Aufgaben zur Halbwertszeit

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von $10$ Jahren. Welcher Anteil ist nach $2$ Halbwertszeiten noch übrig?
1. a) $0$
2. b) $\frac{1}{4}$
3. c) $\frac{1}{2}$
4. d) $\frac{1}{8}$
Lösung: $\frac{1}{4}$
Nach $2$ Halbwertszeiten ist der Anteil $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ übrig. Es ist nicht $0$ : Jede Halbwertszeit nimmt nur die Hälfte des Rests weg.
2.
Eine Probe von $60$ g hat eine Halbwertszeit von $5$ Tagen. Wie viel Gramm sind nach $5$ Tagen übrig?
Lösung: 30
$5$ Tage sind $1$ Halbwertszeit, also wird die Probe einmal halbiert: $60 \times \frac{1}{2} = 30$ g.
3.
Eine Probe beginnt mit $50$ mg und hat eine Halbwertszeit von $3$ Stunden. Welche Funktion gibt die Menge $N(t)$ nach $t$ Stunden an?
1. a) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{3t}$
2. b) $N(t) = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/50}$
3. c) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
4. d) $N(t) = 50 - \frac{1}{2} t$
Lösung: $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
$N_0 = 50$ und $T = 3$ , also $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$ . Der Exponent $\frac{t}{3}$ zählt die Halbwertszeiten. Die letzte Möglichkeit ist linear, nicht exponentiell.
4.
Eine Medikamentenprobe hat $320$ mg und eine Halbwertszeit von $2$ Stunden. Wie viel mg sind nach $6$ Stunden übrig?
Lösung: 40
1. Wie viele Halbwertszeiten sind 6 Stunden? 3
2. Wie viel ist $2^3$ ? 8
3. Wie viel ist $320 \div 8$ ? 40
5.
Iod-131 hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen. Wie viele Halbwertszeiten vergehen in $24$ Tagen?
Lösung: 3
$\frac{t}{T} = \frac{24}{8} = 3$ Halbwertszeiten.
6.
Wie viel Prozent einer radioaktiven Probe sind nach $3$ Halbwertszeiten übrig? (Gib den Prozentsatz als Zahl an, zum Beispiel 50 für $50\,\%$ .)
Lösung: 12.5
1. Welcher Anteil ist übrig? (Schreibe ihn wie 1/2.) 1/8
2. Schreibe 1/8 als Dezimalzahl. 0.125
3. Schreibe $0{,}125$ als Prozentsatz (nur die Zahl). 12.5
7.
Von einer Probe ist noch $\frac{1}{16}$ der Anfangsmenge übrig. Wie viele Halbwertszeiten sind vergangen?
1. a)8
2. b)16
3. c)4
4. d)2
Lösung: 4
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ , also sind $4$ Halbwertszeiten vergangen ( $1 \to \frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \frac{1}{16}$ ). Der Nenner 16 ist nicht die Anzahl der Halbwertszeiten.
8.
Ein Holzwerkzeug enthält $\frac{1}{4}$ seines ursprünglichen Kohlenstoffs-14. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre. Wie viele Jahre ist das Werkzeug alt?
Lösung: 11460
$\frac{1}{4}$ übrig bedeutet $2$ Halbwertszeiten, also ist das Alter $2 \times 5730 = 11460$ Jahre.
9.
Eine Probe von $240$ g zerfällt in $18$ Stunden auf $30$ g. Wie viele Stunden beträgt ihre Halbwertszeit?
Lösung: 6
1. Wie viel Mal kleiner ist die Probe? ( $240 \div 30$ ) 8
2. $8 = 2^n$ . Wie groß ist $n$ (die Anzahl der Halbwertszeiten)? 3
3. Wie viele Stunden beträgt die Halbwertszeit? 6
10.
Ein Krankenhaus hat $500$ mg Iod-131 (Halbwertszeit $8$ Tage). Wie viel mg sind nach $40$ Tagen übrig?
