Stetiges Wachstum und stetige Abnahme: Arbeitsblatt mit Lösungen (kostenlos, druckbar)

1.

Ein Stoff zerfällt stetig mit einer Rate von 4% pro Jahr. Welche Formel beschreibt die Menge

A

nach

t

Jahren, ausgehend von

P

?

a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
b) $A = P(1{,}04)^t$
c) $A = Pe^{0{,}04t}$
d) $A = Pe^{-4t}$

Lösung: $A = Pe^{-0{,}04t}$

Stetiger Zerfall verwendet $A = Pe^{-kt}$ mit $k = 0{,}04$ , also $A = Pe^{-0{,}04t}$ . $Pe^{0{,}04t}$ wäre Wachstum, $P(1{,}04)^t$ ist jährliches Wachstum, und $Pe^{-4t}$ verwendet die Prozentzahl statt der Dezimalzahl.

2.

Was ist im Modell

A = 250e^{0{,}07t}

der Anfangswert?

a) $0{,}07$
b) $e$
c) $250$
d) $267{,}5$

Lösung: $250$

Bei $t = 0$ : $A = 250e^{0} = 250 \times 1 = 250$ . Die Zahl vor $e$ ist der Anfangswert; $0{,}07$ ist die stetige Wachstumsrate.

3.

Verwende

A = Pe^{rt}

mit

P = 1000

,

r = 0{,}04

und

t = 5

. Nutze

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Wie groß ist

A

? Runde auf eine Dezimalstelle.

Lösung: 1221.4

$rt = 0{,}04 \times 5 = 0{,}2$ , also $A = 1000e^{0{,}2} \approx 1000 \times 1{,}2214 = 1221{,}4$ .

4.

Eine Population folgt

N = 300e^{0{,}12t}

,

t

in Jahren. Wie groß ist die stetige Wachstumsrate in Prozent? Schreibe nur die Zahl, ohne das %-Zeichen.

Lösung: 12

In $Pe^{rt}$ ist die Rate $r = 0{,}12$ . In Prozent: $0{,}12 \times 100 = 12\%$ . Der Exponent ist positiv, die Population wächst also.

5.

Du legst 1500 € zu 3% bei stetiger Verzinsung für 10 Jahre an. Nutze

e^{0{,}3} \approx 1{,}3499

. Wie viel hast du am Ende? Runde auf ganze Euro.

Lösung: 2025

Schreibe den Zinssatz 3% als Dezimalzahl. 0.03
Wie groß ist der Exponent $rt$ ? 0.3
Wie groß ist $A = 1500 \times 1{,}3499$ , auf eine ganze Zahl gerundet? 2025

6.

Eine Kultur aus 400 Bakterien wächst stetig mit 25% pro Stunde. Wie viele Bakterien sind es nach 4 Stunden? Nutze

e \approx 2{,}71828

und runde auf eine ganze Zahl.

Lösung: 1087

Wie groß ist der Exponent $0{,}25 \times 4$ ? 1
Wie groß ist $400 \times e^{1}$ , auf eine ganze Zahl gerundet? 1087

7.

Was beschreibt das Modell

N = 50e^{-0{,}3t}

?

a)Stetiges Wachstum mit 0,3%
b)Stetige Abnahme mit 30%
c)Stetige Abnahme mit 3%
d)Stetiges Wachstum mit 30%

Lösung: Stetige Abnahme mit 30%

Der Exponent $-0{,}3t$ ist negativ, also beschreibt das Modell eine Abnahme. Die Rate ist $0{,}3 = 30\%$ pro Zeiteinheit, ausgehend von 50.

8.

Zwei Konten starten mit demselben Betrag, demselben Zinssatz und derselben Laufzeit. Eines verzinst jährlich, das andere stetig. Welches hat am Ende mehr Geld?

a)Das jährlich verzinste
b)Das stetig verzinste
c)Beide haben gleich viel
d)Es hängt vom Anfangsbetrag ab

Lösung: Das stetig verzinste

Für jeden positiven Zinssatz gilt $e^{r} > 1 + r$ , also bringt stetige Verzinsung immer etwas mehr. Beispiel: 5% ergeben jährlich den Faktor $1{,}05$ , stetig aber $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ , egal wie groß der Anfangsbetrag ist.

9.

200 Gramm eines radioaktiven Stoffes zerfallen stetig mit einer Rate von 5% pro Jahr. Nutze

e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

. Wie viele Gramm sind nach 10 Jahren übrig? Runde auf eine Dezimalstelle.

Lösung: 121.3

Der Exponent ist $-0{,}05 \times 10 = -0{,}5$ , also $A = 200e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 = 121{,}3$ Gramm.

10.

Wie viel musst du jetzt bei 5% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 10 Jahren 10000 € zu haben? Nutze

e^{0{,}5} \approx 1{,}6487

und runde auf ganze Euro.

Lösung: 6065

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ . Aus $10000 = Pe^{0{,}5}$ folgt $P = \frac{10000}{1{,}6487} \approx 6065{,}38 \approx 6065$ €.

11.

