Leitfaden für Lehrer: Stetiges Wachstum und stetige Abnahme

Nutze A = Pe^(rt) und A = Pe^(-kt) für stetige Verzinsung, Bakterienwachstum und radioaktiven Zerfall und vergleiche stetige mit jährlicher Verzinsung.

Lektion präsentierenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$A = Pe^{rt}$ verwenden, um stetig wachsende Bestände zu berechnen
$A = Pe^{-kt}$ verwenden, um stetige Abnahme zu modellieren, und das Vorzeichen des Exponenten deuten
Stetige und jährliche Verzinsung beim gleichen Zinssatz vergleichen und den Unterschied erklären
Den Anfangswert $P$ aus einem bekannten Endbetrag bestimmen
Potenzen von $e$ im Taschenrechner berechnen und wie verlangt runden

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form $f(x) = a \cdot b^x$
• Exponentielles Wachstum: Wachstumsfaktor $1 + r$ und $A = A_0(1 + r)^t$
• Die natürliche Basis e: $e \approx 2{,}71828$ als Grenzwert von $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
• Prozente in Dezimalzahlen umrechnen und die Rechenreihenfolge

Diskussionsstarter

1. Wenn eine Bank jede Sekunde statt jeden Tag verzinst, bekommst du dann viel mehr Geld? Warum oder warum nicht?
2. Warum macht ein negativer Exponent einen Bestand kleiner? Was bedeutet $e^{-1}$ ?
3. Welches Angebot würdest du wählen: 6% jährliche Verzinsung oder 5,85% stetige Verzinsung? Wie kannst du das entscheiden?
4. Warum bevorzugen Forschende für Wachstum und Zerfall wohl die Basis $e$ statt der Basis 10?

Häufige Missverständnisse

Stetige Verzinsung lässt Geld unbegrenzt wachsen oder verdoppelt es viel schneller

Abhilfe: Berechne $1000(1{,}05)$ , $1000\left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{12}$ und $1000e^{0{,}05}$ nebeneinander: 1050, etwa 1051,16 und etwa 1051,27. Der Gewinn durch häufigeres Verzinsen ist echt, aber klein.

Das Minuszeichen in $e^{-kt}$ macht den Bestand negativ

Abhilfe: Zeige, dass $e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$ weiterhin positiv ist: Ein negativer Exponent ergibt einen Bruch zwischen 0 und 1, der Bestand schrumpft also, wird aber nie kleiner als null.

Die Rate im Exponenten darf als Prozentzahl verwendet werden

Abhilfe: Lass die Lernenden $e^{5}$ und $e^{0{,}05}$ berechnen und frage, welcher Wert als Wachstumsfaktor für ein Jahr bei 5% Zinsen Sinn ergibt.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Den Wert von $e^{rt}$ in jeder Aufgabe angeben, damit sich die Lernenden auf das Aufstellen von $P \times e^{rt}$ konzentrieren
• Mit ganzzahligen Exponenten wie $e^{1}$ und $e^{2}$ beginnen
• Eine Tabelle mit drei Spalten verwenden: $P$ , $e^{rt}$ , $A$

Für Schüler auf Niveau:

• Jährliche, monatliche und stetige Verzinsung für dieselbe Einlage vergleichen
• Aufgaben lösen, in denen der Anfangswert $P$ gesucht ist
• Zwischen zwei Sparangeboten entscheiden, indem man die Wachstumsfaktoren für ein Jahr berechnet

Für fortgeschrittene Schüler:

• Numerisch zeigen, dass sich $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ für wachsendes $n$ dem Wert $e^{r}$ nähert
• Die Verdopplungszeit von $Pe^{0{,}07t}$ mit einer Wertetabelle schätzen und mit der 70er-Regel vergleichen
• $Pe^{-kt}$ mit der Halbwertszeit verbinden: $k$ bei gegebener Halbwertszeit durch Ausprobieren finden

