Exponentialfunktionen zeichnen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wo schneidet der Graph von $y = 5 \cdot 3^x$ die y-Achse?
1. a) $(0, 15)$
2. b) $(5, 0)$
3. c) $(0, 5)$
4. d) $(0, 3)$
Lösung: $(0, 5)$
$y = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5$ , also schneidet der Graph die y-Achse in $(0, 5)$ . Die Basis 3 bestimmt nur, wie schnell der Graph steigt.
2.
Welcher Graph fällt von links nach rechts?
1. a) $y = 0{,}5 \cdot 3^x$
2. b) $y = 2 \cdot (1{,}1)^x$
3. c) $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
4. d) $y = 4 \cdot 2^x$
Lösung: $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
Alle vier haben $a > 0$ , also entscheidet die Basis. Nur $0{,}3$ liegt zwischen 0 und 1, also fällt $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$ . Der Faktor $0{,}5$ vor $3^x$ staucht den Graphen nur; er steigt trotzdem, weil $3 > 1$ .
3.
Wie lautet die waagerechte Asymptote von $y = 2^x - 7$ ? Gib die Zahl $k$ in $y = k$ ein.
Lösung: -7
Wenn du 7 abziehst, wandert der ganze Graph 7 Einheiten nach unten, auch seine Asymptote: aus $y = 0$ wird $y = -7$ .
4.
Berechne für $f(x) = 3 \cdot 2^x$ den Wert $f(-1)$ . Gib die Antwort als Dezimalzahl oder Bruch an.
Lösung: 1.5
$f(-1) = 3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ . Der Punkt $(-1; 1{,}5)$ liegt auf dem flachen linken Teil des Graphen.
5.
Lege eine Wertetabelle für $y = 4 \cdot 2^x$ an. Wie groß ist $y$ bei $x = 3$ ?
Lösung: 32
1. Wie groß ist $y$ bei $x = -2$ ? 1
2. Wie groß ist $y$ bei $x = 0$ ? 4
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 2$ ? 16
4. Wie groß ist $y$ bei $x = 3$ ? 32
6.
Lege eine Wertetabelle für $y = 6 \cdot (0{,}5)^x$ an. Wie groß ist $y$ bei $x = 3$ ? Gib eine Dezimalzahl an.
Lösung: 0.75
1. Wie groß ist $y$ bei $x = -2$ ? 24
2. Wie groß ist $y$ bei $x = -1$ ? 12
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 1$ ? 3
4. Wie groß ist $y$ bei $x = 3$ ? 0.75
7.
Der Graph von $y = 2^x$ wird um 3 Einheiten nach links und 1 Einheit nach unten verschoben. Welche Gleichung beschreibt den neuen Graphen?
1. a) $y = 2^{x-1} + 3$
2. b) $y = 2^{x+3} + 1$
3. c) $y = 2^{x-3} - 1$
4. d) $y = 2^{x+3} - 1$
Lösung: $y = 2^{x+3} - 1$
3 nach links bedeutet $x - h$ mit $h = -3$ , also $x + 3$ ; 1 nach unten bedeutet $k = -1$ . Also $y = 2^{x+3} - 1$ , mit der Asymptote $y = -1$ .
8.
Wie lautet der Wertebereich von $y = -4 \cdot 2^x + 1$ ?
1. a) $y > -4$
2. b) $y < 1$
3. c)alle reellen Zahlen
4. d) $y > 1$
Lösung: $y < 1$
Die Asymptote ist $y = 1$ ( $k = 1$ ). Da $a = -4 < 0$ ist, ist der Term $-4 \cdot 2^x$ immer negativ, also ist $y$ immer kleiner als 1: Der Wertebereich ist $y < 1$ .
9.
Der Graph von $y = 3^{x+2} - 5$ schneidet die y-Achse in $(0, ?)$ . Gib die y-Koordinate ein.
Lösung: 4
$y = 3^{0+2} - 5 = 9 - 5 = 4$ . Der y-Achsenabschnitt ist $(0, 4)$ , nicht $(0, 1)$ und nicht $(0, -4)$ , weil der Graph auch um 2 nach links verschoben wurde.
10.
Der Graph von $y = a \cdot b^x$ geht durch $(0, 5)$ und $(2, 45)$ , mit $b > 0$ . Bestimme $b$ .