Lösung: 15.625
1. Wie viele Halbwertszeiten sind 40 Tage? 5
2. Wie viel ist $2^5$ ? 32
3. Wie viel ist $500 \div 32$ ? (exakte Dezimalzahl) 15.625
11.
Ein Schüler sagt: Eine Probe von $100$ g verliert pro Halbwertszeit $50$ g, also ist nach $2$ Halbwertszeiten nichts mehr übrig. Wie viel ist nach $2$ Halbwertszeiten wirklich übrig?
1. a)0 g
2. b)50 g
3. c)75 g
4. d)25 g
Lösung: 25 g
$100 \to 50 \to 25$ : Die zweite Halbwertszeit nimmt die Hälfte von $50$ weg, nicht $50$ g. Also sind $25$ g übrig.
12.
Ein Patient nimmt $800$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $5$ Stunden. Wie viel mg sind nach $20$ Stunden übrig?
Lösung: 50
$\frac{20}{5} = 4$ Halbwertszeiten: $800 \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{800}{16} = 50$ mg ( $800 \to 400 \to 200 \to 100 \to 50$ ).
13.
Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von $3$ Tagen. Nach wie vielen Tagen ist nur noch $\frac{1}{32}$ davon übrig?
Lösung: 15
1. $32 = 2^n$ . Wie groß ist $n$ (die Anzahl der Halbwertszeiten)? 5
2. Wie viele Tage sind 5 Halbwertszeiten? 15
14.
Wie viel Prozent einer radioaktiven Probe sind nach $3$ Halbwertszeiten zerfallen (verschwunden)?
1. a)37,5 %
2. b)75 %
3. c)87,5 %
4. d)12,5 %
Lösung: 87,5 %
Übrig: $\frac{1}{8} = 12{,}5\,\%$ . Zerfallen: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 87{,}5\,\%$ . Die Antwort $12{,}5\,\%$ ist der Teil, der noch da ist.
15.
Ein Patient nimmt $800$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden. Wie viel mg sind nach $6$ Stunden übrig? Verwende $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ und runde auf ganze mg.
Lösung: 283
1. Wie viele Halbwertszeiten sind 6 Stunden? ( $\frac{t}{T}$ ) 1.5
2. Berechne $800 \times 0{,}3536$ . 282.88
3. Runde auf ganze mg. 283
16.
Ein Fossil enthält $\frac{1}{64}$ seines ursprünglichen Kohlenstoffs-14. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre. Wie viele Jahre ist das Fossil alt?
Lösung: 34380
$64 = 2^6$ , also sind $6$ Halbwertszeiten vergangen: $6 \times 5730 = 34380$ Jahre.
17.
Eine Probe von $2000$ g zerfällt in $21$ Tagen auf $250$ g. Bestimme die Halbwertszeit und dann, wie viel Gramm nach $35$ Tagen (ab Beginn) übrig sind.
Lösung: 62.5
1. $2000 \div 250 = 8 = 2^n$ . Wie groß ist $n$ ? 3
2. Wie viele Tage beträgt die Halbwertszeit? 7
3. Wie viele Halbwertszeiten sind 35 Tage? 5
4. Wie viel ist $2000 \div 2^5$ ? 62.5
18.
Ein Patient nimmt $300$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden. Das Medikament gilt als abgebaut, wenn weniger als $10$ mg übrig sind. Nach wie vielen Stunden (einer ganzen Zahl von Halbwertszeiten) ist das zum ersten Mal der Fall?
Lösung: 20
1. Wie viel mg sind nach 4 Halbwertszeiten übrig? ( $300 \div 16$ ) 18.75
2. Wie viel mg sind nach 5 Halbwertszeiten übrig? 9.375
3. Nach wie vielen Halbwertszeiten sind weniger als 10 mg übrig? 5
4. Wie viele Stunden sind das? 20