Standardausrichtung

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Situationen erkennen, in denen eine Größe pro Einheitsintervall um einen konstanten Prozentsatz wächst oder abnimmt
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Die Parameter einer linearen oder exponentiellen Funktion im Sachzusammenhang deuten
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Potenzgesetze nutzen, um Terme von Exponentialfunktionen zu deuten und als Wachstum oder Abnahme einzuordnen
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und damit Probleme lösen, auch mit Exponentialfunktionen

Lektionsressourcen

activityWettrennen der Verzinsungen
Gruppen berechnen 1000 € zu 6% für 10 Jahre bei jährlicher, monatlicher, täglicher und stetiger Verzinsung und vergleichen
worksheetWachstum oder Abnahme?
Das Vorzeichen des Exponenten in Modellen wie $50e^{-0{,}3t}$ lesen und Werte mit dem Taschenrechner berechnen
visualZwei Kurven
$P(1 + r)^t$ und $Pe^{rt}$ im selben Koordinatensystem zeichnen, um zu sehen, wie nah sie beieinander liegen und welche höher ist

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

In der Lektion über die Basis

e

hast du gesehen, dass immer häufigeres Verzinsen,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, sich der Zahl

e \approx 2{,}71828

nähert. Wenn eine Größe stetig wächst (in jedem Augenblick, nicht nur einmal im Jahr), verwenden wir

e

als Basis.

Stetiges Wachstum:

A = P e^{rt}

Stetige Abnahme (Zerfall):

A = P e^{-kt}

Dabei ist:

$P$ der Anfangswert (bei $t = 0$ )
$r$ die stetige Wachstumsrate und $k$ die stetige Abnahmerate, beide als Dezimalzahl ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ die Zeit, in derselben Einheit wie die Rate (Jahre, Stunden, Tage)
$A$ der Bestand nach der Zeit $t$

Das Vorzeichen des Exponenten zeigt die Richtung: Ein positiver Exponent bedeutet Wachstum, ein negativer Exponent Abnahme. Du kannst Abnahme auch als

A = Pe^{rt}

mit negativer Rate schreiben, zum Beispiel

r = -0{,}03

Im Rechner tippst du

e^{x}

direkt als e^(x) ein, zum Beispiel e^0.5

\approx 1{,}6487

. Auf einem einfachen Taschenrechner ohne

e

-Taste tippst du stattdessen 2.71828^x.

Lösungsbeispiele

Du zahlst 1000 € auf ein Konto ein, das 5% Zinsen bei stetiger Verzinsung zahlt. Wie viel ist nach 10 Jahren auf dem Konto? Runde auf den Cent.

Werte bestimmen

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Werte bestimmt

Exponenten $rt$ berechnen

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

$e^{0{,}5}$ mit dem Taschenrechner berechnen

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Mit $P$ multiplizieren

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Antwort: Nach 10 Jahren sind etwa 1648,72 € auf dem Konto.

Häufige Fehler

Die Rate als Prozentzahl in den Exponenten schreiben: $1000 e^{5 \times 10}$

Warum es falsch ist: Die Formel braucht die Rate als Dezimalzahl. $e^{50}$ ist eine riesige Zahl (etwa $5 \times 10^{21}$ ), was für ein Sparkonto keinen Sinn ergibt.

Richtig: Zuerst umrechnen: $5\% = 0{,}05$ , also $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Das Minuszeichen beim Zerfall vergessen: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Warum es falsch ist: Ohne Minuszeichen ist der Exponent positiv, und der Bestand wächst auf etwa 145,77 Gramm, also mehr als die 80 Gramm am Anfang.

Richtig: Zerfall braucht einen negativen Exponenten: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Erst multiplizieren, dann potenzieren: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Warum es falsch ist: Der Exponent gehört nur zu $e$ , nicht zu $P$ . Nach der Rechenreihenfolge kommen Potenzen vor der Multiplikation.

Richtig: Zuerst $e^{rt}$ berechnen, dann mit $P$ multiplizieren. Im Taschenrechner: 1000 × e^(0.05 × 10), mit Klammern um den Exponenten.