Lösung: 3
$a = 5$ aus dem y-Achsenabschnitt. Dann gilt $5 \cdot b^2 = 45$ , also $b^2 = 9$ und $b = 3$ (die Basis ist positiv). Die Gleichung ist $y = 5 \cdot 3^x$ .
11.
Der Graph von $y = a \cdot b^x$ geht durch $(0, 3)$ und $(1, 6)$ . Bestimme die Gleichung und den Wert von $y$ bei $x = 4$ .
Lösung: 48
1. Wie groß ist $a$ ? 3
2. Wie groß ist $b$ ? 2
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 4$ ? 48
12.
Bestimme für $y = 2^{x+1} - 4$ die Asymptote, den y-Achsenabschnitt und die Nullstelle. Wo schneidet der Graph die x-Achse? Gib die x-Koordinate dieses Punktes ein.
Lösung: 1
1. Die Asymptote ist $y = k$ . Wie groß ist $k$ ? -4
2. Wie groß ist $y$ bei $x = 0$ ? -2
3. Löse $2^{x+1} = 4$ . Wie groß ist $x$ ? 1
13.
Lege eine Wertetabelle für $y = -3 \cdot 2^x + 2$ an und bestimme die Asymptote. Gib bei Bedarf Dezimalzahlen an.
Lösung: 2
1. Wie groß ist $y$ bei $x = 0$ ? -1
2. Wie groß ist $y$ bei $x = -1$ ? 0.5
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 2$ ? -10
4. Die Asymptote ist $y = k$ . Wie groß ist $k$ ? 2
14.
Welche Beschreibung passt zum Graphen von $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$ ?
1. a)Fallend, Asymptote $y = -5$ , Wertebereich $y < -5$
2. b)Steigend, Asymptote $y = 1$ , Wertebereich $y < 1$
3. c)Steigend, Asymptote $y = 5$ , Wertebereich $y > 5$
4. d)Fallend, Asymptote $y = 5$ , Wertebereich $y < 5$
Lösung: Fallend, Asymptote $y = 5$ , Wertebereich $y < 5$
$k = 5$ ergibt die Asymptote $y = 5$ . Da $a = -2 < 0$ ist, liegt der Graph unter der Asymptote, also ist der Wertebereich $y < 5$ . Mit $b = 3 > 1$ wächst $3^{x-1}$ , und die Multiplikation mit $-2$ lässt $y$ von links nach rechts fallen.
15.
Der Graph von $y = a \cdot b^x$ geht durch $(1, 6)$ und $(3, 54)$ , mit $b > 0$ . Bestimme $a$ .
Lösung: 2
$b^2 = 54 : 6 = 9$ , also $b = 3$ . Dann ergibt $a \cdot 3 = 6$ den Wert $a = 2$ . Probe: $2 \cdot 3^3 = 54$ . Die Gleichung ist $y = 2 \cdot 3^x$ .
16.
Der Graph von $y = a \cdot b^x$ geht durch $(2, 12)$ und $(4, 48)$ , mit $b > 0$ . Bestimme die Gleichung und den Wert von $y$ bei $x = 5$ .
Lösung: 96
1. Wie groß ist $b^2 = 48 : 12$ ? 4
2. Wie groß ist $b$ ? 2
3. Wie groß ist $a$ ? 3
4. Wie groß ist $y$ bei $x = 5$ ? 96
17.
Ein Graph der Form $y = a \cdot b^x + 2$ hat die Asymptote $y = 2$ und geht durch $(0, 5)$ und $(1, 11)$ . Bestimme $a$ und $b$ und dann den Wert von $y$ bei $x = 2$ .
Lösung: 29
1. Nutze $(0, 5)$ : $a \cdot 1 + 2 = 5$ . Wie groß ist $a$ ? 3
2. Nutze $(1, 11)$ : $3 \cdot b + 2 = 11$ . Wie groß ist $b$ ? 3
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 2$ ? 29
18.
Bestimme, wo der Graph von $y = 3 \cdot 2^x - 24$ die beiden Achsen schneidet. Wie lautet die Nullstelle?
Lösung: 3
1. Wie groß ist $y$ bei $x = 0$ ? -21
2. Setze $y = 0$ : $3 \cdot 2^x = 24$ . Wie groß ist $2^x$ ? 8
3. Wie groß ist $x$ ? 3