Ein Patient erhält 60 mg eines Medikaments. Der Körper baut es stetig mit einer Rate von 20% pro Stunde ab. Nutze

e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488

. Wie viele mg wurden nach 3 Stunden abgebaut? Runde auf eine Dezimalstelle.

Lösung: 27.1

Wie groß ist der Exponent $-0{,}2 \times 3$ ? -0.6
Wie viele mg sind noch vorhanden? ( $60 \times 0{,}5488$ , eine Dezimalstelle) 32.9
Wie viele mg wurden abgebaut? (eine Dezimalstelle) 27.1

12.

Du legst 3000 € zu 4% für 5 Jahre an. Nutze

1{,}04^{5} \approx 1{,}2167

und

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Vergleiche jährliche und stetige Verzinsung. Runde jeden Betrag auf ganze Euro.

Lösung: 14

Jährliche Verzinsung: $3000 \times 1{,}2167$ , auf ganze Euro gerundet? 3650
Stetige Verzinsung: $3000 \times 1{,}2214$ , auf ganze Euro gerundet? 3664
Wie viele Euro mehr bringt die stetige Verzinsung? 14

13.

Wie viel musst du heute bei 4% stetiger Verzinsung einzahlen, um nach 5 Jahren 6000 € zu haben? Nutze den Taschenrechner (

e \approx 2{,}71828

) und runde das Ergebnis auf ganze Euro.

Lösung: 4912

Wie groß ist der Exponent $rt$ ? 0.2
Wie groß ist $e^{0{,}2}$ , auf 4 Dezimalstellen gerundet? 1.2214
Wie groß ist $P = \frac{6000}{e^{0{,}2}}$ , auf ganze Euro gerundet? 4912

14.

Angebot A: 6% bei jährlicher Verzinsung. Angebot B: 5,85% bei stetiger Verzinsung. Nutze

e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602

. Welches Angebot bringt nach einem Jahr mehr Geld?

a)Ohne den Betrag nicht entscheidbar
b)Beide bringen gleich viel
c)Angebot B
d)Angebot A

Lösung: Angebot B

A multipliziert das Geld mit $1{,}06$ , B mit $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Da $1{,}0602 > 1{,}06$ , ist Angebot B etwas besser (etwa 6,02% pro Jahr), bei jedem Betrag. Ein niedrigerer stetiger Zinssatz kann einen höheren jährlichen schlagen.

15.

5000 € werden zu 8% für 10 Jahre angelegt. Nutze

1{,}08^{10} \approx 2{,}158925

und

e^{0{,}8} \approx 2{,}225541

. Wie viele Euro mehr bringt stetige Verzinsung als jährliche Verzinsung? Runde auf ganze Euro.

Lösung: 333

Stetig: $5000 \times 2{,}225541 \approx 11127{,}71$ . Jährlich: $5000 \times 2{,}158925 \approx 10794{,}63$ . Unterschied: $11127{,}71 - 10794{,}63 = 333{,}08 \approx 333$ €.

16.

Du willst 2000 € für 10 Jahre anlegen. Bank A zahlt 5% bei jährlicher Verzinsung, Bank B 4,9% bei stetiger Verzinsung. Nutze

1{,}05^{10} \approx 1{,}6289

und

e^{0{,}49} \approx 1{,}6323

. Runde jeden Betrag auf ganze Euro. Wie viele Euro mehr bringt die bessere Bank?

Lösung: 7

Bank A: $2000 \times 1{,}6289$ , auf ganze Euro gerundet? 3258
Bank B: $2000 \times 1{,}6323$ , auf ganze Euro gerundet? 3265
Bank B ist besser. Um wie viele Euro? 7

17.

Eine Probe von 500 Gramm eines radioaktiven Stoffes zerfällt stetig mit 2% pro Jahr. Nutze

e^{-1} \approx 0{,}3679

. Wie viele Gramm sind nach 50 Jahren übrig? Runde auf ganze Gramm.

Lösung: 184

Wie groß ist der Exponent $-0{,}02 \times 50$ ? -1
Wie viel Prozent der Probe sind übrig? Runde auf eine Dezimalstelle und schreibe ohne %-Zeichen. 36.8
Wie viele Gramm sind übrig, auf ganze Gramm gerundet? 184

18.

Eine Kultur beginnt mit 1000 Bakterien und wächst stetig mit 30% pro Stunde. Nutze

e^{0{,}6} \approx 1{,}8221

und

e^{1{,}2} \approx 3{,}3201

. Um welchen Faktor wächst die Kultur von Stunde 2 bis Stunde 4? Bestimme zuerst die Anzahl der Bakterien nach 2 Stunden und nach 4 Stunden (ganze Zahl) und gib dann den Faktor mit zwei Dezimalstellen an.

Lösung: 1.82

Wie viele Bakterien nach 2 Stunden? ( $1000e^{0{,}6}$ ) 1822
Wie viele Bakterien nach 4 Stunden? ( $1000e^{1{,}2}$ ) 3320
Um welchen Faktor wächst die Kultur von Stunde 2 bis Stunde 4? (zwei Dezimalstellen) 1.82