$(1 + r)^t$ verwenden, obwohl die Aufgabe stetige Verzinsung verlangt

Warum es falsch ist: $(1 + r)^t$ bedeutet Verzinsung einmal pro Periode. Stetige Verzinsung bringt beim gleichen Zinssatz immer etwas mehr.

Richtig: Achte auf die Wörter stetig oder stetige Rate: Sie bedeuten $Pe^{rt}$ . Einmal im Jahr bedeutet $P(1 + r)^t$ .

Warum es wichtig ist

Viele Vorgänge warten nicht bis zum Jahresende, um sich zu ändern: Sie ändern sich in jedem Moment.

Finanzen: Manche Sparkonten und Kredite verzinsen stetig, und $Pe^{rt}$ ist die Obergrenze dessen, was irgendein Zinsplan bei gleichem Zinssatz bringen kann
Biologie: Bakterien im Labor teilen sich ständig, nicht nach Fahrplan, deshalb wird ihr Wachstum mit $e$ beschrieben
Physik und Medizin: Radioaktive Atome zerfallen zu zufälligen Zeitpunkten, und ein Medikament verlässt das Blut allmählich, beides folgt $Pe^{-kt}$
Naturwissenschaften allgemein: Fast jede Wachstums- oder Zerfallsformel in Chemie, Physik und Wirtschaft wird mit der Basis $e$ geschrieben

Wenn du

Pe^{rt}

lesen kannst, kannst du Bankangebote vergleichen, Laborergebnisse vorhersagen und verstehen, wie Forschende das Alter alter Gegenstände bestimmen.

Anwendungen im echten Leben

Bank: stetig verzinstes Sparen

Banken vergleichen Angebote mit der großzügigsten möglichen Verzinsung, der stetigen. Sie zeigt die Obergrenze dessen, was ein Zinssatz bringen kann.

Beispiel:

Bei 5% stetiger Verzinsung wächst 1 € in einem Jahr auf $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ €, der effektive Jahreszins ist also etwa 5,13%, etwas mehr als 5%.

1Probiere es selbst

Du zahlst 4000 € auf ein Konto mit 4,5% stetiger Verzinsung ein und lässt das Geld 4 Jahre liegen.

Wie viel ist nach 4 Jahren auf dem Konto? Runde auf ganze Euro.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologie: Bakterien im Labor

Mikrobiologen beschreiben eine Bakterienkultur mit ausreichend Nahrung mit $N(t) = N_0 e^{rt}$, wobei $r$ die stetige Wachstumsrate pro Stunde ist.

Beispiel:

Eine Kultur aus 1000 Bakterien mit einer stetigen Rate von 30% pro Stunde hat nach 2 Stunden $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ Bakterien.

2Probiere es selbst

Eine Laborkultur beginnt mit 2000 Bakterien und wächst stetig mit 40% pro Stunde.

Wie viele Bakterien sind es nach 5 Stunden? Runde auf eine ganze Zahl.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Medizin: radioaktive Marker

Krankenhäuser setzen radioaktive Stoffe wie Iod-131 für Diagnose und Therapie ein. Die verbleibende Menge folgt $A = Pe^{-kt}$, so wissen Ärztinnen und Ärzte, wie viel an jedem Tag noch vorhanden ist.

Beispiel:

Iod-131 zerfällt stetig mit etwa 8,6% pro Tag. Nach 1 Tag ist $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , also sind noch etwa 91,8% der Probe vorhanden.

3Probiere es selbst

Ein Krankenhaus erhält 100 mg Iod-131, das stetig mit einer Rate von 8,6% pro Tag zerfällt.

