 2)^2 siehst, ist das (x−(−2))2(x - (-2))^2, also ist h=−2h = -2, nicht 22.

Richtig: Schreibe immer um, um (x−h)(x - h) zu entsprechen: Wenn du (x+2)(x + 2) siehst, dann ist h=−2h = -2.

Vergessen, dass aa die Breite beeinflusst, nicht nur die Richtung

Warum es falsch ist: Schüler konzentrieren sich nur darauf, ob aa positiv oder negativ ist.

Richtig: ∣a∣>1|a| > 1 macht die Parabel schmaler; ∣a∣<1|a| < 1 macht sie breiter.

Fehler bei der quadratischen Ergänzung

Warum es falsch ist: Vergessen, denselben Wert zu subtrahieren, der innerhalb der Klammer addiert wurde.

Richtig: Wenn du 99 für die quadratische Ergänzung addierst, musst du auch 99 subtrahieren, um die Gleichung im Gleichgewicht zu halten.

Interaktive Visualisierung

Quadratischer Funktions-Explorer

y = x²

Steuert Breite und Richtung

Verschiebt die Parabel

Y-Achsenabschnitt

xy

Scheitelpunkt

(0, 0)

Symmetrieachse

x = 0

Nullstellen (x-Achsenabschnitte)

x = 0 (doppelte Nullstelle)

Y-Achsenabschnitt

(0, 0)

Richtung

Öffnet nach oben

Diskriminante

b² - 4ac = 0

Wertetabelle

x-3-2-10123
y9410149
ScheitelpunktNullstellenY-AchsenabschnittSymmetrieachse

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2(x - 3)^2 - 5

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

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Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was ist der Scheitelpunkt von y=(x−4)2+3y = (x - 4)^2 + 3?

Warum es wichtig ist

Die Scheitelpunktform macht quadratische Funktionen leicht verständlich:
  • Physik: Wurfbewegungen folgen parabelförmigen Bahnen. Der Scheitelpunkt zeigt die maximale Höhe und wann sie erreicht wird.
  • Technik: Satellitenschüsseln und Autoscheinwerfer nutzen Parabolspiegel. Der Scheitelpunkt ist der Brennpunkt.
  • Wirtschaft: Gewinnfunktionen sind oft quadratisch. Der Scheitelpunkt zeigt den maximalen Gewinn.
  • Architektur: Parabelbögen verteilen Gewicht effizient. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.
Das Verständnis der Scheitelpunktform ermöglicht es dir, die wichtigsten Merkmale jeder Parabel schnell zu erkennen!

Anwendungen im echten Leben

Wurfbewegung

Wenn ein Objekt geworfen oder geschossen wird, folgt seine Höhe über der Zeit einer parabelförmigen Bahn. Die Scheitelpunktform zeigt sofort die maximale Höhe.

Beispiel:

Die Höhe eines Balls ist h(t)=−16(t−2)2+64h(t) = -16(t - 2)^2 + 64 Fuß. Der Scheitelpunkt (2,64)(2, 64) zeigt, dass der Ball bei t=2t = 2 Sekunden 64 Fuß erreicht.

1Probiere es selbst

Ein Springbrunnen schießt Wasser entlang der Bahn y=−0,5(x−4)2+8y = -0,5(x - 4)^2 + 8, wobei yy die Höhe in Metern und xx die horizontale Entfernung ist.

Was ist die maximale Höhe des Wassers und bei welcher horizontalen Entfernung tritt sie auf?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Lies den Scheitelpunkt (h,k)(h, k) ab:

Satellitenschüsseln

Parabolschüsseln fokussieren Signale am Scheitelpunkt. Ingenieure nutzen die Scheitelpunktform, um die genaue Form zu entwerfen.

Beispiel:

Eine Schüssel mit der Gleichung y=0,25(x−0)2+0y = 0,25(x - 0)^2 + 0 hat ihren Brennpunkt über dem Scheitelpunkt im Ursprung.

2Probiere es selbst

Ein Ingenieur entwirft einen Parabolspiegel mit der Gleichung y=0,1(x−0)2y = 0,1(x - 0)^2. Der Reflektor ist 2 Meter breit.

Wie tief ist die Schüssel an ihren Rändern (bei x=±1x = \pm 1 Meter)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne yy wenn x=1x = 1:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die Scheitelpunktform ist y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k, wobei (h,k)(h, k) der Scheitelpunkt ist
  • 2Die Symmetrieachse ist immer x=hx = h
  • 3a>0a > 0: öffnet nach oben (Minimum am Scheitelpunkt); a<0a < 0: öffnet nach unten (Maximum am Scheitelpunkt)
  • 4∣a∣>1|a| > 1: schmalere Parabel; ∣a∣<1|a| < 1: breitere Parabel
  • 5Um von der Normalform umzuwandeln, verwende die quadratische Ergänzung

Häufig gestellte Fragen

Schau auf aa: Wenn a>0a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben, also ist der Scheitelpunkt ein Minimum. Wenn a<0a < 0, öffnet sie sich nach unten, also ist der Scheitelpunkt ein Maximum.
Schau auf aa: Wenn a>0a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben, also ist der Scheitelpunkt ein Minimum. Wenn a<0a < 0, öffnet sie sich nach unten, also ist der Scheitelpunkt ein Maximum.
Die Form (x−h)(x - h) stellt eine horizontale Verschiebung dar. Wenn h=3h = 3, schreiben wir (x−3)(x - 3), was die Parabel 3 Einheiten nach rechts verschiebt. Wenn h=−2h = -2, schreiben wir (x−(−2))=(x+2)(x - (-2)) = (x + 2), was 2 Einheiten nach links verschiebt.
Erweitere den quadrierten Term: a(x−h)2+k=a(x2−2hx+h2)+k=ax2−2ahx+ah2+ka(x - h)^2 + k = a(x^2 - 2hx + h^2) + k = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k.

Glossar

Scheitelpunkt
Der Wendepunkt einer Parabel; der Punkt (h,k)(h, k) in der Scheitelpunktform
Symmetrieachse
Die vertikale Gerade x=hx = h, die die Parabel in zwei Spiegelbilder teilt
Scheitelpunktform
Die Gleichung y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k, wobei (h,k)(h, k) der Scheitelpunkt ist
Quadratische Ergänzung
Eine Technik zur Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform durch Erstellen eines vollständigen Quadrats

Formelkarte

Scheitelpunktform

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Standard-Scheitelpunktform

Scheitelpunkt

(h,k)(h, k)

Koordinaten des Wendepunkts

Symmetrieachse

x=hx = h

Vertikale Linie durch den Scheitelpunkt

Quadratische Ergänzung

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Umwandlung in Scheitelpunktform

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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