Stetiges Wachstum und stetige Abnahme

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Stoff zerfällt stetig mit einer Rate von 4% pro Jahr. Welche Formel beschreibt die Menge $A$ nach $t$ Jahren, ausgehend von $P$ ?
1. a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
2. b) $A = P(1{,}04)^t$
3. c) $A = Pe^{0{,}04t}$
4. d) $A = Pe^{-4t}$
2.
Was ist im Modell $A = 250e^{0{,}07t}$ der Anfangswert?
1. a) $0{,}07$
2. b) $e$
3. c) $250$
4. d) $267{,}5$
3.
Verwende $A = Pe^{rt}$ mit $P = 1000$ , $r = 0{,}04$ und $t = 5$ . Nutze $e^{0{,}2} \approx 1{,}2214$ . Wie groß ist $A$ ? Runde auf eine Dezimalstelle.
4.
Eine Population folgt $N = 300e^{0{,}12t}$ , $t$ in Jahren. Wie groß ist die stetige Wachstumsrate in Prozent? Schreibe nur die Zahl, ohne das %-Zeichen.
5.
Du legst 1500 € zu 3% bei stetiger Verzinsung für 10 Jahre an. Nutze $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ . Wie viel hast du am Ende? Runde auf ganze Euro.
6.
Eine Kultur aus 400 Bakterien wächst stetig mit 25% pro Stunde. Wie viele Bakterien sind es nach 4 Stunden? Nutze $e \approx 2{,}71828$ und runde auf eine ganze Zahl.
7.
Was beschreibt das Modell $N = 50e^{-0{,}3t}$ ?
1. a)Stetiges Wachstum mit 0,3%
2. b)Stetige Abnahme mit 30%
3. c)Stetige Abnahme mit 3%
4. d)Stetiges Wachstum mit 30%
8.
Zwei Konten starten mit demselben Betrag, demselben Zinssatz und derselben Laufzeit. Eines verzinst jährlich, das andere stetig. Welches hat am Ende mehr Geld?
1. a)Das jährlich verzinste
2. b)Das stetig verzinste
3. c)Beide haben gleich viel
4. d)Es hängt vom Anfangsbetrag ab
9.
200 Gramm eines radioaktiven Stoffes zerfallen stetig mit einer Rate von 5% pro Jahr. Nutze $e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065$ . Wie viele Gramm sind nach 10 Jahren übrig? Runde auf eine Dezimalstelle.
10.
Wie viel musst du jetzt bei 5% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 10 Jahren 10000 € zu haben? Nutze $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ und runde auf ganze Euro.
11.
Ein Patient erhält 60 mg eines Medikaments. Der Körper baut es stetig mit einer Rate von 20% pro Stunde ab. Nutze $e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$ . Wie viele mg wurden nach 3 Stunden abgebaut? Runde auf eine Dezimalstelle.
12.
Du legst 3000 € zu 4% für 5 Jahre an. Nutze $1{,}04^{5} \approx 1{,}2167$ und $e^{0{,}2} \approx 1{,}2214$ . Vergleiche jährliche und stetige Verzinsung. Runde jeden Betrag auf ganze Euro.
13.
Wie viel musst du heute bei 4% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 5 Jahren 6000 € zu haben? Nutze den Taschenrechner ( $e \approx 2{,}71828$ ) und runde das Ergebnis auf ganze Euro.
14.
Angebot A: 6% bei jährlicher Verzinsung. Angebot B: 5,85% bei stetiger Verzinsung. Nutze $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Welches Angebot bringt nach einem Jahr mehr Geld?
1. a)Ohne den Betrag nicht entscheidbar
2. b)Beide bringen gleich viel
3. c)Angebot B
4. d)Angebot A
15.
5000 € werden zu 8% für 10 Jahre angelegt. Nutze $1{,}08^{10} \approx 2{,}158925$ und $e^{0{,}8} \approx 2{,}225541$ . Wie viele Euro mehr bringt stetige Verzinsung als jährliche Verzinsung? Runde auf ganze Euro.
16.
Du willst 2000 € für 10 Jahre anlegen. Bank A zahlt 5% bei jährlicher Verzinsung, Bank B 4,9% bei stetiger Verzinsung. Nutze $1{,}05^{10} \approx 1{,}6289$ und $e^{0{,}49} \approx 1{,}6323$ . Runde jeden Betrag auf ganze Euro. Wie viele Euro mehr bringt die bessere Bank?
17.
Eine Probe von 500 Gramm eines radioaktiven Stoffes zerfällt stetig mit 2% pro Jahr. Nutze $e^{-1} \approx 0{,}3679$ . Wie viele Gramm sind nach 50 Jahren übrig? Runde auf ganze Gramm.
18.
Eine Kultur beginnt mit 1000 Bakterien und wächst stetig mit 30% pro Stunde. Nutze $e^{0{,}6} \approx 1{,}8221$ und $e^{1{,}2} \approx 3{,}3201$ . Um welchen Faktor wächst die Kultur von Stunde 2 bis Stunde 4? Bestimme zuerst die Anzahl der Bakterien nach 2 Stunden und nach 4 Stunden (ganze Zahl) und gib dann den Faktor mit zwei Dezimalstellen an.