Wie viel ist nach 10 Tagen übrig? Runde auf eine Dezimalstelle.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Stetiges Wachstum: $A = Pe^{rt}$ ; stetige Abnahme: $A = Pe^{-kt}$ , die Raten als Dezimalzahlen
2Ein positiver Exponent bedeutet Wachstum, ein negativer Exponent bedeutet Abnahme
3Im Rechner tippst du $e^{x}$ als e^(x) ein (ohne $e$ -Taste als 2.71828^x) und setzt Klammern um den Exponenten
4Bei gleichem Zinssatz und gleicher Zeit bringt stetige Verzinsung immer etwas mehr als jährliche Verzinsung
5Um den Anfangswert zu finden, teilst du: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Um die Zeit $t$ zu bestimmen, braucht man Logarithmen, die in späteren Lektionen kommen

Häufig gestellte Fragen

Warum verwenden wir $e$ für stetiges Wachstum?

Verzinst man

n

-mal im Jahr mit dem Zinssatz

r

, erhält man

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Wird

n

immer größer, nähert sich dieser Ausdruck

e^{rt}

. Also ist

e

genau das, was herauskommt, wenn Wachstum in jedem Augenblick passiert.

Wie viel mehr bringt stetige Verzinsung wirklich?

Nicht viel mehr, aber immer mehr. Bei 5% für ein Jahr multipliziert jährliche Verzinsung mit

1{,}05

und stetige Verzinsung mit

e^{0{,}05} \approx 1{,}0513

. Über lange Zeiträume und bei großen Beträgen wird der Unterschied spürbar.

Ist $A = Pe^{-kt}$ dasselbe wie $A = Pe^{rt}$ mit negativem $r$ ?

Ja. Manche Bücher schreiben Zerfall mit positiver Abnahmerate

k

und einem Minuszeichen, andere verwenden eine Formel

Pe^{rt}

und lassen

r

negativ sein, zum Beispiel

r = -0{,}03

. Beides liefert dasselbe Ergebnis.

Wie finde ich heraus, wie lange es dauert, bis ein bestimmter Betrag erreicht ist?

Dafür muss man

A = Pe^{rt}

nach

t

auflösen, und das braucht den natürlichen Logarithmus

\ln

. Den lernst du in den Lektionen über Logarithmen. Bis dahin kannst du

t

abschätzen, indem du Werte in einer Tabelle ausprobierst.

Glossar

Stetiges Wachstum: Wachstum, das in jedem Augenblick stattfindet, beschrieben durch $A = Pe^{rt}$ mit $r > 0$
Stetige Abnahme: Abnahme, die in jedem Augenblick stattfindet, beschrieben durch $A = Pe^{-kt}$ mit $k > 0$
Stetige Verzinsung: Zinsen, die in jedem Augenblick gutgeschrieben werden; der Grenzwert immer häufigerer Verzinsung
Stetige Rate: Die Rate $r$ oder $k$ im Exponenten, als Dezimalzahl geschrieben ( $4\% = 0{,}04$ )
Eulersche Zahl $e$: Die Konstante $e \approx 2{,}71828$ , die natürliche Basis für stetiges Wachstum und stetige Abnahme
Anfangswert: Der Startwert $P$ zum Zeitpunkt $t = 0$

Formelkarte

Stetiges Wachstum

A = P e^{rt}

$P$ = Anfangswert, $r$ = stetige Wachstumsrate (Dezimalzahl), $t$ = Zeit, $A$ = Bestand nach der Zeit $t$.

Stetige Abnahme

A = P e^{-kt}

$k$ = stetige Abnahmerate (Dezimalzahl, positiv). Das Minuszeichen lässt den Bestand schrumpfen.

Jährliche Verzinsung (zum Vergleich)

A = P(1 + r)^t

Zinsen einmal pro Jahr. Ergibt bei gleichem Zinssatz etwas weniger als $Pe^{rt}$.

Anfangswert

P = \frac{A}{e^{rt}}

Teile den Endbetrag durch den Wachstumsfaktor $e^{rt}$.

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Stetiges Wachstum und stetige Abnahme

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Bank: stetig verzinstes Sparen

Biologie: Bakterien im Labor

Medizin: radioaktive Marker

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Stetiges Wachstum

Stetige Abnahme

Jährliche Verzinsung (zum Vergleich)

Anfangswert

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Exponentialfunktionen

Exponentielles Wachstum

Exponentialfunktionen zeichnen

Exponentielle Abnahme